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第二章信号及其描述


第二章
第一节
一、信号的概念

信号及其描述
信号分类与描述

信号是信息的载体,是包含和传递信息的一种物理量,是客观事物存在状态或属性的反 映,即包含着反映被测物理系统的状态或特性的某些有用的信息,它是我们认识客观事物的 内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。例如,回转机械由于动不平衡 而产生振动,那么振动信号中就包含了该回转机械动不平衡的信息,因此它就成为研究回转 机械动不平衡的信息载体和依据。

二、信号的分类
( 一 ) 确 定 性 信 号 和 非 确 定 性 信 号 (随 机 信 号 )
按 信 号 的 运 动 规 律 和 有 无 确 定 性 可 分 为 确 定 性 信 号 和 非 确 定 性 信 号 (随 机 信 号 ) 两 大 类。 1. 确 定 性 信 号 若信号随时间有规律变化,可用数学关系式或图表来确切地描述其相互关系,即可确定 其任何时刻的量值,这种信号称之为确定性信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信 号。 ①周期信号 为 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现,无始无终的信号,可表达

x(t ) ? x(t ? nT0 )
式 中 T0 — — 周 期 ( s ) 。

( n ? 1,2,3,? ? ? )

( 2 -1 )

周期信号又可分为简谐信号和复合周期信号: ⊙简谐信号 即简单周期信号或正弦信号,只有一个谐波。例如,集中参数的单自由度 振 动 系 统 ( 图 2 -1 ) 作 无 阻 尼 自 由 振 动 时 , 其 位 移 x(t ) 就 是 一 个 简 谐 信 号 , 它 可 用 下 式 来 确 定 质 量块的瞬时位置,即

x(t ) ? x0 cos(
式中 x0— — 初 始 幅 值 ;

k

m

? t ? ?0 )

( 2 -2 )

?0 — — 初 始 相 位 角 ;
k— — 弹 簧 刚 度 ; m— — 质 量 ;
16 图 2-1 单 自 由 度 振 动 系 统

t— — 时 间 。

简单周期信号
⊙复合周期信号 率比

由多个谐波构成的周期性复合函数,用傅立叶展开后其相邻谐波的频

? n?1 / ? n 为 整 数 倍 。

复杂周期信号

②非周期信号

常称为瞬变信号,能用确定的数学关系表达,但其值不具有周期重复特

性的信号称为非周期信号。如指数信号、阶跃信号等都是非周期信号。非周期信号又可分为 准周期信号和瞬变信号: ⊙准周期信号 由有限个周期信号合成的确定性信号,但周期分量之间没有公倍关系, 即没有公共 周期 ,因 而 无 法 按某 一确 定 的时 间 间 隔周 而复 始 重复 出 现 。这种信号往 往出现于 通 信 、 振 动 等 系 统 之 中 , 其 特 点 为 各 谐 波 的 频 率 比 为 无 理 数 。 例 如 : x ? sin 2?0t ? sin 3?0t 就是准周期信号。工程实际中,由不同独立振动激励的系统的输出信号,往往属于这一类。

⊙瞬变信号 在一定时间区域内存在,或随时间 t增大而衰减至零。如机械脉冲信号、阶 跃 信 号 和 指 数 衰 减 信 号 等 (见 图 2..5)。 图 2-1所 示 的 振 动 系 统 , 若 加 阻 尼 装 置 后 , 其 质 点 位 移 x(t)可 用 下 式 表 示

x(t ) ? x0e?at sin(?0t ? ?0 )

(2 -3 )

其 图 形 如 图 2.4所 示 , 它 是 一 种 非 周 期 信 号 , 随 时 间 的 无 限 增 加 而 衰 减 至 零 。 常 见 的 非 周 期 信 号 如 图 2.5所 示 。
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2. 非 确 定 性 信 号 ( 随 机 信 号 ) 非 确 定 性 信 号 也 称 随 机 信 号 ,是一种不能用确切的数学关系来描述的信号,所 描 述 的 物 理 现 象 是 一 种 随 机 过 程 。 它随时间的变化是随机的,没有确定的规律,每一次观测的结 果都不相同,无法用数学关系式或图表描述其关系,更不能准确预测其未来的瞬时值,只能 用概率统计的方法来描述。如列车、汽车运行时的振动情况。

对 随 机 信 号 按 时 间 历 程 所 作 的 各 次 长 时 间 观 测 记 录 称 为 样 本 函 数 , 记 作 xi (t ) , 如 图 2.6所 示 。 在 同 一 试 验 条 件 下 , 全 部 样 本 函 数 的 集 合 (总 体 )就 是 随 机 过 程 , 计 作 ?x (t )?, 即

?x(t )? ? ?x1 (t ), x2 (t ),? ? ?xi (t ),? ? ??

(2-4)

随 机 信 号 的 各 种 统 计 值 (均 值 、 方 差 、 均 方 值 和 均 方 根 值 等 )是 按 集 合 平 均 来 计 算 的 。 集 合 平 均 的 计 算 不 是 沿 某 个 样 本 的 时 间 轴 进 行 平 均 而 是 在 集 合 中 的 某 时 刻 轧 ti 对 所 有 样 本函数的观测值取平均。为了与集合平均相区别,称按单个样本的时间历程进行平均的 计算为时间平均。非确定性信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号。 ①平稳随机信号 所谓平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信 号,其概率密度函数为正态分布。平稳随机信号又可分为各态历经信号和非各态历经信号。 在平稳 随机 信号 中,若任一 单个 样本 函数 的时 间 平 均 统 计 特 征 等 于 该 随 机 过 程 的 集 合 平 均统计特征,这样的平稳随机信号称为各态历经(遍历性)的随机信号。否则,即为 非各态历经信号。 ②非平稳随机信号 所谓非平稳随机信号是指其统计特征参数随时间而变化的随机信 号。在随机信号中,凡不属于 平稳随机信号范围的,都可归为非平稳随机信号类型。
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工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性,有的虽然不具备严格的各态历经 性,但也可简化为各态历经随机信号来处理。事实上,一般的随机信号需要足够多的 样 本 (理 论 上 应 为 无 穷 多 个 )才 能 描 述 它 , 而 要 进 行 大 量 的 观 测 来 获 取 足 够 多 的 样 本 函 数是非常困难的,有时是做不到的。因此实际中,常把随机信号按各态历经过程来处 理。本教材中对随机信号的讨论仅限于各态历经随机过程的范围。 根据信号的上述特性,信号分类归纳如下:

? 静态信号 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 简谐信号 ? ? ?周期信号? ? ? ? ?复合周期信号 ? ? 确定性信号? 准周期信号 ? ?非周期信号? ? ? ? ? 信号?动态信号? ? ? 瞬变信号 ? ? ? ? ? ? ? ? 非平稳随机信号 ? ? ? ? ? ?随机信号? ?各态犁历经信号 平稳随机信号? ? ? ? ? ?非各态历经信号 ? ? ? ? ?
(二)连续信号和离散信号
( 1 ) 连 续 信 号 若 信 号 在 时 域 的 表 达 式 中 的 自 变 量 xi (t ) 取 值 是 连 续 的 , 称 为 连 续 ( , 模 拟 ) 信号。 ( 2 ) 离 散 信 号 若 信 号 在 时 域 的 表 达 式 中 的 自 变 量 xi (t ) 取 离 散 值 , 称 为 离 散 信 号 。 若信号数学表达式的独立变量和信号的幅值都是离散的,则称其为数字信号。

(三)能量信号与功率信号
1. 能 量 信 号 在非电量测量中,常把被测信号转换为电压和电流信号来处理。显然,电压信号 x(t)加 到 电 阻 R上 , 其 瞬 时 功 率

P(t ) ? x 2 (t ) / R
当 R=1时 ,

P(t ) ? x 2 (t )
瞬时功率对时间的积分就是信号在该积分时间内的能量。依此,当不考虑信号的
2 实 际 量 纲 , 而 把 信 号 x(t ) 的 平 方 x (t ) 及 其 对 时 间 的 积 分 分 别 称 为 信 号 的 功 率 和 能 量 。 当 x(t ) 满 足

?

?

??

x 2 (t )dt ? ?

( 2 -5 )

则认为信号的能量是有限的,并称之为能量有限信号,简称为能量信号。如矩形脉冲 信号、指数衰减信号等。 2. 功 率 信 号 若 信 号 在 区 间 (??, ?) 的 能 量 是 无 限 的 , 即
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?

?

??

x 2 (t )dt ? ?

(2 -6 )

但 在 有 限 区 间 (t1 , t2 ) 的 平 均 功 率 是 有 限 的 , 即

1 t2 2 x (t )dt ? ? t2 ? t1 ?t1

(2 -7 )

这种信号称为功率有限信号或功率信号。 图 2-1所 示 的 单 自 由 度 振 动 系 统 , 其 位 移 信 号 就 是 能 量 无 限 的 正 弦 信 号 , 但 在 一 定 时 间区间内其功率是有限的,因此,该位移信号为功率信号。如果该系统加上阻尼装置, 其 振 动 能 量 随 时 间 而 衰 减 ,如 图 2-4所 示 ,这 时 的 位 移 信 号 就 变 成 能 量 有 限 信 号 了 。但 是 必须注意,信号的功率和能量,未必具有真实功率和真实能量的量纲。一个能量信号具 有零平均功率,而一个功率信号具有无限大能量。

三、信号的描述()
信 号 的 描 述 方 法 主 要 有 时 域 描 述 、频 域描述和幅值域描述。我们直接观测或记 录的信号一般为随时间变化的物理量,是 以时间作为独立变量,称为信号的时域描 述。 信 号 包 含 着 丰 富 的 信 息 。信 号 的 时 域 描述只能反映信号的幅值随时间变化的特 征,不能明确揭示信号的频率组成及对应 不同频率的幅值大小。为了提取某种有用 信息,如为了研究信号的频率结构和各频 率成分的幅值大小、相位关系,需要对信 号进行频谱分析。把时域信号通过积分变 换转换成频域信号, 此即信号的频域描述。 图 2-5 所 示 为 周 期 方 波 的 时 域 波 形 和 频 域 描 述 。 对信号进行必要的分析和处理,是为了解决不同问题的需要,使所需的信号特征更为突 出。时域描述信号形象、直观,而频域描述信号则更为简练。同一信号无论选用哪种描述方 法都含有同样的信息,两种描述方法可互相转换但并没有增加新的信息。
图 2— 5 所 示 为 周 期 方 波 的 时 域 波 形 和 频 域 描 述

第二节

周期信号与离散频谱

一、 周期信号的傅里叶三角函数展开式
设 周期信号可表为下列关系式:

x?t ? ? x?t ? nT ?

(2 -8 )

式 中 n=0, ±1, ±2, ? ? ; T— 周 期 。 在 有 限 区 间 上 ,任 何 信 号 只 要 满 足 狄 里 赫 来 条 件 ,均 可 展 成 傅 里 叶 级 数 的 三 角 函 数 形 式 :

20

x?t ? ? a0 ? ? ?an cosn? 0 ? bn sin n? 0 t ?
n ?1

?

( 2 -9 )

式中

? ? 2 ? 2 T2 ? a n ? ? ?T x(t ) cos n? 0 tdt? 2 T ? 2 T2 bn ? ? ?T x (t ) sin n? 0 tdt ? ? 2 T ? a0 ? 1 T

?

T

2 ?T

x?t ?dt

( 2 -1 0 )

a0 是 信 号 的 常 值 分 量 , 即 均 值 ; an 是 信 号 的 余 弦 分 量 幅 值 ; bn 是 信 号 的 正 弦 分 量 幅 值 ;
T 是信号的周期;

? 0 是 信 号 的 圆 频 率 。 T 与 ? 0 关 系 是 ? 0 = 2 л /T 。

将 式 ( 2 -9 ) 中 同 频 项 合 并 , 可 以 改 写 成
?

x?t ? ? a0 ? ? An sin ?n? 0 t ? ? n ?
n ?1

( 2 -11 )

式中

2 2 An ? a n ? bn



? n ? tg ?1

an 。 bn

由此可见,周期信号是由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波迭加而成。以圆频 率 为 横 坐 标 , 幅 值 An 或 相 角 ? n 为 纵 坐 标 所 作 的 图 称 为 频 谱 图 。 An - n ? 0 图 叫 幅 频 谱 , ? n -n ? 0 图 叫 相 频 图 。 因 为 n 是 整 数 , 相 邻 谱 线 频 率 的 间 隔 ? ? = (n ? 0 -(n -1 ) ? 0 )= 1 ? 0 = 2? T , 即 各 频 率成分都是

?0 的 整 数 倍 , 因 而 谱 线 是 离 散 的 。 我 们 把 ?0 称 为 基 频 , 而 把 几 次 倍 频 成 分 An sin?n? 0 t ? ? n ? 称 为 几 次 谐 波 。
每一根谱线对应其中一种谐波,频谱就是构成信号的各频率分量的集合,它表征信号的

频 率 结 构 。傅 里 叶 三 角 函 数 展 开 时 ,周 期 信 号 的 频 谱 , 其 频 率 范 围 是 从 0~ + ? ,所 以 其 频 谱 是单边谱。 例 1: 求 图 2— 6 中 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 频 谱 。 解 : x( t) 可 表 示 为 ? ? ?
?H x(t ) ? ? ?0 ? ? 2 ? kT ? t ? kT ?

?
2

2

? kT

? t ? (k ? 1)T ?

?
2

式 中 , k=0, ? 1, ? 2, ? ? 由 式 ( 2— 9) 得 : 图 2-6 周 期 矩 形 脉 冲 信 1 T2 1 ? H? 常值分量 a 0 ? ? ?T x?t ?dt ? ? ??2 H ? dt ? 号 2 2 T T T 余弦分量幅值: 2 T2 a n ? ? ?T x?t ? cos n? 0 tdt 2 T 2 T2 2H ? 2 ? ? ?T H cos n? 0 tdt ? ?? cos(n? 0 t ) d ( n?t ) 2 T n?T ? 2 ? 2H 2H 2n?? 2H n?? ? ? 2 ? ? 0 2 cos(n? 0 t )d (n?t ) ? ? 2 ? sin ? sin 2? n?T 2T n? T n( )T T
21

正 弦 分 量 幅 值 bn ? 因此 这里

2 T2 ?T x?t ? sin ? 0 tdt ? 0 T? 2
? n ?1

x?t ? ? a0 ? ? An sin ?n? 0 t ? ? n ?

? 0 ? 2? T
a0 ? H? T 2H n?? sin n? T an ? 0 ? n ? ? / 2 a n ? 0 ? n ? ?? / 2

2 2 2 An ? a n ? bn ? an ? 0 ? an ?

? n ? tg ?1
图 2 -7 所 示 为

an ? ?? 0

?
T

?

1 时信号的频谱图 2

图 2— 7

? T ? 1/ 2

时周期矩形脉冲的频谱

图 2 — 5 所 示 为 ? T ? 1/ 5 时 信 号 的 频 谱 图

图 2— 8

? T ? 1/ 5 时 周 期 矩 形 脉 冲 的 频 谱

由周期信号的傅里叶三角函数展开式,上述分析我们得出如下结论: ①周期信号各谐波频率必定是基波频率的整数倍,不存在非整数倍的频率分量 ②频谱是离散的; ③由幅频谱线看出谐波幅值总的趋势是随谐波次数增高而减小; ④相频谱表明各谐波之间有严格的相位关系。
22

一般在信号的频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量。

二、周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开式
利用欧拉公式可把三角函数展开式变为复指数函数展开式,周期信号的单边谱就变为双 边谱。根据欧拉公式:



e ? j?t ? c o ? st ? j s i ? nt 1 co? s t ? (e ? j?t ? e j?t ) 2 1 sin ?t ? j (e ? j?t ? e j?t ) 2
? 1 ?1 ? x(t ) ? a0 ? ? ? (an ? jbn )e ? jn?0t ? (an ? jbn )e jn?0t ? 2 ? n ?1 ? 2

( 2 -1 2 ) ( 2 -1 3 )

( 2 -1 4 )

因 此 式 ( 2 -9 ) 可 改 写 为 ( 2 -1 5 )

(n ? 1,2,3,? ? ? ? ??)



1 ? c?n ? (a n ? jbn )? 2 ? 1 ? c? n ? (a n ? jbn )? 2 ? c0 ? a 0 ? ? ?

( 2 -1 6 )



x(t ) ? c0 ? ? c?n ? e
n?1

?

? jn?0t

? ? cn ? e
n?1

?

jn?0t

上 式 中 变 量 n 的 取 值 与 式 ( 2 - 1 5 ) 相 同 , 只 区 取 正 直 值 : (n ? 1,2,3,? ? ? ? ??) , 即 从 0 ~ + ? 。 若 将 上 式 中 的 第 2 项 的 变 量 n 前 的 负 号 看 成 是 n 的 一 部 分 , 即 等 效 于 变 量 n 从 -1~ - ? 的 区 间 内取值,则上式变为:

x(t ) ? c0 ?

?

n ? ?1

?c

??

n

?e

? jn? 0 t

? ? cn ? e
n ?1

?

? jn? 0 t

x(t ) ? ? cn ? e
??

? jn? 0 t

(n ? 0,?1,?2,??)

( 2— 17)

这就是傅立叶级数的复指数展开式。式中,

1 1 2 c n ? (a n ? jbn ) ? [ ? 2 2 T 1 ? ? T ? 1 T?
T 2 T ? T

T 2 T ? T

x(t ) cos n? 0 tdt ? j

2 T?

T 2 T ? T

x(t ) sin n? 0 tdt]
( 2— 18)

x(t ) ? [cos(n? 0 t ) ? j sin(n? 0 t )]dt

T 2 T ? T

x(t ) ? e ? jn? 0t dt
23

而上述推导过程中 n取值为正。当 n取 0 或副值时,也可以得到同样结果。由上式可见, cn 实 际 上 是 一 个 复 数 , 可 表 为 复 数 的 模 和 相 角 的 关 系 :

cn ? cnR ? cnI ? cn e j?n
2 2 cn ? cnR ? cnI ?

( 2— 19)

1 2

a ?b
n

2

2 n

1 ? An 2

( 2— 20a)

? n ? tg ?1
这 里 I m ?cn ? ?

cnI cnR

( 2— 20b)

1 1 (? bn) , Re ?c n ? ? a n 分 别 是 cn 的 虚 部 和 实 部 。 所 以 , 2 2
?

x(t ) ? ? cn e j ( n?0t ?? n )
??

( 2— 21)

其 中 , n ? 0 表 示 谐 波 角 频 率 ; cn 表 示 谐 波 幅 值 ; 频 谱 ; c n 与 n?0 之 关 系 称 为 幅 频 谱 ; - ∞ ~ +∞ , 所 以 复 频 谱 又 称 为 双 边 谱 。 例 2 : 求 例 1 中 当 ? T ? 1/ 4 时 信 号 的 复 频 谱 。 解:已知

? n 表 示 初 相 角 。 cn 与 n?0 之 关 系 称 为 复

?n 与 n ?0 之 关 系 称 为 相 频 谱 。 复 频 谱 的 频 率 范 围 是

? ? ?H ? ? 2 ? kT ? t ? ? kT x(t ) ? ? 2 ? ? 0 ? 2 ? kT ? t ? (k ? 1)T ? ? / 2
由 式 ( 2— 22) 得 :

图 2-6 周 期 矩 形 脉 冲 信

1 T /2 H n?? ? jn? 0t dt ? sin ?T / 2 x(t )e ? T n? T I ?c ? ? n ? tg ?1 m n Re ?cn ? cn ?
因为虚部 所以



I m ?cn ? ? 0 , 实 部 Re ?c n ? ?

H n?? sin n? T

H n?? ? ? 0 当 n? sin T ? 0 ? H n?? ? ? n ? ? 当 sin ? 0, n ? 0 n? T ? ?? ? 当 H sin n?? 〈0, n〈0 ? n? T ?
当 ? T ? 1/ 4 时 , 其 复 频 谱 即 幅 频 谱 和 相 频 谱 图 如 图 2 — 7 所 示 。 由 图 2— 7 可 以 看 出 复 频 谱 具 有 如 下 特 点 :
24

图 2— 7

? T ? 1/ 4 时 周 期 矩 形 脉 冲 的 复 频 谱

①幅频谱对称于纵坐标,即信号谐波幅值是频率的偶函数; ②相频谱对称于坐标原点,即信号谐波的相角是频率的奇函数; ③ 复 频 谱 (双 边 谱 )与 单 边 谱 比 较 , 对 应 于 某 一 角 频 率 nw0, 单 边 谱 只 有 一 条 谱 线 , 而 双 边 谱 在 ±nw0 处 各 有 一 条 谱 线 , 因 而 谱 线 增 加 了 一 倍 , 但 谱 线 高 度 却 减 少 了 一 半 , 即

cn ?

1 An 。 2

三、周期信号的强度表述 周期信号的强度用如下几种形式表述: 1. 峰 值 xF 峰 值 xF 是 信 号 可 能 出 现 的 最 大 瞬 时 值 , 即

xF ? x(t ) m a
2. 均 值 μ 和绝对均值μ

x

它 反 映 信 号 的 动 态 范 围 , 我 们 希 望 xF 在 测 试 系 统 的 动 态 薄 围 内 。
x

x

均值凡是信号的常值分量,即 μ
x

=

1 T x(t )dt T ?0

绝对均值是信号经全波整流后的均值,即 μ 3. 有 效 值 和 平 均 功 率 有 效 值 是 信 号 的 均 方 根 值 xr ms, 即
x

=

1 T x(t ) dt T ?0

xrms ?

1 T 2 x (t )dt T ?0

它 反 映 信 号 的 功 率 大 小 。 有 效 值 的 平 方 就 是 信 号 的 平 均 功 率 Pav, 即
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Pav= x2r ms=

1 T 2 x (t )dt T ?0

图 2 — 8 所 示 为 周 期 信 号 的 强 度 表 述 。表 2 — 1 列举了几种典型信号上述参数之间的数量 关 系 。从 表 中 可 见 ,信 号 的 均 值 、绝 对 均 值 、 峰值和有效值之间的关系与波形有关。

表 2— 1

几种典型信号的强度

图 2— 8

周期信号的强度表示

第三节 非周期信号及其连续频谱
(非周期信号的频域分析——连续频谱)
非周期信号包括准周期信号和瞬变信号。 准周期信号是由一系列没有公共周期的周期信号(如正弦或余弦信号)叠加组成的,与 周期信号相比,所不同的只是其各个正弦信号的频率比不是有理数。因此,它的频谱与周期 信号的频谱无本质区别,仍然是连续的,不必进行单独研究。 瞬变信号是指除了准周期信号之外的非周期信号。通常所论的非周期信号即是指这种瞬 变 信 号 。 图 2 -8 所 示 的 是 几 种 典 型 的 非 周 期 信 号 。 图 a 是 矩 形 脉 冲 信 号 ; 图 b 是 指 数 衰 减 信 号;图 c 是衰减振荡信号;图 d 是单一脉冲信号。本教材在此以后提到非周期信号时均指瞬 变信号

26

图 2— 8

非 周 期 信 号 (瞬 变 类 )

一、傅里叶变换
我们知道,获得周期信号频谱的方法是利用傅里叶级数,而获得非周期信号频谱的方法 则是傅里叶变换。 周 期 为 T 的 周 期 信 号 x(t ) , 其 频 谱 是 离 散 的 。 当 周 期 T 趋 于 无 穷 大 时 , 该 信 号 就 变 成 非 周期信号了。周期信号频谱中谱线间隔

? ? = ? n?1 ? ? n = [ (n ? 1)? 0 ? n? 0 ] = ? 0 = 2? T



? ? = 2? T



当 T → ∞ 时 , ?? → 0 。 即 谱 线 无 限 密 集 以 致 离 散 频 谱 最 终 变 为 连 续 频 谱 。 所 以 非 周 期 信 号 的 频谱是连续的。因此,可认为,非周期信号是由无限个频率极其接近的谐波合成。 设 有 周 期 信 号 x(t ) x , 则 其 在 ( ?

1 ?? ? T 2?

T T , ? )区 间 内 傅 里 叶 级 数 为 : 2 2

x(t ) ?
cn ? 1 T

?c
??
T 2 ?T 2

??

n

? e jn? 0t

式中

?

x(t ) ? e ? jn? 0 t dt
T

所以

x(t ) ? ? (
??

??

1 T

?

2 ?T

2

x(t ) ? e ? jn?0t dt)e jn?0t

当 T → ∞ 时 , ?? → d? , 即 上式中∑→

1 d? = 。 而 离 散 频 谱 中 相 邻 的 谱 线 紧 靠 在 一 起 , n? 0 ? ? , T 2?

?

, T/2→ ∞ ,于 是 有

1 x(t ) ? lim ?? ? 0 2? ?

?[ ? ?T2 x(t ) ? e? j?t dt]e j?t ? ??
T ?? 2

??

?

?? ??

1 ( 2?

?

?? ??

? j?t

x(t )e

dt)e j?t d?
?? ??



X (? ) ? FT [ X (t )] ?

1 2?
27

?

x(t ) ? e ? j?t dt

(2—22)



x(t ) ? FT ?1[ X (? )] ?

?

?? ??

X (? ) ? e j?t d?

(2—23)

这 里 , 称 X (? ) 为 非 周 期 信 号 x(t ) 的 傅 里 叶 正 变 换 , 称 式 (2 — 2 3 ) 中 x(t ) 为 X (? ) 的 傅 里 叶 逆变换。二者互称为傅里叶变换对。用下式表示二者之关系:
FT ???

x(t )

?? ?? FT ?1

X (? )

利 用 ? ? 2?f , 则 ( 2 — 2 2 ) 和 ( 2 — 2 3 ) 两 式 可 写 成

? j 2?ft X ( f ) ? F [ x(t )] ? ? ?? dt ? ? x (t )e

(2—24) (2—25)

x (t ) ? F ?1[ X (? )] ?
同 样 x(t ) 和 X (? ) 关 系 相 应 变 为

?

?? ??

X (? )e j 2?ft df

式 (2 — 2 4 ) 和 (2 — 2 5 ) 易 于 我 们 记 忆 。 X ( f ) 和 X (? ) 关 系 是

F ? ?? x (t ) X(f ) ??? ?1 F

X ( f ) = 2 π · X (? )
通常 X( f ) 是实变量 f 之复函 数,所以 X( f ) 可写成

(2—26)

X ( f ) = Re [ X ( f ) ]+ jI m [ X ( f )]
= X( f )e 式中,
j? ( f )

(2—27)

X ( f ) ? ( Re [ X ( f )])2 ? ( I m [ X ( f )])2

? ( f ) ? ?rtg[ I m [ X ( f )]/[ Re X ( f )]]

需 要 注 意 的 是 非 周 期 信 号 的 幅 值 谱 X( f ) 是 连 续 的 , 而 周 期 信 号 的 幅 值 谱 是 离 散 的 。 并 且 X ( f ) 的 量 纲 是 单 位 频 宽 上 的 幅 值 , 即 X ( f ) 是 x(t ) 的 频 谱 密 度 函 数 。 而 周 期 信 号 的 幅 值 谱 cn 的 量 纲 与 其 幅 值 一 致 。 需要注意的是,傅里叶变换存在需要满足以下两个条件: ①狄里赫来条件; ② x(t ) 在 无 限 区 间 上 绝 对 可 积 , 即

?

?

??

x(t ) dt? ? , 是 收 敛 的 。

在工程上所遇到的非周期信号基本上均能满足上述条件。 例 1: 求 矩 形 窗 函 数 wR(t )的 频 谱 。 已 知 矩 形 窗 函 数 wR(t )的 定 义 为 wR(t )= ?

?1 ?0

t ? t ?

?
2

?
2

? —时间宽度,称为窗宽。

解 : 由 式 (2 — 2 4 ) 得 w R ( t ) 的 频 谱 W R ( f ) 为

28

WR ( f ) ?

?

?? ??

2 ? j 2?ft wR (t ) ? e ? j 2?ft dt ? ? ? dt ? 21 ? e

?1 1 [e ? j?f? ? e j?f? ] ? j 2?f ? j 2?f ? 2 2 ? [e ?e ]? j j 2?f 2 ?f sin(?f? ) sin(?f? ) ? ?? ? ? ? sin c(?f? ) ?f ?f?
数 学 上 ,定 义 s in c ( ? ) =

sin(? )

?

为 采 样 函 数 ,它 是 以 2 π 为 周 期 且 随 ? 增 大 而 做 衰 减 振 荡 ,并 在

nπ( n 为 整 数 ) 处 其 值 为 零 的 一 个 特 殊 的 实 偶 函 数 , 该 函 数 在 信 号 分 析 中 非 常 有 用 , 其 数 值 可 从 数 学 手 册 中 查 到 , 其 图 像 如 图 2— 9 所 示 。 矩 形 窗 函 数 wR(t )及 其 频 谱 w R( f )的 图 形 如 图 2— 10 所 示 。

图 2— 9

sinc( ? )的 图 像

图 2— 10

矩形窗函数及其频谱图

二、傅里叶变换的主要性质
傅里叶变换将一个信号时域与频域彼此联系起来。傅里叶变换有许多性质,这些性质主 要反应了信号在时域的某些特征、运算和变化将在频域上产生的相应的特征、运算和变化, 以及频域对时域的影响。掌握这些性质对今后的理论学习和实践应用非常重要。因此,我们 需要了解、熟悉傅里叶变换的主要性质,以便帮助我们了解信号在一个域中变化而引起在另 一个域中产生什么变化。利用这些性质可减少许多不必要的计算并有利于我们画出频谱图。 傅里叶变换的性质很多,本书只介绍最常用的几个性质,其他的性质可参考有关著作。

29

1. 奇 偶 虚 实 性 一般 X( f ) 是 f 的复变 函数 ,它可以写 成
? j 2?ft X ( f ) ? ? ?? dt ? Re X ( f ) ? jI m X ( f ) ? ? x (t )e

(2 — 2 8 ) (2 — 2 9 ) (2 — 3 0 )

式中

Re X ( f ) ? ? ?? ? ? x (t ) cos 2?ftdt
I m X ( f ) ? ? ?? ? ? x (t ) sin 2?ftdt

余弦函数是偶函数,正弦函数是奇函数。 (1 ) 如 果 x(t ) 是 实 偶 函 数 , 则 I m X ( f ) ? 0 , X ( f ) 是 实 偶 函 数 , 即 X ( f ) = Re X ( f ) ? X (? f ) 。 (2 ) 如 果 x(t ) 是 实 奇 函 数 , 则 Re X ( f ) ? 0 , X ( f ) 是 虚 奇 函 数 , 即 X ( f ) = I m X ( f ) ? ? X (? f ) 。 (3 ) 如 果 x(t ) 是 虚 偶 函 数 , 则 同 理 可 知 X ( f ) 是 虚 偶 函 数 。 (4 ) 如 果 x(t ) 是 虚 奇 函 数 , 则 X ( f ) 是 实 奇 函 数 。

2 . 翻 转 定 理 若 信 号 x(t ) 的 频 谱 为 X ( f ) , 则 信 号 x ( ?t ) 的 频 谱 为 X (? f ) 。
换 句 话 说 , 当 信 号 在 时 域 绕 纵 坐 标 轴 翻 转 180?时 , 它 在 频 域 中 也 绕 纵 坐 标 轴 翻 转 180?, 即 若 则

x(t ) ? X ( f ) x ( ?t ) ? X (? f )

( 2— 31)

3. 线 性 叠 加 性
若 信 号 x(t ) 和 y(t ) 的 频 谱 分 别 为 X ( f ) 和 Y ( f ) , 则 ax(t ) + b y(t ) 的 频 谱 为 aX ( f ) + bY ( f ) , 即 ax(t ) + b y(t ) ? aX ( f ) + bY ( f ) (2 — 3 2 )

4. 对 称 性 x(t ) ? X ( f ) 若 X (t ) ? x(? f ) 则
证明: 以 -u 换 为 t, 以 t 代替 f , 再 以 f 代 替 u,
j 2?ft x(t ) ? F ?1 ( X ( f )) ? ? ?? df ? ? X ( f )e

(2 — 3 3 )

x(?u ) ?

?

?? ??

X ( f )e ? j 2?fu df
?? ??

x( ?u ) ?

?

X (t )e ? j 2?ut dt

? j 2?ft x(? f ) ? ? ?? dt ? F ?1[ X (t )] ?? X (t )e

30

即为 X (t ) ? x(? f ) 对 称 性 应 用 举 例 如 图 2 — 11 所 示 。

5. 时 间 尺 度 改 变 特 性 (相 似 定 理 )
在信号幅值不变的情况下,若

x(t ) ? X ( f ) 1 f x (kt ) ? X ( ) ( k > 0 ) k k
证明:

(2 — 3 4 )

F [ x ( kt )] ?

?

?? ??

x ( kt )e ? j 2?ft dt
f

? j 2? ( )( kt ) 1 ? k ? ?? x ( kt ) e d ( kt ) ?? k 1 f ? X( ) k k

当 k>1 时 , 时 间 尺 度 压 缩 如 图 2— 12c 所 示 。 此 时 , 时 域 波 形 在 时 间 轴 上 被 压 缩 k 倍 , 导 致 频 域 的 频 带 加 宽 k 倍 和 幅 值 降 低 ; 当 <1 时 , 时 间 尺 度 扩 展 如 图 2— 12a 所 示 。 其 频 谱 变 窄 , 幅 值 增 高 。 例如,把记录磁带慢录快放,即时间尺度压缩,这样尽管提高了处理信号的效率,但却 使得到的信号频带加宽。 如果后续处理设备( 放大器、滤波器) 的通频带不够宽,就会导 致失真。 相反快录慢放,使信号的带宽变窄,对后续处理设备的通频带 k 要求降低了,却 使信号处理效率下降。

图 2 — 11

对称性应用举例

图 2— 12 时 间 尺 度 改 变 特 性 举 例

6. 时 移 和 频 移 特 性 ● 若 x(t ) ? X ( f ) , 在 时 域 中 信 号 沿 时 间 轴 平 移 一 常 值 t 0 。 时 , 则

x(t ? t 0 ) ? X ( f ) ? e ? j 2?ft0
证 由傅氏变换的定义,可知

( 2— 35)

F ?x?t ? t 0 ?? ? ? x?t ? t 0 ?e ? j?t dt
?? ??

31

( 令 t ? t0 ? u )

?

?

??

??

x?u ?e ? j? ?u ?t0 ? du

? e ? j?t0
? e

?? ? j?t 0

?

??

x?u ?e ? j?u du

该 式 表 明 , 当 信 号 时 移 ± t0 后 , 其 幅 - 频 谱 不 变 , 而 相 频 谱 由 原 来 的 ?( f ) 变 为

F ?x?t ?? .

? ( f ) ? 2?ft 0 , 即 在 时 域 的 移 动 , 引 起 频 域 中 的 相 移 。
● 在 频 域 中 信 号 沿 频 率 轴 平 移 一 常 值 f0 时 , 则

x(t )e ? j 2?f 0t ? X ( f ? f 0 )
或 式 (2 — 3 6 ) 表 明 , 信 号 在 时 域 上 乘 以 e 率 轴 右 移 或 左 移 了 f0 函 数 x?t ? 乘 以 因 子 e 式 (2 — 3 6 B ) 表 明 频 谱 函 数 X ?? ?沿
j?t 0
? j 2?f 0t

( 2— 36) ( 2— 36B)

F ?1 ?X ?? ? ?0 ?? ? x?t ?e ? j?0t .

(可 认 为 是 正 弦 或 余 弦 信 号 ), 将 使 其 频 谱 沿 频

? 轴 向 右 或 向 左 位 移 ?0 的 傅 氏 逆 变 换 等 于 原 来 的

或 e

? j? t 0

7. 卷 积 定 理 (特 性 )
7. 1卷 积 的 概 念 若 已 知 函 数 x1 ?t ?, x2 ?t ? , 则 积 分 称 为 函 数 x1 ?t ? 和 x 2 ?t ? 的 卷 积 , 记 为 x1 ?t ? ? x2 ?t ? , 即 显 然 , x1 ?t ? ? x2 ?t ? = x2 ?t ? ? x1 ?t ? , 即 卷 积 满 足 交 换 律 。 7. 2 卷 积 特 性 如 果 两 信 号 x1 (t ) 和 x 2 (t ) 都 满 足 傅 氏 积 分 定 理 中 的 条 件 , 且 其 频 谱 分 别 为 X 1 ( f ) 和

?

??

??

x1 ?? ?x2 ?t ? ? ?d?
( 2— 37A)

?

??

??

x1 ?? ?x2 ?t ? ? ?d? ? x1 ?t ? ? x2 ?t ? .

X2( f ), 则

F ?x1 ?t ? ? x2 ?t ?? ? X 1 ?? ? ? X 2 ?? ?,? ? F ?x1 ?? ? ? x2 ?? ?? ? X 1 ?t ? ? X 2 ?t ?. ?

( 2 - 3 7 、3 8 )

式 ( 2— 37) 说 明 时 域 中 两 信 号 卷 积 傅 氏 变 换 等 于 频 域 中 它 们 频 谱 的 乘 积 。 式 ( 2— 38) 说 明 时 域 中 两 信 号 乘 积 等 效 于 频 域 中 它 们 频 谱 的 卷 积 。 证 按傅氏变换的定义,有

F ?x1 ?t ? ? f 2 ?t ?? ? ?

??

??

?x1 ?t ? ? x2 ?t ??e ? j?t dt

?? ?? ? ? ? ? x1 ?? ?x 2 ?t ? ? ?d? ? e ? j?t dt ? ?? ? ? ?? ?

??

?? ??

?? ??

?

x1 ?? ?e ? j?? x 2 ?t ? ? ?e ? j? ?t ?? ? d?dt

?? ?? ? ? x1 ?? ?e ? j?? ? ? x 2 ?t ? ? ?e ? j? ?t ?? ? dt?d? ? ? ?? ? ?? ? ? X 1 ?? ? ? X 2 ?? ?.

这个性质表明,两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积. 同理可得:

F ?x1 ?t ? ? x 2 ?t ?? ?

1 X 1 ?? ? ? X 2 ?? ? , 2?
32

( 2-38B)

即 两 个 函 数 乘 积 的 傅 氏 变 换 等 于 这 两 个 函 数 傅 氏 变 换 的 卷 积 除 以 2? . 推 论 若 xk ?t ? ( k = 1 , 2 , ? , n ) 满 足 傅 氏 积 分 定 理 中 的 条 件 , 且 F ?xk ?t ?? ? X k ?? ? ( k=1,2,? ,n) , 则 有

F ?x1 ?t ? ? x2 ?t ??? xn ?t ?? ?

?2? ?n?1

1

X 1 ?? ? ? X 2 ?? ? ? ? ? X n ?? ? .

从 上 面 我 们 可 以 看 出 ,卷 积 并 不 总 是 很 容 易 计 算 的 ,但 卷 积 定 理 提 供 了 卷 积 计 算 的 简 便 方 法 , 即 化 卷 积 运 算 为 乘 积 运 算 .这 就 使 得 卷 积 在 线 性 系 统 分 析 中 成 为 特 别 有 用的方法. 若 x1 ?t ?, x2 ?t ? 其 中 有 一 信 号 为 周 期 信 号 , 设 x 2 (t ) 为 周 期 信 号 , 即 x 2 (t ) ? 叠加性和频移特性,可得如下推论:
??

?c e
?? n

??

j 2?nf 0t

,利用

x1 (t ) · x 2 (t ) ? ? c n X 1 ( f ? nf0 )
??

( 2— 39)

8. 微 分 性 质 8. 1 时 域 微 分 特 性 且 F[ x(t )] = X ( f ) 则 证

如 果 x?t ? 在 ?? ?,??? 上 连 续 或 仅 有 有 限 个 可 去 间 断 点 , 且 当 t ? ?? 时 , x?t ? ? 0 ,


F ?x??t ?? ? j?F ?x?t ?? ? ( j 2?f ) ? X ( f ) 由 傅 氏 变 换 的 定 义 , 并 利 用 分 部 积 分 ( ? uv?dt ? uv ? ? vu ?dt ) 可 得

( 2-40A)

F ?x??t ?? ? ? x??t ?e ? j?t dt
?? ??

? x?t ?e ? j?t

?? ??

? j? ? x?t ?e ? j?t dt ? j? ? F ?x?t ?? ? j? ? X ( f )
?? ??

即 , 一 个 时 域 信 号 的 导 数 的 傅 氏 变 换 等 于 这 个 函 数 的 傅 氏 变 换 乘 以 因 子 j? . 推 论
t ???

lim x ?k ? ?t ? ? 0, k = 0 , 1 , 2 , ? , n - 1 ① , 且 F[ x(t )] = X ( f ) , 则 有

若 x k ?t ? ( k = 1 , 2 , ? , n ) 在 ?? ?,??? 上 连 续 或 只 有 有 限 个 可 去 间 断 点 , 且
? ?

Fx

?

?n ?

?t ?? ? ? j? ?

n

? F ?x?t ??. 或

d n x(t ) ? ( j? ) n ? X ( f ) n dt

( 2-40)

8. 2 频 域 微 分 特 性 设 F ?x?t ?? ? X ?? ?, 则

dX (? ) ? F ?? jt ? x?t ??, 一 般 地 , 有 : d?

dn n X ?? ? ? ?? j ? ? F t n ? x?t ? . n d?
或 将 式 X( f ) ?

?

?

( 2— 41A)

?

?

??

x(t ) e

? j 2?ft

dt 对 f 微 分 , 可 得
n n n n

dnX( f ) (? j 2?t ) x(t ) ? (? j ) (2? ) [t ? x(t )] ? df n
注:
X ( f ) ? ? x(t ) e
?? ? ? j 2?ft

( 2— 41)

dt , X (? ) ? 1 2?
33

?

?

??

x (t ) e

? j?t

dt

所以

X ( f ) ? 2? ? X (? ) 。

9. 积 分 性 质

?
或 证 因为

t ??

x(t )dt ?

1 X( f ) j 2?f 1 F[ x(t )] j?

( 2— 42) ( 2— 42B)

F[ ? t?? x(t )dt] ?
d dt

? x?t ?dt ? x?t ? , 所 以
t ??

?d t ? F ? ? x?t ?dt? ? F ?x?t ??, 又 根 据 上 述 微 分 性 质 : ?? dt ? ?

t ?d t ? F ? ? x?t ?dt? ? j?F ?? x?t ?dt? , ? ? ? ?? ? ? dt ?? ?



t 1 F ? ? x?t ?dt? ? F ?x?t ?? . ? ? ? ?? ? j?

我们在测量机械振动过程中,如果测得振动系统的位移、速度或加速度中的一个参数的 频谱,则利用微积分特性可得到另两个参数的频谱。 例2 求微分积分方程

ax??t ? ? bx?t ? ? c ? x?t ?dt ? h?t ? 的 解 , 其 中 , ? ? ? t ? ?? , a , b , c 均 为 常 数 。
t ??

根据傅氏变换的微积分性质,且记 F x?t ? ? X ?? ?, F h?t ? ? H ?? ? 。 在方程式两边取傅氏变换,可得 c aj?X ?? ? ? bX ?? ? ? X ?? ? ? H ?? ?, j? H ?? ? X ?? ? ? c? ? b ? j ? a? ? ? ?? ? 再求上式的傅氏逆变换,可得

? ?

? ?

运 用 傅 氏 变 换 的 线 性 性 质 、微 分 性 质 以 及 积 分 性 质 ,可 以 把 线 性 常 系 数 微 分 方 程 转 化 为 代 数 方 程 ,通 过 解 代 数 方 程 与 求 傅氏逆变换,就可以得到此微分方程的 解 .另 外 ,傅 氏 变 换 还 是 求 解 数 学 物 理 方 程 的 方 法 之 一 ,其 计 算 过 程 与 解 常 微 分 方 程 大 体 相 似 ,此 处 不 再 举 例 了 说 明 。关 于 傅 里 叶 变 换 (频 谱 )的 性 质 请 看 表 2— 2。

1 x?t ? ? 2?

?

??

??

X ?? ?e d?.
j?t

表 2— 2

傅里叶变换的主要性质

34

三、几种典型信号的频谱
1. 矩 形 窗 函 数 的 频 谱 矩形窗函数的频谱已在例 1 中讨论。由此可知,一个时域有限区间内有值的信号,其频 谱却延伸至无限频率。用矩形窗函数在时域中 截取信号,相当于原信号和矩形窗函数相乘, 而 所 得 信 号 的 频 谱 是 原 信 号 频 谱 与 s in c 函 数 的卷积。它是连续的、频率无限延伸的频谱。 2. 单 位 脉 冲 函 数 (δ 函 数 )及 其 频 谱 (1 ) δ 函 数 的 定 义 在 ε 时 间 内 的 一 个 矩 形 脉 冲 δε (t)( 亦 可 用 三 角 形 脉 冲 、 钟 形 脉 冲 等 ), 其 面 积 为 1, 如 图 2 — 1 3 a 所 示 。 当 ε → 0 时 , δ ε (t ) 的 极 限 就 称 为 单 位 脉 冲 函 数 , 记 作 δ ( t ) 。 将 δ ( t) 用 一 个单位长度的有向线段表示。这个长度表示 δ ( t) 的 积 分 ( 面 积 ) , 如 图 2 — 1 3 b 所 示 。 从极值角度看,
图 2— 13 矩形脉冲与 δ 函数

? (t ) ? ?

??, ?0

t ?0 t ?0

从函数面积角度,

?

??

??

? (t )dt ? lim
? ?0

?

?

??

? t (t )dt ? 1

(2 ) δ 函 数 的 筛 选 性 ( 采 样 性 质 ) 界 标 如 果 δ 函 数 与 某 一 连 续 信 号 x(t ) 相 乘 , 则 其 乘 积 只 有 在 t= 0 处 有 值 x(t ) · δ (t ) , 其 余 各 点
35

( t ? 0)之乘积 均为零 。 即

?

?? ??

? (t )x(t ) ? ? ?? ? ? ? (t ) x (0) dt ? x (0)

( 2— 43)

同 样 , 对 于 延 时 t 0 的 δ 函 数 δ (t - t 0 ) , 因 为 只 有 在 t= t 0 处 其 乘 积 不 等 于 零 。 因 此

?
理论依据。

?? ??

? (t ? t 0 )x(t ) ? ? ?? ? ? ? (t ? t 0 ) x (t 0 ) dt ? x (t 0 )

(2 — 4 4 )

式 ( 2 — 4 3 ) 和 式 (2 — 4 4 ) 表 示 的 δ 函 数 的 筛 选( 采 样 )性 质 ,是 对 连 续 信 号 进 行 离 散 采 样 的 (3 ) δ 函 数 与 其 它 函 数 的 卷 积 若 δ ( t) 与 某 一 函 数 x(t ) ( 例 如 矩 形 窗 函 数 ) 进 行 卷 积 , 则 根 据 卷 积 定 义

x(t ) * ? (t ) ? ? ?? ?? x(? )? (t ? ? )d?
? ??? ?? x(t )? (? ? t )d? ? x(t )

( 2— 45)

同 样 , 若 δ ( t ? T ) 与 x(t ) 卷 积 , 其 卷 积
x(t ) * ? (t ? T ) ?

?

?? ??

x(? )? (t ? T ? ? )d?

因 此 , 函 数 x(t ) 与 δ 函 数 的 卷 积 , 其 结 果 就 相 当 于 将 该 函 数 x?t ? 的 图 象 平 移 到 δ 函 数 发
图 2— 14 δ 函 数 与 其 它 函 数 的 卷 积

? x(t ? T )

( 2— 46)

生 脉 冲 的 坐 标 位 置 上 去 , 如 图 2— 14( a) 和 ( b) 所 示 ,其 它 波 形 也 一 样 。 (4 ) δ 函 数 的 频 谱 我 们 对 δ (t ) 进 行 傅 里 叶 变 换
? j 2?ft ?( f ) ? ? ?? dt ? e 0 ? 1 ? ? ? (t )e j 2?ft ? (t ) ? ? ?? df ?? 1 ? e

( 2— 47) ( 2— 48)

其逆变换

36

所以,时域的单位脉冲函数具有 无限宽广的频谱,且在所有的频 段上都是等强度的,如图 2— 15 所 示 。 这 种 信 号 就 是 理 想 白噪声,根据傅里叶变换的对称 性和时移性质,可得到以下重要 傅里叶变换对:
图 2— 15 δ 函数及其频谱

3. 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 频 谱 根 据 式 ( 2 — 7 ) 和 式 (2 — 8 ) , 正 、 余 弦 函 数 可 以 写 成

sin 2?f 0 t ?

1 j (e ? j 2?f 0t ? e j 2?f 0t ) 2 1 c o2 s?f 0 t ? (e ? j 2?f 0t ? e j 2?f 0t ) 2
1 sin 2?f 0 t ? j [? ( f ? f 0 ) ? ? ( f ? f 0 )] 2
cos 2?f 0 t ? 1 [? ( f ? f 0 ) ? ? ( f ? f 0 )] 2

应 用 上 表 和 频 移 特 性 , 可 求 得 正 、 余 弦 函 数 的 傅 里 叶 变 换 图 2— 16 如 下 : ( 2— 49) ( 2— 50)

37

图 2— 16

正、余弦函数及其频谱

4. 周 期 单 位 脉 冲 序 列 的 频 谱 等 间 隔 的 周 期 单 位 脉 冲 序 列 g (t ) 为
g (t ) ? ? ? (t ? nTs )
?? ??

(2 — 5 1 )

式 中 , Ts 为 周 期 ; n 为 整 数 。 因 为 g (t ) 为 周 期 函 数 , 所 以 可 把 g (t ) 表 示 为 傅 里 叶 级 数 的 复 指 数 形 式

g (t ) ? ? cn e j 2?f 0tn
??

??

(2 — 5 2 )

式 中 , f 0 ? 1 Ts ;

cn ?

1 Ts

?

Ts 2 ?Ts 2

g (t )e ? j 2?f 0t dt
Ts 2 ?Ts 2

?
所以

1 Ts

?

? (t )e ? j 2?nf t dt ?
0

1 Ts

g (t ) ?

1 Ts

?e
??

??

j 2?nf 0t

应 用 表 1 -3 中 的 关 系 , 可 求 出 上 式 等 号 两 侧 的 傅 立 叶 变 换 为

F [ g (t )] ? G( f ) ? F [ 1 Ts 1 G( f ) ? Ts ?
?

1 Ts

?e
?? 0

?

j 2?nf 0t

]

? ? ( f ? nf )
??

1 ?? n ( 2— 5 3 ) ?(f ? ) ? Ts ?? Ts ?? 由 此 可 知 , 若 时 域 中 周 期 脉 冲 序 列 的 间 隔 为 Ts , 则 在 频 域 中 亦 为 周 期 脉 冲 序 列 , 期 间 隔 为 1 Ts ; 时 域 中 脉 冲 幅 值 为 1 , 频 域 中 幅 值 为 1 Ts 。 周 期 脉 冲 序 列 的 频 谱 是 离 散 的 , 其 频


?? ( f ? nf0 ) ?

??

谱 图 如 图 2— 17 所 示 。

图2—17周期单位脉冲及其频谱

第四节 随机信号
38

一、 概述
随机信号是非确定性信号,它不能用确定的数学关系式来描述,不能预测它未来任何瞬 时的精确值,任一次观测值只是在其变动范围中可能产生的结果之一。但其值的变动服从统 计规律。我们描述随机信号只能用概率和统计的方法。 对 随 机 信 号 按 时 问 历 程 所 作 的 各 次 长 时 间 的 观 测 记 录 叫 做 样 本 函 数 , 记 作 xi (t ) , 如 图 2— 18 所 示 。 而 在 有 限 区 间 内 的 样 本 函 数 叫 做 样 本 记 录 。 在 同 等 试 验 条 件 下 , 全 部 样 本 函 数 的 集 合 ( 总 体 ) 就 是 随 机 过 程 , 记 作 ?x (t )?, 即

?x(t )? ? ?x1 (t ), x2 (t ),?xi (t ), ??

(2 — 5 4 )

图 2— 18 随 机 过 程 与 样 本 函 数

随机过程的各种平均值

( 均 值 、方 差 、均 方 值 和 均 方 根 值 等 )

是按集合平均来计算的。

集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行,而是在集合中某时刻乙对所有样本函数的 观测值进行平均。单个样本的时间历程进行平均的计算称为时间平均。 随 机 过 程 中 ,其 统 计 特 征 参 数 不 随 时 间 而 变 化 的 过 程 是 平 稳 随 机 过 程 ,否 则 为 非 平 稳 随 机过程。在乎稳随机过程中,如果任何样本的时间平均统计特征等于集合平均统计特征,则 该过程就是各态历经随机过程。在工程上我们所遇到的很多随机信号具有各态历经性。有的 信号虽然不见得是各态历经过程,但也可以当做各态历经过程进行处理。实际测试工作中常 把随机信号按各态历经过程来处理,即用有限长度样本记录的分析、观察来推断、估计被测 对象的整个随机过程。也就是说,在实际工作中,常以一个或几个样本记录来推断整个随机 过程,以时间平均估计集合平均。

二、随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机信号的主要特征参数有 4 个: ①均值、方差和均方值; ②概率密度函数; ③自相关函数; ④自功率谱密度函数。 有关后两个参数将在后续章节中详细讨论。下面我们讨论前两个参数。 1. 均 值
2 2 和均方值收?x ?x 、 方 差 ? x

各态历经信号的均值儿为
lim ? x ?T ??

1 T

?

T 0

x(t )dt

(2— 55 )

式中

x(t ) — — 样 本 函 数 ;
T——观测时间。
39

均值表示信号的常值分量。 方差

? x2 描 述 随 机 信 号 的 波 动 分 量 , 它 是 x(t ) 偏 离 儿 的 平 方 的 均 值 , 即
lim ? x2 ? T ??

1 T 2 0 ?x (t ) ? ? x ? dt ? T

(2— 5 6 )

方差的正平方根叫标准差 均方值?
2 x 描

?x , 是 随 机 数 据 分 析 的 重 要 参 数 。
1 T

述 随 机 信 号 的 强 度 , 它 是 x(t ) 平 方 的 均 值 , 即
lim ? x2 ? T ??

?

T 0

x 2 (t )dt

其 正 平 方 根 是 有 效 值 x rms 。 均 值 、 方 差 和 均 方 值 的 关 系 是
2 2 ? x2 ? ? x ? ?x

(2— 5 7 )



2 2 ?x ? 0 时 , ? x ?? x

2. 概 率 密 度 函 数
概 率 密 度 函 数 是 表 示 信 号 幅 值 落 在 指 定 区 间 的 概 率 。 如 图 2 — 1 9 所 示 的 信 号 , x(t ) 落 在 ( x , x ? ?x ) 区 间 内 的 时 间 总 和 T X :

Tx ? ?t1 ? ?t 2 ? ? ? ?t n ? ? ?t i
i ?1

n

(2 — 5 8 )

当样本函数的记录时间T趋于无穷大时, 概率,即
lim P?x ? x(t ) ? x ? ?x? ?T ?? Ts T

T x T 的 比 值 就 是 幅 值 落 在 ( x , x ? ?x ) 区 间 的

那 么 定 义 幅 值 概 率 密 度 函 数 P( x) 为
图 2— 19 概率密度函数的计算

概率密度函数提供了随机信号沿幅值域分布的信息,是随机信号的主要参数之一。不同的 随 机 信 号 有 不 同 的 概 率 密 度 图 形 , 借 助 它 可 以 认 识 信 号 的 性 质 。 如 图 2— 20 所 示 的 是 常 见

40

的 4 种随机信号的概率密度函数图形。
图 2— 20 4 种随机信号及其概率密度函数
图 中 : (a)正 弦 信 号 (初 始 相 角 为 随 机 量 ); (b)正 弦 信 号 加 随 机 噪 声 (c)窄 带 随 机 信 号 ; (d)宽 带 随 机 信 号

习题一
2 一 l 求 周 期 方 波 (题 图 2— 1) 的 傅 里 叶 级 数 (三 角 函 数 形 式 和 复 指 数 函 数 形 式 ), 并画 出频谱图。

题 图

2— l

2— 2

求 单 位 阶 跃 函 数 (题 图 2— 2a)和 符 号 函 数 (题 图 2— 2b)的 频 谱 。

41



2— 2
? ?t

提 示 : 单 位 阶 跃 函 数 记 作 u(t) , 可 先 对 e u(t)(? ? 0) 做傅氏变换,变换后取极限 ? ? 0就 得 到 单 位 阶 跃 函 数 的 傅 氏 变 换 。 符 号 函 数 可 看 作 是 由 阶 跃 函 数 平 移 坐 标 而 得 。 2 — 3 求 被 截 断 的 余 弦 函 数 cos w0 t ( 题 图 2 — 3 ) 的 傅 里 叶 变 换 。

2— 4

?cos w0 t t ? T x(t ) ? ? t ?T ? 0 求 正 弦 信 号 x(t ) ? x0 sin ?t 的 绝 对 均 值 ? x 和 均 方 根 值 x rms 。

题图

2— 3

题图

2— 4

2 — 5 求 指 数 衰 减 振 荡 信 号 x(t ) ? e?at sin ?0t ( 题 图 2 — 4 ) 2— 6 2— 7 么 ? 2— 8 求 指 数 函 数 x(t ) ? Ae? at (a ? 0, t ? 0) 的 频 谱 。 试 找 出 题 图 2— 5所 示 的 7个 信 号 的 均 值 、

的频谱。

均 方 值 、方 差 和 概 率 密 度 相 同 者 ,并 说 明 为 什 设 有 一 时 间 函 数 f (t ) 及 其 频 谱 如 题 图 2 —

6 所 示 , 现 乘 以 正 弦 型 振 荡 cos?0t (?0 ? ? m ) 。 在 这 个 关 系 中 , 函 数 f (t ) 叫 做 调 制 信 号 , 正 弦 型 振 荡 cos? 0 t 叫 做 载 波 。 试 求 调 幅 信 号 f (t ) cos?0t 的 傅 里 叶 变 换 ,示 意 画 出 调 幅 信 号 及 其 频 谱 。又 问 : 若 ?0 ? w? m 时 将 会 出 现 什 么 情 况 ? 2— 9 设 有 一 信 号 x(t ) ? 15sin(148 ?t ? 32.6 )
?

? 99sin(88?t ? 15? ) ? 0.27sin(1000 ?t ? 45? ) ? 7.1sin(120 ?t ? 3? )
求 该 信 号 的 周 期 , 如 果 该 信 号 确 系 周 期 信 号 。 2 — 1 0 求 正 弦 信 号 x(t ) ? x0 s i n ?t(? ? ) 的 均 值 ? x 、 均 方 值

? x2 和 概 率 密 度 函 数 p( x) 。

题图

2— 5

42

题 图

2— 6

习题二
2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 2. 5 什 么 是 信 号 ?信 号 处 理 的 目 的 是 什 么 ? 信号分类的方法有哪些? 求 正 弦 信 号 x(t ) ? A sin ?t 的 均 方 值

?2。

求 正 弦 信 号 x(t ) ? A sin(?t ? ? ) 的 概 率 密 度 函 数 p ( x) 。 下 面 的 信 号 是 周 期 的 吗 ?若 是 , 请 指 明 其 周 期 。

( 1 ) x(t ) ? a sin (2)

?
5

t ? b cos

?
3

t

1 ? x(t ) ? a sin t ? b cos t 6 3 3 ? ( 3 ) x(t ) ? a sin( t ? ) 4 3
(4) 2. 6 2.7 即:若有 则 2, 8

x(t ) ? a sin( t ? ) 4 5
求 如 题 图 2. 6所 示 周 期 性 方 波 的 复 指 数 形 式 的 幅 值 谱 和 相 位 谱 。 设 cn 为 周 期 信 号 x ( t ) 的 傅 里 叶 级 数 序 列 系 数 , 证 明 傅 里 叶 级 数 的 时 移 特 性 。

?

?

x(t ) ? cn x(t ? t0 ) ? e ? j?0t0 cn
求 周 期 性 方 波 的 (题 图 2. 6)的 幅 值 谱 密 度 。
FS

FS

2. 9

已 知 信 号 x(t ) ? 4 cos( 2?f 0t ?

?
4

), 试 计 算 并 绘 图 表 示 :

(1)傅 里 叶 级 数 实 数 形 式 的 幅 值 谱 、 相 位 谱 ; (2)傅 里 叶 级 数 复 数 形 式 的 幅 值 谱 、 相 位 谱 ; (3)幅 值 谱 密 度 。 2. 10 2. 11 若 则 2.12 求 指 数 衰 减 振 荡 信 号 x(t ) ? e??t sin ?0t 的 频 谱 。 设 x㈩ 为 周 期 信 号 z(” 的 频 谱 , 证 明 傅 里 叶 变 换 的 频 移 特 性 。 即 :

x(t ) ? X ( f )

FT

x(t )e ? j 2?f0t ? X ( f ? f 0 )
设 X(f)乃 为 周 期 信 号 x(t) 的 频 谱 , 证 明 傅 里 叶 变 换 的 共 轭 和 共 轭 对 称 特 性
43

FT

即: 若 则

x(t ) ? X ( f )
x(t ) ? X ( ? f )
FT

FT

式 中 x(t ) 为 x(t ) 的 共 轭 。 2. 13 设 X(f)为 周 期 信 号 x(t)的 频 谱 , 证 明 傅 里 叶 变 换 的 互 易 性 。 即 : 若 则 2. 14
x(t ) ? X ( f )
FT

X (t ) ? x(? f )
用 傅 里 叶 变 换 的 互 易 特 性 求 信 号 g(t)的 傅 里 叶 变 换 G(f), g(t)定 义 如 下 : 2a g (t ) ? 1? t2

FT

且已知

x(t ) ? e
2. 15 求 所 示 信 号 的 频 谱 :

?a t

?X( f ) ?

FT

2a a ? (2?f ) 2
2

1 x1 (t ? 2.5) ? x2 (t ? 2.5) 2 式 中 x1 (t ), x2 (t ) 是 题 图 2 . 1 5 ( a ) 、 题 图 2 . 1 5 ( b ) 所 示 矩 形 脉 冲 。 2. 16 求 信 号 x(t)的 傅 里 叶 变 换 : x(t ) ?
2. 17 a>0 已 知 信 号 x(c), 试 求 信 号 x(0.5t), x(2t)的 傅 里 叶 变 换 :

x(t ) ? e

?a t

? ?1, t ? T1 x(t )? ? ?0, t ? T1
2. 18 求 信 号 x(t ) ? e? at u(t ) 的 自 相 关 函 数 。 2 .1 9 如 题 图 2 . 1 9 所 示 ,有 N = 2 n + 1 个 脉 宽 为 r 的 单 位 矩 形 脉 冲 等 间 隔 ( 间 隔 为 了 T ?? )地 分 布 在 原 点 两 侧 , 设 这 个 信 号 为 x(t), 求 其 FT。

2. 20 “ 时 域 相 关 性 定 理 ” 可 描 述 如 下 :

F[ Rxy (? )] ? X ( f ) ? Y ( f )
44

2. 21

帕斯瓦尔定理:
2 ? 2 ??

?

?

??

x(t ) dt ? ? X ( f ) df
习题三(理论练)

1.若 F , F2 ?? ? ? F ? f 2 ?t ?? , ? , ? 是 常 数 , 证 明 ( 线 性 性 1 ?? ? ? F ? f1 ?t ?? 质 ) : F ??f1 ?t ? ? ?f 2 ?t ?? ? ?F 1 ?? ? ? ?F2 ?? ?,

F ?1??F1 ?? ? ? ?F2 ?? ?? ? ?f1 ?t ? ? ?f 2 ?t ?. 2 . 若 F ?? ? ? F ? f ?t ?? , 证 明 ( 对 称 性 质 ) : 1 ?? f ?? ? ? ? F ?? t ?e ? j?t dt , 即 F ?F ?? t ?? ? 2?f ?? ? ? . ? ? ? 2? 3 . 若 F ?? ? ? F ? f ?t ?? , a 为 非 零 常 数 , 证 明 ( 相 似 性 质 ) : 1 ?? ? F ? f ?at?? ? F ? ? . a ?a?
4 . 若 F ?? ? ? F ? f ?t ?? , 证 明 ( 象 函 数 的 位 移 性 质 ) :

F ?1?F ?? ? ?0 ?? ? e? j?0t f ?t ? , 即 F ?? ? ?0 ? ? F e? j?0t f ?t ? . 5 . 若 F ?? ? ? F ? f ?t ?? , 证 明 ( 象 函 数 的 微 分 性 质 ) : d F ?? ? ? F ?? jtf ?t ?? . d? 6 . 若 F ?? ? ? F ? f ?t ?? , 证 明 ( 翻 转 性 质 ) : F ?? ? ? ? F ? f ?? t ?? . 7 . 若 F ?? ? ? F ? f ?t ?? , 证 明 : 1 F ? f ?t ? cos ?0t ? ? ?F ?? ? ?0 ? ? F ?? ? ?0 ??, 2 1 F ? f ?t ?sin ?0t ? ? ?F ?? ? ?0 ? ? F ?? ? ?0 ?? . 2j ?? 1 ?? 2 2 F ?? ? d? , 求 下 列 积 分 的 值 : 8 . 利 用 能 量 积 分 ? ? f ?t ?? dt ? ? ?? ? ? 2? 4 ?? 1 ? cos x ? ? sin x dx ; ( 1) ? ( 2 ) ?? ? x 2 dx; ?? x2 ?? ?? 1 x2 ( 3) ? ( 4 ) dx ; ??? ?1 ? x2 ?2 dx. ?? ?1 ? x2 ?2
9.证 明 下 列 各 式 : ( 1 ) f1 ?t ? ? f 2 ?t ? ? f 2 ?t ? ? f1 ?t ?;

?

?

( 2)

( 3 ) a? f1 ?t ? ? f 2 ?t ?? ? ?af1 ?t ??? f 2 ?t ? ? f1 ?t ? ? ?af2 ?t ?? ( a 为 常 数 ) ( 4 ) eat ? f1 ?t ? ? f 2 ?t ?? ? ?eat f1 ?t ??? ?eat f 2 ?t ??( a 为 常 数 ) ; ( 5)

f1 ?t ? ? ? f 2 ?t ? ? f3 ?t ?? ? ? f1 ?t ? ? f 2 ?t ??? f3 ?t ?;

? f1 ?t ? ? f 2 ?t ??? ?g1 ?t ? ? g2 ?t ?? ? f1 ?t ? ? g1 ?t ? ? f 2 ?t ? ? g1 ?t ? ? f1 ?t ? ? g 2 ?t ? ? f 2 ?t ? ? g 2 ?t ?; d ? f1 ?t ? ? f 2 ?t ?? ? d f1 ?t ? ? f 2 ?t ? ? f1 ?t ? ? d f 2 ?t ?.
dt dt dt
45



6



1 0 . 若 f1 ?t ? ? ?

?0, t ? 0;
?t

? ? 与 f ?t ? ? ?sin t ,0 ? t ? ; 求 f1 ?t ? ? f 2 ?t ?. 2 ? 2 ?e , t ? 0;
? ?0, 其它,

11.若 F , F2 ?? ? ? F ? f 2 ?t ??, 证 明 1 ?? ? ? F ? f1 ?t ??
F ? f1 ?t ? ? f 2 ?t ?? ? 1 F1 ?? ? ? F2 ?? ?. 2?

12.求 下 列 函 数 的 傅 氏 变 换 :

( 1 ) f ?t ? ? s i n ?0t ? u?t ?; ( 2 ) f ?t ? ? e? ?t si n?0t ? u?t ?; ( 3 ) f ?t ? ? e? ?t c o s ?0t ? u?t ?; ( 4 ) f ?t ? ? e ( 5 ) f ?t ? ? e
j?0 t
j?0 t

u?t ? t0 ?; ( 6 ) f ?t ? ? e

j? 0 t

tu?t ?.

u?t ?;

13.证 明 互 相 关 函 数 和 互 能 量 谱 密 度 的 下 列 性 质 : 1 4 . 已 知 某 信 号 的 相 关 函 数 R ?? ? ? 1 e ? 2? ? , 求 它 的 能 量 谱 密 度 S ?? ? .
4

R21 ?? ? ? R12 ?? ? ?, S21 ?? ? ? S12 ?? ?.

15.已 知 某 波 形 的 相 关 函 数 16.若 函 数

1 R?? ? ? cos ?0? 2

( ?0 为 常 数 ) , 求 这 个 波 形 的 能 量 谱 密 度 .

?b ? t ,0 ? t ? a; 与 f1 ?t ? ? ? a ? ?0, 其它

?1,0 ? t ? a; 求 f1 ?t ? 和 f 2 ?t ? 的 互 相 关 函 数 R12 ?? ?. f 2 ?t ? ? ? 0 , 其它, ?

46


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