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3.3.2简单线性规划(第1课时)


3.3.2 简单线性规划问题 (1课时)
y

o

x

? 【教学目标】 ? 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面 区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、 可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划 问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; ? 2.情态与价值:培养学生观

察、联想以及作图的能力, 渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生 “建模”和解决实际问题的能力。 ? 【教学重点】 ? 用图解法解决简单的线性规划问题 ? 【教学难点】 ? 准确求得线性规划问题的最优解

二、问题引入

问题一:P87

问题1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品需要4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品需要4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

二、问题引入

问题一:P87

把问题1的有关数据列表表示如下:

资源

A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)

甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件) 4 0 16 0 4 12 1 2 8 2 3

设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得 二元一次不等式组: y ? x ? 2 y ? 8, 4 ? 4 x ? 16, ? ? 3 4 y ? 12 , ? ? x ? 0, ? 4 O 8 ? ? y ? 0. 将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐 标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.

x

问题:求利润2x+3y的最大值. 若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?

2 z 2 把z =2x +3y变形为y =- x + ,这是斜率为- , 3 3 3 z z 在y轴上的截距为 的直线(x ? 0时,y = ), 3 3 当点P在可允 z 的最值 求 求 z的最值. 许的取值范 3 围内

问题:求利润z=2x+3y的最大值.
y

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

4
3 0

M(4,2) 8 4
y??

x

1 x?4 2 2 z y? ? x? 3 3

Z max ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14.

二、概念学习
1.线性约束条件
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

象这样关于x,y二元一次不等式组 的约束条件称为线性约束条件.

2.线性目标函数 3.线性规划

Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数 为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数). 在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.

4.可行解 5.可行域 6.最优解

满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.

变式:若生产一件甲产品获利1万元,生产一件乙 产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

变式:求利润z=x+3y的最大值. y

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

4

N(2,3)
x

3
0

4

1 x?4 2 1 z y? ? x? 3 3 y??

8

zmax ? 2 ? 3 ? 3 ? 11

三、课堂练习
解下列线性规划问题:
1、求z=2x+y的最大值,使式中的x、y

满足约束条件:

? y ? x, ? ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

y
x+y=1

目标函数: Z=2x+y y= x

A
Zmin=-3 y=-1 B 2x+y=0 O C Zmax=3 x

B (-1,-1) C (2,-1)

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;

(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线 中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线;
(3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

体 验:
一、先定可行域和平移方向,再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.

三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关,而且 还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.

四、本课小结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题; 正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健; 线性目标函数的最值一般都是在可行 域的顶点或边界取得; 把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定 要弄清楚.

五、课堂作业
P86 练习2 P93 A组4 B组 3


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