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直线方程的五种形式


直线方程的五种形式

复习
1.倾斜角 ? 的定义及其取值范围;

2. 已知直线上两点P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 如果x2 ? x1 , 那么直线PQ的斜率.

y
P( x1 , y1 )

Q( x2 , y2 )

?

r />
?
O
B

x

直线的倾斜角的取值范围是:[00, 1800)
y2 ? y1 ?y k? ? x2 ? x1 ?x

一.直线的点斜式方程

直线l经过两点 1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 则直线的 P y y 2 ? y1 l 斜率公式为 ? k .( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 P2 P1 思考 : 直线l经过两点 1 ( x1 , y1 ), P ? O x P2 ( x , y ), 则直线l的斜率为:

y ? y1 y ? y1 ? k ( x ? x1 )( 2) k? (1) x ? x1 显然,点P1的坐标不满足方程(1)
而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1) 表示的图形上而在方程(2)表示的图形上, 方程(1)不能称作直线的方程.

对于 方程 ? y1 ? k ( x ? x 1 ), 直线l上的 每一 个 y 点P ( x , y )都是 这个 方程 的解 ;反之,以方 程的 解为 坐标 的点 都在 直线 . l上 y l

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

?
O

P 1

P2

x

是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. P 特征: (1)已知直线上的一个点 ( x1 , y1 );

(2)已知直线的斜率 . k 方程y ? y1 ? k ( x ? x1 )叫做直线方程的点斜式 .

小结:
⑴P为直线上的任意一点,它的 位置与方程无关

y

° °P ° ° ° ° ° ° ° P1
O x

° ⑵当P点与P1重合时,有x=x1,y=y1,此时满足y-y1=k(x -x1),所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k(x-x1), 而不在直线l上的点,显然不满足(y-y1)/(x-x1)=k即 不满足y-y1=k(x-x1),因此y-y1=k(x-x1)是直线l的方程。

直线上任意一点P与这条直线上 一个定点P1所确定的斜率都相等。

° °

(3)特殊情况:

(1)当直线的倾斜角为 时斜率k ? 0, 0
0

y

直线l的方程为 ? y1 (如图) P1 y O x 故 x 轴所在直线的方程是: y ? 0 (2)当直线的倾斜角为 0 时斜率k不存在 90 , y l 直线l的方程为 ? x1 (如图) x P1
x 故 y 轴所在直线的方程是: ? 0
O

l

x

例1

求下列直线的方程 : (1)直 线l 1 : 过 点( 2,1), k ? ?1,

(2)直线l 2 : 过点(?2,1)和点(3,?3).

解:

(1)直线l 1过点 2,1), k ? ?1, (

代入点斜式,得 y ?1 ? ?1( x ? 2), 整理得 1的方程为: x ? y ? 3 ? 0 l ? 3?1 4 ( 2)直线l 2的斜率k ? ?? , 3 ? ( ?2 ) 5 又因为过点 2,1),由点斜式方程得 (?
4 y ? 1 ? ? [ x ? ( ?2)], 5 整理得l 2的方程 x ? 5 y ? 3 ? 0 4

1 y 练习 求倾斜角是直线 ? ? 3 x ? 1的倾斜角的 , 4 且过点 3 ,?1)的直线方程 ( .

解: 直线y ? ?

3 x ? 1的斜率k ? ? 3 ,

? 倾斜角? ? 1200 ,
3 斜率k1 ? tan 30 ? 3 3 (x ? 3) 又所求直线过点 3 ,?1)? y ? 1 ? (
0

1 依题意所求直线的倾斜 ? ? ? 1200 ? 300 , 角 4

? 所求直线方程为

3x ? 3 y ? 6 ? 0

3

二.直线的斜截式方程
已知直线 的斜率为 , 与y轴的交点是 0, b), l k ( 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y ? b ? k ( x ? 0)

即y ? kx ? b
方程y ? kx ? b叫做直线方程的斜截式 . y l

b叫做直线 在y轴上的截距 l .

b

斜---斜率 截---y轴上的截距

?

o

x

例2

( 解: (1)因为直线过点0,1),

1 求过点 0,1), 斜率为? 的直线的方程 ( . 2

所以直线在 轴上的截距为, y 1
1 又因为直线的斜率 ? ? , k 2

1 y 由直线的斜截式方程得? ? x ? 1, 2

即x ? 2 y ? 2 ? 0 为所求

练习 1.直线3x ? 2 y ? 6 ? 0求斜率k和直线
在y轴上的截距 . b

解: 由3 x ? 2 y ? 6 ? 0 3 3 y ? ? x ? 3? k ? ? , b ? ?3. 2 2 2.求与直线 x ? 2 y ? 6 ? 0的截距相同 3 ,
斜率为? 3的直线方程式 .

解: 依题意b ? ?3, k ? ? 3 ,
所求直线方程为 ? ? 3 x ? 3 y

三.直线的两点式

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ). 解: 依题意, k ? x 2 ? x1
代入点斜式,得

已知直线 l经过两点 1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P 且x1 ? x 2 , 求直线的方程 .

y 2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x 2 ? x1 y ? y1 x ? x1 当y 2 ? y1时, 可以得 ? y 2 ? y1 x 2 ? x 1

y ? y1 x ? x1 方程 ? 叫做直线的两点式 y 2 ? y1 x 2 ? x 1
练习 已知直线经过两点1 ( 2,1), P2 (0,?3) P

则直线的方程为
y ?1 x?2 即2 x ? y ? 3 ? 0 ? ? 3?1 0? 2

四.直线的截距式方程
已知直线与x轴的交点为a,0), 与y轴的交点为 l ( (0, b), 其中a ? 0, b ? 0, 求直线l的方程.

解: 把点(a,0), (0, b)代入两点式方程得 ,

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y ? ?1 a b

x y ? ? 1称直线方程式的截距式 a b

a ? ? x轴上的截距
b ? ? y轴上的截距

例3 三角形的顶点是A(?5,0), B(3,?3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .

解: 把A, B代入两点式, 得
y?0 x ? (?5) ? ? 3 ? 0 3 ? (?5)

3x ? 8 y ? 15 ? 0
把B,C代入两点式, 得
y ?3 x ?3 ? 2?3 0?3

5x ? 3 y ? 6 ? 0

A 例3三角形的顶点是 (?5,0), B(3,?3), C (0,2)

求这个三角形三边所在 的直线方程 .

解: 把A,C代入两点式得 , y ? 0 x ? (?5) ? 2 ? 0 0 ? (?5)

2 x ? 5 y ? 10 ? 0

AC 另解: 由A, C两点的坐标得直线 在x, y轴

上的截距为 ? ?5, b ? 2. 由截距式得 a

x y ? ?1 ?5 2

2 x ? 5 y ? 10 ? 0

五.直线方程的一般式

在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一

个表示这条直线的关于, y的二元一次方程 x 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般

Ax ? By ? C ? 0( A, B不同时为0)

A C A 1)当B ? 0时, 有y ? ? x ? , 这是斜率为 ? , BC B B 在y轴上的斜距为 的直线方程 ? . B C 2)当B ? 0时,因A, B不同时为 , 故A ? 0, x ? ? . 0 A 它表示一条与轴平行或重合的直线 y .

在平面直角坐标系中 , 任何关于 , y的二元 x 一次方程都表示一条直 . 线

Ax ? By ? C ? 0
叫做直线方程的一般式(A,B不同时为0)

求直线的点斜式和一般 式方程. 4 解: 点斜式方程式为 y ? 4 ? ? ( x ? 6) : 3

4 例4.已知直线经过点 (6,?4), 斜率为? , A 3

化成一般式得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 :

例5:

把直线方程 x ? 3 y ? 6 ? 0化成斜截式 截距 2 , 式, 求出它的斜率和它在, y轴上的截距 x .

2 y 解: 斜截式为 ? x ? 2. 3 x y 2 截距式为 ? ? 1斜率k ? . . ?3 2 3 x轴上的截距为 ? ?3, a y轴上的截距为 ? 2. b


名称

直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线

已知条件

点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b

y ? y1 x ? x1 不包括坐标轴以及与坐 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 标轴平行的直线
不包括过原点的直线及 x y ? ? 1 与坐标轴平行的直线 a b Ax+By+C=0 高考最终化简的形式


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