当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.5椭圆教案 理 新人教A版


§9.5
2014 高考会这样考





1.考查椭圆的定义及应用;2.考查椭圆的方程、几何性质;3.考查直

线与椭圆的位置关系. 复习备考要这样做 1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质;2.会利用定义法、待定系数法求椭

圆方程;3.重视数学思想方法的应用,体会解析

几何的本质——用代数方法求解几何问题.

1. 椭圆的概念 在平面内与两定点 F1、 F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个 定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程

x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 性 质 轴 焦距 离心率 顶点

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c

c e= ∈(0,1) a

1

a,b,c 的关系
[难点正本 疑点清源] 1. 椭圆焦点位置与 x ,y 系数间的关系:
2 2

c2=a2-b2

x2 y2 给出椭圆方程 + =1 时, 椭圆的焦点在 x 轴上?m>n>0, 椭圆的焦点在 y 轴上?0<m<n. m n
2. 求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b =a -c 就可求得 e (0<e<1). 3. 求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据:①中心 是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.
2 2 2

y2 1. 若椭圆 + 2=1 过点(-2, 3),则其焦距为________. 16 b
答案 4 3 解析 ∵点(-2, 3)在椭圆上, ∴ 4 3 2 + 2=1,即 b =4, 16 b
2

x2

∴c =16-4=12,故 2c=4 3. 2. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是__________. 答案 (0,1) 解析 将椭圆方程化为 + =1, 2 2
2 2

x2 y2 k

2 ∵焦点在 y 轴上,∴ >2,即 k<1,又 k>0,∴0<k<1.

k

x y 1 3. 已知椭圆的焦点在 y 轴上,若椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值是 2 m 2
A. 2 3 4 B. 3 5 C. 3 D. 8 3

2

2

(

)

答案 D 解析 由题意知 a =m,b =2,∴c =m-2. 1 c 1 m-2 1 8 ∵e= ,∴ 2= ,∴ = ,∴m= . 2 a 4 m 4 3 4. 已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.在△AF1B 中, 16 9 若有两边之和是 10,则第三边的长度为 A.6 B.5 C.4 D.3
2
2 2 2 2

x2

y2

(

)

答案 A 解析 根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16, 故所求的第三边的长度为 16-10=6. 5. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c, 若直线 y=2x 与椭圆的一个交点 P 的横坐标恰为 c, 则椭圆的离心率为 A. 2- 2 2 2 2- 1 B. 2 D. 2-1 ( )

x2 y2 a b

C. 3-1 答案 D

解析 依题意有 P(c,2c),点 P 在椭圆上,

c ? 2c? 所以有 2+ 2 a b
2 2

2

2

=1,
2 2 2 2

整理得 b c +4a c =a b , 又因为 b =a -c ,代入得 c -6a c +a =0, 即 e -6e +1=0,解得 e =3-2 2(3+2 2舍去), 从而 e= 2-1.
4 2 2 2 2 2 4 2 2 4

题型一 求椭圆的标准方程 例 1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形;且焦点到同侧顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程为____________; (2)(2011?课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 2

的方程为__________. 思维启迪:根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量. 答案 (1) + =1 或 + =1 12 9 9 12 (2) + =1 16 8 解析 (1)由已知?
2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

?a=2c, ?a-c= 3,

∴?

?a=2 3, ?c= 3.

从而 b =9,∴所求椭圆的标准方程为
3

+ =1 或 + =1. 12 9 9 12

x2

y2

x2

y2

4

(2)设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0),由 e=

x2 y2 a b

2 c 2 知 = , 2 a 2

b 1 故 2= . a 2
由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16, 故 a=4. ∴b =8. ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 探究提高 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即 首先确定焦点所在位置, 然后再根据条件建立关于 a, b 的方程组. 如果焦点位置不确定, 要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx +ny =1 (m>0,n>0,
2 2 2

2

x2

y2

m≠n)的形式. x2 y2 已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点,A,B 分别是此椭圆的右 a b
顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,OP∥AB,PF1⊥x 轴,|F1A|= 10+ 5,则此椭圆的方 程是____________. 答案 + =1 10 5

x2

y2

解析 由于直线 AB 的斜率为- ,故 OP 的斜率为- ,直线 OP 的方程为 y=- x.与椭 圆方程 2+ 2=1 联立,解得 x=± 从而-

b a

b a

b a

x2 y2 a b

2 2 a.因为 PF1⊥x 轴,所以 x=- a, 2 2

2 a=-c,即 a= 2c.又|F1A|=a+c= 10+ 5, 2

故 2c+c= 10+ 5,解得 c= 5,从而 a= 10. 所以所求的椭圆方程为 + =1. 10 5 题型二 椭圆的几何性质 例2 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 思维启迪:(1)在△PF1F2 中,使用余弦定理和|PF1|+|PF2|=2a,可求|PF1|?|PF2|与 a,

x2

y2

c 的关系,然后利用基本不等式找出不等关系,从而求出 e 的范围;
1 (2)利用 S△F1PF2= |PF1|?|PF2|sin 60°可证. 2

5

(1)解 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c =m +n -2mncos 60°=(m+n) -3mn =4a -3mn≥4a -3??
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

?m+n?2=4a2-3a2=a2 ? ? 2 ?
2

c 1 1 (当且仅当 m=n 时取等号).∴ 2≥ ,即 e≥ . a 4 2

?1 ? 又 0<e<1,∴e 的取值范围是? ,1?. ?2 ?
4 2 (2)证明 由(1)知 mn= b , 3 1 3 2 ∴S△PF1F2= mnsin 60°= b , 2 3 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. 探究提高 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形, 称为椭圆的焦点三角形, 与焦点三角 形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a、c 的关系. 定义式的平方 ? ? (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ? ?面积公式

? ?4c =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cos θ ?? 1 ? ?S =2|PF ||PF |sin θ
? |PF1|+|PF2|?
2 2 1

2

=? 2a?
2

2

2

1

2

.



1

2

(2012?安徽)如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2= 1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆

x2 y2 a b

C 的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 解 (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,

1 所以 e= . 2 (2)方法一 a =4c ,b =3c ,直线 AB 的方程为
2 2 2 2

y=- 3(x-c),
6

3 3 ? ?8 2 2 2 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 B? c,- c?, 5 ? ?5

?8 ? 16 所以|AB|= 1+3?? c-0?= c. ?5 ? 5
1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|?|AB|?sin∠F1AB= a? c? = a =40 3,解得 a=10,b 2 2 5 2 5 =5 3. 方法二 设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 8 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60°可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a? a? = a =40 2 5 2 5 3知,

a=10,b=5 3.
题型三 直线与椭圆的位置关系 例3 (2011?北京)已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, 4

x2

2

2

2

B 两点.
(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 思维启迪:对于直线和椭圆的交点问题,一般要转化为方程组解的问题,充分体现数形 结合思想. 解 (1)由已知得 a=2,b=1,所以 c= a -b = 3.
2 2

所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). 离心率为 e= =

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为(1, |AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). 3 3 ),(1,- ).此时 2 2

y=k? x-m? , ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?4

7

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

2

2

2

2 2

x1+x2=

8k m 4k m -4 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k
2 2

2

2 2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= ? = ? = = ? 1+k ?
2 2 2 2

|km|

k2+1

=1,

x2-x1?
[? x1+x2?

2

+? y2-y1?
2

2

-4x1x2]
2

? 64k m2 2 1+k ? ? ?? 1+4k ?

4 2

4? -

4k m -4? ? 2 ? 1+4k ?

2 2

4 3|m| . m2+3

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 4 3 3 ≤2,

|m|+ |m|

且当 m=± 3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2. 探究提高 (1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 x(或 y)建 立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关 系. (2)涉及到直线方程的设法时, 务必考虑全面, 不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情 形. 设 F1、F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4.
2

y2 b

4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)设直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b . 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点的坐标满足方程组
8
2

y=x+c, ? ? ? 2 y2 x + 2=1. ? b ?

化简得(1+b )x +2cx+1-2b =0,

2

2

2

-2c 1-2b 则 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+b 1+b 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|, 3 8 2 则 =(x1+x2) -4x1x2 9 = 4? 1-b ? 4? 1-2b ? = 2 2- 2 ? 1+b ? 1+b ?
2 2

2

8b 2 1+b ?

4

2



解得 b=

2? 2 ? ? b=- 不合题意,故舍去?. 2 ? 2 ?

步骤表述要规范

典例: (12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左, 右焦点分别为 F1, F2.点 P(a, b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆(x+1) +(y- 3) =16 相交于
2 2

x2 y2 a b

M,N 两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程.
审题视角 第(1)问由|PF2|=|F1F2|建立关于 a、c 的方程;第(2)问可以求出点 A、B 的 坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可,再利用圆的知识求解. 规范解答 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?

5 8

a-c?

2

+b =2c.整

2

c 2 c c c 1 1 理得 2( ) + -1=0,得 =-1(舍),或 = .所以 e= .[4 分] a a a a 2 2
(2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c ,直线 PF2 的方程为 y= 3 (x-c).
2 2 2

?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3? x-c? .
8 解得 x1=0,x2= c.[6 分] 5

2

2

2

消去 y 并整理,得 5x -8cx=0.

2

9

?x1=0, 得方程组的解? ?y1=- 3c,

8 x = c, ? ? 5 ? 3 3 ? ?y = 5 c.
2 2

8 3 3 不妨设 A( c, c),B(0,- 3c), 5 5 所以|AB|= ? 8 c? 5
2

+?

3 3 c+ 3c? 5

2

16 = c.[8 分] 5

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离

d=

|- 3- 3- 3c| 3|2+c| = .[10 分] 2 2

|MN| 2 2 2 因为 d +( ) =4 , 2 3 2 2 所以 (2+c) +c =16. 4 26 2 整理得 7c +12c-52=0,得 c=- (舍),或 c=2. 7 所以椭圆方程为 + =1.[12 分] 16 12 温馨提醒 (1)解决与弦长有关的椭圆方程问题,首先根据题设条件设出所求的椭圆方

x2

y2

程,再由直线与椭圆联立,结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数. (2)用待定系数法求椭圆方程时,可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c),这样 可避免繁琐的运算.

方法与技巧 1. 求椭圆的标准方程时,应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考.“定形”就是 指椭圆的对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,能否确定椭圆的焦点在哪个坐 标轴上.“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式,“定量”就是指利用定义 和已知条件确定方程中的系数 a,b 或 m,n. 2. 讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种: (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b =a -c ,消去 b,转化成关
10
2 2 2

c a

于 e 的方程(或不等式)求解. 失误与防范 1. 判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x 与 y 的分母大小. 2. 注意椭圆的范围,在设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这 往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用, 也是容易被忽略而导致求最值错误的原因. 3. 注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题,求函数的单 调区间、最值时有重要意义.
2 2

x2 y2 a b

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

x2 y2 1. (2012?江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、 a b F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为
( A. 1 4 ) B. 5 5 C. 1 2 D. 5-2

答案 B 解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 且三者成等比数列,则|F1F2| =|AF1|?|F1B|, 即 4c =a -c ,a =5c , 1 5 2 所以 e = ,所以 e= . 5 5 4 2. 已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 5 ( A.9 C.1 或 9 答案 C B.1 D.以上都不对 )
2 2 2 2 2 2

11

解析

b=3 ? ?c 4 ?a=5 ? ?a =b +c
2 2

,解得 a=5,b=3,c=4.
2

∴椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 a+c=9 或 a-c=1. 1 2 2 3. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C:x +y -2x-15=0 的 2 半径,则椭圆的标准方程是 A. + =1 4 3 C. +y =1 4 答案 A 解析 由 x +y -2x-15=0,知 r=4=2a? a=2.
2 2

( B. + =1 16 12 D. + =1 16 4

)

x2 y2 x2

x2

y2 x2

2

y2

c 1 2 2 2 又 e= = ,c=1,则 b =a -c =3. a 2 x → → 2 4. 已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且MF1?MF2=0,则点 4 M 到 y 轴的距离为
A. 2 3 3 2 6 B. 3 C. 3 3 D. 3 ( )
2

答案 B 解析 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). → → 设 M(x,y),则MF1?MF2=(- 3-x,-y)?( 3-x,-y)=0, 整理得 x +y =3.① 又因为点 M 在椭圆上,故 +y =1, 4 即 y =1- .② 4 3 2 2 6 将②代入①,得 x =2,解得 x=± . 4 3 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 . 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知 F1、 F2 是椭圆 C 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上, 且满足|PF1|=2|PF2|, ∠PF1F2=30°, 则椭圆的离心率为____________.
2 2 2

x2

2

x2

12

答案

3 3

π 解析 在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= ,设|PF2|=1,则 2 2c 3 |PF1|=2,|F2F1|= 3,所以离心率 e= = . 2a 3 6. 已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一点,若连接 F1,F2,P 三点恰好 16 25 能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是________. 答案 16 5

x2

y2

解析 F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4, ∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°. 16 设 P(x,3),代入椭圆方程得 x=± . 5 16 即点 P 到 y 轴的距离是 . 5 7. 如图所示,A,B 是椭圆的两个顶点,C 是 AB 的中点,F 为椭圆的 右焦点,OC 的延长线交椭圆于点 M,且|OF|= 2,若 MF⊥OA, 则椭圆的方程为__________. 答案

x2 y2
4

+ =1 2

解析 设所求的椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0),

x2 y2 a b

? ? 2 2 则 A(a,0),B(0,b),C? , ?,F( a -b ,0). ?2 2?
a b
依题意,得 a -b = 2,FM 的直线方程是 x= 2,
2 2

? 所以 M? 2, ?

b a

a2-2? ?.

?

b a2-2 b a 2 由于 O,C,M 三点共线,所以 = , a 2
2 即 a -2=2,所以 a =4,b =2. 所求方程是 + =1. 4 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且 2|F1F2|=|PF1|
13
2 2 2

x2 y2

+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2 的面积. 解 (1)依题意得|F1F2|=2,

又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1,b =3. ∴所求椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设 P 点坐标为(x,y),∵∠F2F1P=120°, ∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)?tan 120°, 即 y=- 3(x+1).
2

x2 y2

? ?y=- 3? x+1? , 解方程组?x2 y2 + =1, ? ?4 3
8 ? ?x=-5, 并注意到 x<0,y>0,可得? 3 3 y= ? ? 5. 1 3 3 3 3 ∴S△PF1F2= |F1F2|? = . 2 5 5

14

9. (12 分)(2012?安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C:

x2 + a2 y2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上 b2 a2 半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q. c
(1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

b2 -0 a b2? b2 ? (1)解 方法一 由条件知,P?-c, ?,故直线 PF2 的斜率为 kPF2= =- . a? -c-c 2ac ?
因为 PF2⊥F2Q, 2ac 2ac ?a ? 所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 ,故 Q? ,2a?.
2 2

b

b

?c

?

由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. 故椭圆方程为 + =1. 4 3

a2 c

x2 y2

a2 方法二 设直线 x= 与 x 轴交于点 M. c
由条件知,P?-c, ?. |PF1| |F1F2| 因为△PF1F2∽△F2MQ,所以 = , |F2M| |MQ| 2c = ,解得|MQ|=2a. a2 |MQ| -c c
2

? ?

b2? a?



b2 a

a ? ? =4, 所以? c ? ?2a=4,

解得?

?a=2, ? ?c=1. ?

故椭圆方程为 + =1. 4 3

x2 y2

a2 x- c y-2a (2)证明 直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c

15

即 y= x+a. 将上式代入 2+ 2=1 得 x +2cx+c =0,

c a

x2 y2 a b

2

2

b2 解得 x=-c,y= . a
所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)

x y 3a 1. (2012?课标全国)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,P 为直线 x= 上 a b 2
一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为 A. 1 2 2 B. 3 C. 3 4 D. 4 5 ( )

2

2

答案 C 解析 由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°, ∴∠PF2x=60°.

?3 ? ∴|PF2|=2?? a-c?=3a-2c. ?2 ?
∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,

c 3 ∴e= = . a 4 x y → 2. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则OP? 4 3

2 2

FP的最大值为
A.2 答案 C 解析 由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0), → → 2 2 则OP?FP=(x0,y0)?(x0+1,y0)=x0+x0+y0. ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. 4 3 B.3 C.6 D.8

(

)

x2 y2 0 0
2

x0 → → 2 ∴OP?FP=x0+x0+3(1- ) 4 x0 1 2 = +x0+3= (x0+2) +2. 4 4
16
2

∵-2≤x0≤2, → → ∴OP?FP的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. 3. 在椭圆 + =1 内,通过点 M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为 16 4 A.x+4y-5=0 C.4x+y-5=0 答案 A 解析 设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), B.x-4y-5=0 D.4x-y-5=0

x2

y2

(

)

x y ? ?16+ 4 =1, 则? x y ? ?16+ 4 =1,
2 2 2 2

2 1

2 1

① ②

由①-②,得 ?

x1+x2? ? x1-x2?
16 因?
? ?x1+x2=2, ?y1+y2=2, ?



?

y1+y2? ? y1-y2?
4

=0,

所以

y1-y2 4? x1+x2? 1 =- =- , x1-x2 16? y1+y2? 4

1 所以所求直线方程为 y-1=- (x-1), 4 即 x+4y-5=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 答案 15 解析 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知 M

x2

y2

点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+ |PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ? 6-3?
2

+4 =15.

2

5. 如图,已知点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上一点, 1 若 PF1⊥PF2,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率是________. 2 答案 5 3

x2 y2 a b

解析 由题得△PF1F2 为直角三角形,设|PF1|=m,

17

1 m 5 ∵tan∠PF1F2= ,∴|PF2|= ,|F1F2|= m, 2 2 2

c |F1F2| 5 ∴e= = = . a |PF1|+|PF2| 3 x y 1 6. 已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A、B,C 为椭圆上异于长轴 a b 3
sin A+sin B 端点的任意一点,则在△ABC 中, 的值等于________. sin C 答案 3 sin A+sin B |CB|+|CA| 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,因为点 C 在椭圆上,所 sin C |AB| sin A+sin B 2a 1 以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以 = = =3. sin C 2c e 三、解答题
2 2

x2 y2 1 7. (13 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 ,点 P 是椭圆上异于顶点 a b 2
的任意一点,过点 P 作椭圆的切线 l,交 y 轴于点 A,直线 l′过点 P 且垂直于 l,交 y 轴于点 B. (1)求椭圆的方程; (2)试判断以 AB 为直径的圆能否经过定点?若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由. 解

c 1 (1)∵2a=4, = ,∴a=2,c=1,b= 3. a 2 x2 y2

∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)能.设点 P(x0,y0) (x0≠0,y0≠0), 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0), 代入 + =1, 4 3 整理得(3+4k )x +8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0) -12=0. ∵x=x0 是方程的两个相等实根, 8k? ∴2x0=-
2 2 2

x2 y2

y0-kx0? 3x0 ,解得 k=- . 2 3+4k 4y0
3x0 (x-x0). 4y0
2 2

∴直线 l 的方程为 y-y0=-

? 4y0+3x0?. 令 x=0,得点 A 的坐标为?0, 4y0 ? ? ?

18

又∵ + =1,∴4y0+3x0=12. 4 3

x2 y2 0 0

2

2

? 3? ∴点 A 的坐标为?0, ?. ?
y0?
4y0 又直线 l′的方程为 y-y0= (x-x0), 3x0 令 x=0,得点 B 的坐标为?0,- ?. 3? ? ∴以 AB 为直径的圆的方程为

?

y0?

? 3 ? ? y0? x?x+?y- ???y+ ?=0. ? y0? ? 3 ? ?y0 3 ? 2 2 整理,得 x +y +? - ?y-1=0.令 y=0,得 x=±1, ? 3 y0?
∴以 AB 为直径的圆恒过定点(1,0)和(-1,0).

19


相关文章:
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.5椭圆教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.5椭圆教案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。§9.5 2014 高考会这样考 椭 圆 1.考查椭圆的定义及应用;2.考查...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.1直线的方程教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.1直线的方程教案 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§9.1 2014 高考会这样考 直线的方程 1.考查直线的有...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.3圆的方程教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.3圆的方程教案 新人教A版_数学_高中...-27+4m ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= .[6 分] 5 故-27+4m 12+m...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。§9.4 2014 高考会这样考 直线与圆、圆与...
【步步高】届高三数学大一轮复习 椭圆学案 理 新人教A版
【步步高】届高三数学大一轮复习 椭圆学案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区...(1+k )=, 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k )= .[9 分] 4 ...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.7抛物线教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.7抛物线教案 新人教A版_高三数学_...探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、 双曲线的位置关系类似, ...
2014届高三人教A版数学一轮复习精练 9.5 椭圆 Word版含解析]
2014届高三人教A版数学轮复习精练 9.5 椭圆 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三人教A版数学轮复习精练 9.5 椭圆 Word版含解析]双基...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.4平面向量的应用教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.4平面向量的应用教案 新人教A版_高三...16 12 所以点 P 在椭圆上,其方程为 +=1. 16 12 →→→ (2)因PE?PF=...
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教案 理 新人教A版
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教案 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。§4.4 2014 高考会这样考 函数 y=Asin(...
更多相关标签:

相关文章