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云南省保山市第一中学高中数学 2.5等比数列的前n项和第1课时课件 新人教A版必修5


2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 1.掌握等比数列的前n项和公式;(重点) 2.掌握前n项和公式的推导方法;(重点) 3.对前n项和公式能进行简单应用.(难点) 问题1: 传说在很久以前,古印度舍罕王在宫廷单调的生活 中,发现了64格棋(也就是现在的国际象棋)的有趣和 奥妙,决定要重赏发明人——他的宰相西萨?班?达依尔, 让他随意选择奖品,宰相要求的赏赐是:在棋盘的第一 格内赏他一粒麦子,第二格内赏他两粒麦子,第三格内 赏他四粒麦子??依此类推,每一格上的麦子数都是前 一格的两倍,国王一听,几粒麦子,加起来也不过一小 袋,他就答应了宰相的要求.实际上国王能满足宰相的要 求吗? 问题2: 甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给 乙100元钱,而乙则第一天给甲返还一分,第二天给甲 返还二分,即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢 谁亏? 分析:数学建模 {an}:100,100,100,?,100 q=1 q=2 2 29 22 {bn}:1,2, ,?, S30=100+100+?+100 T30=1+2+22+?+229 这是一个比较大小的问题,实质上是求等比数列 前n项和的问题. 在等比数列{an}中, 当q=1时 ,Sn=a1+a2+a3+?+an-1+an= na1 当q≠1时,Sn=a1+a2+a3+?+an-1+an =? S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3) S2 ? a1 (1 ? q)(1 ? q) 1? q 观察: a1 (1 ? q 2 ) ? 1? q S3 ? 猜想得: a1 (1 ? q ? q 2 )(1 ? q) 1? q a1 (1 ? q 3 ) ? 1? q a1 (1 ? q n ) Sn ? (q ? 1) 1? q Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ①-②得: Sn(1-q)=a1-a1qn ② a1 (1 ? q n ) 当q≠1时, Sn ? . 1? q 等比数列{an}的前n项和 ? na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ? q ?1 q ?1 有了上述公式,就可以解决开头提出的问题了, 问题1:a1=1,q=2,n=64.可得: 64 1 ? (1-2 ) 64 S64= =2 -1(粒)=18 446 744 073 709 551 615(粒) 1-2 估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过 了7 000亿吨,因此,国王不能实现他的诺言. 问题2答案: 230–1 (分)=10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元 ? na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ? q ?1 q ?1 1.注意q=1与q≠1两种情形 a1 ( 1 ? q n ) a1 ? an q Sn ? ? 2.q≠1时, 1? q 1? q 3.五个量n,a1,q,an,Sn中,解决“知三求二”问题. 例?????求下列等比数列前8项的和: 1 1 1 (1) , , ,?; 2 4 8 1 (2)a1=2

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