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1999年全国高中数学联赛试题及解答


1999 年全国高中数学联赛

冯惠愚

一九九九年全国高中数学联合竞赛
第一试 (10 月 10 日上午 8:00-9:40) 一.选择题: (每小题 6 分) 1.给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 ,… ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n ,… 则数 列{b

n} ( ) (A)是等差数列 (B)是公比 q 为的等比数列 3 (C)是公比为 q 的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2 的整 点(x,y)的个数是( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)25 -y -y x x 3.若(log23) -(log53) ≥ (log23) -(log53) ,则( ) (A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0 4.给定下列两个关于异面直线的命题: 命题 1:若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与 β 的交线,那么 c 至多 与 a , b 中的一条相交。 命题 2:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) (A)命题 1 正确,命题 2 不正确 (B)命题 2 正确,命题 1 不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确 5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退 出了,这样,全部比赛只进行了 50 场,那么在上述 3 名选手之间比赛的场数是( ) (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 2 6.已知点 A(1,2) ,过点(5,-2)的直线与抛物线 y =4x 交于另外两点 B,C,那么△ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定 一、 填空题:(每小题 9 分) 1、已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么这样的 n 的个数 是 . 5 cos2θ+isin2θ 2、已知 θ=arctan ,那么复数 z= 的辐角主值是 12 239+i cotC 3、在△ABC 中,记 BC=a , CA=b , AB=c ,若 9a2+9b2-19c2=0 , 则 = cotA+cotB . .

x2 y2 4、已知点 P 在双曲线 - =1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个 16 9 焦点的距离的等差中项,那么 P 的横坐标是 . 5、已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是 . 6、已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,二面角 H -AB-C 的平面角等于 30°,SA=2 3,那么三棱锥 S—ABC 的体积为 三、 (本题满分为 20 分) 已知当 x ∈[0,1]时,不等式
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2

x cosθ-x(1-x)+(1-x) sinθ>0 恒成立,试求 θ 的取值范围。

2

四、 (本题满分 20 分) x2 y2 5 给定 A(-2,2) ,已知 B 是椭圆 + =1 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ |BF|取最小值时,求 B 的坐标。 25 16 3

五、 (本题满分 20 分) 给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 a21+a2n+1≤M 的所有等差数列 a1,a2,a3,…,试求 S=an+1+an+2+… +a2n+1 的最大值。

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冯惠愚

第二试 一、(满分 50 分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。 在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G.求证:∠ GAC=∠EAC.

A D E B G C F

二、(满分 50 分)给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足:

?|z1|=|z2|=|z3|=1, ? ?z1 z2 z3 求|az1+bz2+cz3|的值. ? ?z2+z3+z1=1.

三、 (满分 50 分)给定正整数 n, 已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1,2,3,…,n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f(n); (2)当且仅当 n 取什么值时,上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。

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一九九九年全国高中数学联赛解答 第一试 一.选择题: (每小题 6 分) 1.给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 ,… ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n ,… 则数 列{bn} ( ) (A)是等差数列 (B)是公比 q 为的等比数列 3 (C)是公比为 q 的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 解:由题设,an=a1qn
-1

,则

2 bn+1 a3n+1+a3n+2+a3n+3 a3n+1(1+q+q ) 3 =a +a +a = =q . bn 3n-2 3n-1 3n a3n-1(1+q+q2)

因此,{bn}是公比为 q3 的等比数列.故选 C 2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2 的整 点(x,y)的个数是( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)25 解:由(|x|-1)2+(|y|-1)2<2,可得(|x|-1,|y|-1)为(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0)或(-1,0).从而, 不难得到(x,y)共有 16 个.选 A 3.若(log23)x-(log53) x≥ (log23) –y-(log53) y,则( (A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0


) (D)x+y≤0

解:记 f(t)=(log23)t-(log53)t,则 f(t)在 R 上是严格增函数.原不等式即 f(x)≥f(-y). 故 x≥-y,即 x+y≥0.选 B. 4.给定下列两个关于异面直线的命题: 命题 1:若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与 β 的交线,那么 c 至多 与 a , b 中的一条相交。 命题 2:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) (A)命题 1 正确,命题 2 不正确 (B)命题 2 正确,命题 1 不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确 解:如图,c 与 a、b 都相交;故命题Ⅰ不正确;又可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直 线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中的任意两条都是异面直线,从而命题Ⅱ也不正确.选 D 5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退 出了,这样,全部比赛只进行了 50 场,那么在上述 3 名选手之间比赛的场数是( ) (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 解:设这三名选手之间的比赛场数是 r,共 n 名选手参赛.由题意,可得 50=Cn-3+r+(6-2r),即 1 (n-3)(n-4) =44+r.由于 0≤r≤3,经检验可知,仅当 r=1 时,n=13 为正整数.选 B. 2 6.已知点 A(1,2) ,过点(5,-2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B,C,那么△ABC 是( (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定 )
2

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2

冯惠愚

y-2t x-t 解:设 B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线 BC 的方程为 = ,化得 2x-(s+t)y+2st=0. 2s-2t s2-t2 由于直线 BC 过点(5,-2),故 2× 5-(s+t)(-2)+2st=0,即 (s+1)(t+1)=-4. 2t-2 2s-2 4 因此,kAB?kAC= 2 ·2 = =-1.. t -1 s -1 (s+1)(t+1) 所以,∠BAC=90° ,从而△ABC 是直角三角形. 二.填空题:(每小题 9 分) 1、已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么这样的 n 的个数 是 . 解:首项为 a 为的连续 k 个正整数之和为 k(k+1) 1 Sk=ka+ k(k+1)≥ . 2 2 由 Sk≤2000,可得 60≤k≤62. 当 k=60 时,Sk=60a+30× 59,由 Sk≤2000,可得 a≤3,故 Sk=1830,1890,1950; 当 k=61 时,Sk=61a+30× 61,由 Sk≤2000,可得 a≤2,故 Sk=1891,1952; 当 k=62 时,Sk=62a+31× 61,由 Sk≤2000,可得 a≤1,故 Sk=1953. 于是,题中的 n 有 6 个. 5 cos2θ+isin2θ 2、已知 θ=arctan ,那么复数 z= 的辐角主值是 12 239+i 解:z 的辐角主值 argz=arg[(12+5i)2(239-i)] =arg[(119+120i)(239-i)] π =arg(28561+28561i)= . 4 cotC 3、在△ABC 中,记 BC=a , CA=b , AB=c ,若 9a2+9b2-19c2=0 , 则 = cotA+cotB cosC sinC cotC sinAsinBcosC 解: = = cotA+cotB cosA cosB sin2C + sinA sinB =
2 2 2 2 2 2 ab a +b -c a +b -c 5 = = . 2· 2 c 2ab 2c 9





x2 y2 4、已知点 P 在双曲线 - =1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个 16 9 焦点的距离的等差中项,那么 P 的横坐标是 c 5 a2 16 b=3, c=5, e= = , 右准线 l 为 x= = . a 4 c 5 如果 P 在双曲线右支,则 |PF1|=|PF2|+2a=ed+2a. 从而, |PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d, 这不可能;故 P 在双曲线的左支,则
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解:记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为 a、b、c,离心率为 e,点 P 到右准线 l 的距离为 d,则 a=4,

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|PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d. 两式相加得 2|PF2|=2a+2d. 又|PF2|=ed,从而 ed=a+d. a 4 故 d= = =16. e-1 5 -1 4 16 64 因此,P 的横坐标为 -16=- . 5 5 5、已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么这样的直线的条数是 . a 解:设倾斜角为 θ,则 tanθ=- >0.不妨设 a>0,则 b<0. b (1)c=0,a 有三种取法,b 有三种取法,排除 2 个重复(3x-3y=0,2x-2y=0 与 x-y=0 为同一直线),故这 样的直线有 3× 3-2=7 条; (2)c≠0,则 a 有三种取法,b 有三种取法,c 有四种取法,且其中任两条直线均不相同,故这样的直线 有 3× 4=36 条. 3× 从而,符合要求的直线有 7+36=43 条. 6、已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,二面角 H— AB—C 的平面角等于 30°,SA=2 3,那么三棱锥 S—ABC 的体积为 . 解:由题设,AH⊥面 SBC.作 BH⊥SC 于 E.由三垂线定理可知 SC⊥AE,SC⊥AB.故 SC⊥面 ABE.设 S 在面 ABC 内射影为 O, SO⊥面 ABC. 则 由三垂线定理之逆定理, 可知 CO⊥AB 于 F. 同理, BO⊥AC. 故 O 为△ ABC 的垂心.又因为△ ABC 是等边三角形,故 O 为△ ABC 的中心,从而 SA=SB=SC=2 3. 因为 CF⊥AB, 是 EF 在面 ABC 上的射影, CF 由三垂线定理, EF⊥AB. 所以, ∠EFC 是二面角 H-AB-C 的平面角.故∠EFC=30° , S 1 OC=SCcos60° 2 3? = 3, = 2 SO= 3tan60° =3. 又 OC= 3 AB,故 AB= 3OC= 3× 3=3. 3
A F O B E H C

1 3 9 所以,VS-ABC= ? ?32?3= 3. 3 4 4 三、 (本题满分为 20 分) 已知当 x ∈[0,1]时,不等式 x2cosθ-x(1-x)+(1-x) 2sinθ>0 恒成立,试求 θ 的取值范围。 解:若对一切 x∈[0,1],恒有 f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0, 则 cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. (1) 取 x0= sinθ ∈(0,1),则 cosθx0- sinθ(1-x0)=0. cosθ+ sinθ

1 由于 f(x)=[ cosθx- sinθ(1-x)]2+2(- + cosθsinθ)x(1-x). 2 1 所以,0<f(x0)=2(- + cosθsinθ)x0(1-x0) . 2
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1 故- + cosθsinθ>0 2

(2)

反之,当(1),(2)成立时,f(0)=sinθ>0,f(1)=cosθ>0,且 x∈(0,1)时, 1 f(x)≥2(- + cosθsinθ)x(1-x)>0. 2 先在[0,2π]中解(1)与(2): π 由 cosθ>0,sinθ>0,可得 0<θ< . 2 1 1 又- + cosθsinθ>0, cosθsinθ> , 2 2 1 1 1 sin2θ> , sin2θ> , 2 4 2 π 5π 注意到 0<2θ<π,故有 <2θ< , 6 6 π 5π 所以, <θ< . 12 12 π 5π 因此,原题中 θ 的取值范围是 2kπ+ <θ<2kπ+ , k∈Z. 12 12

四、 (本题满分 20 分) x2 y2 5 给定 A(-2,2) ,已知 B 是椭圆 + =1 上的动点,F 是左焦点,当|AB|+ |BF|取最小值时,求 B 的 25 16 3 坐标. c 3 解:记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a、b、c,离心率为 e.则 a=5,b=4,c= a2-b2=3,e= = , a 5 25 左准线为 x=- . 3 25 过点 B 作左准线 x=- 的垂线,垂足为 N,过 A 作此准线的垂线,垂足为 M.由椭圆定义, 3 |BN|= 于是, 5 25 19 |AB|+ |BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(-2)-(- )= (定值),等号成立当且仅 3 3 3 5 3 当 B 是 AM 与椭圆的交点时,此时 B(- ,2) 2 5 5 3 所以,当|AB|+ |BF|取最小值时,B 的坐标为(- ,2). 3 2
N M

|BF| 5 = |BF|. e 3
l B' B A F1 O
x y

五、 (本题满分 20 分) 给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件 a21+a2n+1≤M 的所有等差数列 a1,a2,a3,…,试求 S=an+1+an+2+… +a2n+1 的最大值。 解 设此数列的公差为 d,
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3 S 3 则 S= an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)(a1+ nd).故 =a + nd. 2 n+1 1 2 3 由 n 给定,故应求 a1+ nd =t 的最大值. 2 3 9 M≥a12+(a1+nd)2=2a12+2a1nd+n2d2=λ(a1+ nd)2+(2-λ)a12+(2-3λ)a1nd+(1- λ)n2d2 2 4 9 (若(2-λ)a12+(2-3λ)a1nd+(1- λ)n2d2 能配成完全平方式,则可求出 t 的最大值.) 4 9 2 取(2-3λ)2-4(2-λ)(1- λ)=0,即 4-12λ+9λ2-8+22λ-9λ2=0,λ= . 4 5 2 3 1 2 S 2 ∴ M≥ (a1+ nd)2+ (4a1+nd)2≥ ( ). 5 2 10 5 n+1 ∴ S≤ d= 10 2 3 1 10M (n+1) M . 等号当且仅当 4a1+nd=0 及 M= (a1+ nd)2 时成立. a1=- nd, 1=- 即 a , 2 5 2 4 10

4 1 10 · M 时成立.易算得此时 a12+an+12=M,S= (n+1) M . 2 10 n ∴ S 的最大值为 10 (n+1) M . 2

第二试 一、(满分 50 分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相 交于 F,延长 DF 交 BC 于 G。求证:∠GAC=∠EAC. CG BH DE 证明 连结 BD 交 AC 于 H,对⊿BCD 用 Ceva 定理,可得 · · =1. GB HD EC BH AB 因为 AH 是?BAD 的角平分线,由角平分线定理,可得 = , HD AD 故 CG AB DE · · =1. GB AD EC 过点 C 作 AB 的平行线交 AG 延长线于 I,过点 C 作 AD 的平行线 交 AE 的延长线于 J, 则 CG CI DE AD CI AB AD = , = ,所以, · · =1. GB AB EC CJ AB AD CJ 从而,CI=CJ. 又因 CI∥AB,CJ∥AD,故?ACI=π-?BAC=π-?DAC=?ACJ, 因此,⊿ACI≌⊿ACJ,从而?IAC=?JAC,即?GAC=?EAC. 二、(满分 50 分)给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足:
I J B G C H F E D A

?|z1|=|z2|=|z3|=1, ? ?z1 z2 z3 求|az1+bz2+cz3|的值。 ? ?z2+z3+z1=1.
解:记 eiθ=cosθ+isinθ. z1 z2 z3 ( + ) 可设 =eiθ, =eiφ,则 =ei θ φ . z2 z3 z1 由题设,有 eiθ+eiφ+ei(θ+φ)=1.

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两边取虚部,有 0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ) θ+φ θ-φ θ+φ θ+φ =2sin cos -2sin cos 2 2 2 2

=2sin 2 (cos 2 -cos 2 ) =4sin 2 sin2sin2 .
故 θ=2kπ 或 φ=2kπ 或 θ+φ=2kπ,k∈Z. 因而,z1=z2 或 z2=z3 或 z3=z1. z1 z3 如果 z1=z2,代入原式即 1+ + =1. z3 z1 z3 z3 故( )2+1=0,故 =±i. z1 z1 这时,|az1+bz2+cz3|=|z1||a+b± ci| = (a+b)2+c2. 类似地,如果 z2=z3,则|az1+bz2+cz3|= (b+c)2+a2, 如果 z3=z1,则|az1+bz2+cz3|= (c+a)2+b2. 所以,|az1+bz2+cz3|的值为 (a+b)2+c2 或 (b+c)2+a2 θ+φ θ φ

θ+φ

θ-φ

θ+φ



(c+a)2+b2.

三、(满分 50 分)给定正整数 n,已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1,2, 3,…,n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f(n); (2)当且仅当 n 取什么值时,上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。 (1)解:设这 k 块砝码的质量数分别为 a1,a2,…,ak,且 1≤a1≤a2≤…≤ak,ai∈Z,1≤i≤k.因为天平两端都
k

可以放砝码,故可称质量为∑xiai,xi∈{-1,0,1}.若利用这 k 块砝码可以称出质量为 1,2,3,…,n
i=1

的物品,则上述表示式中含有 1,2,…,n,由对称性易知也含有 0,-1,-2,…,-n,即
n

{ ∑ xiai|xi∈{-1,0,1}}?{0,± 1,…,± n}.
k=1 n

所以,2n+1=|{0,± 1,…,± n}| ≤|{ ∑ xiai|xi∈{-1,0,1}}|≤3k,
k=1

3k-1 即 n≤ . 2 设 3m 1-1 3m-1 <n≤ (m≥1,m∈Z),则 k≥m. 2 2
- -

且 k=m 时,可取 a1=1,a2=3,…,am=3m 1.

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m m


冯惠愚

由数的三进制表示可知,对任意 0≤p≤3 -1,都有 p=∑yi·i 1,其中 yi∈{0,1,2}. 3
i=1 m m m

3m 1-1 - - - 则 p- =∑yi·i 1-∑3i 1=∑(yi-1)·i 1. 3 3 2 i=1 i=1 i=1 令 xi=yi-1,则 xi∈{-1,0,1}. 3m-1 3m-1 - 故对一切- ≤l≤ 的整数 l,都有 l=∑xi·i 1,其中 xi∈{-1,0,1}. 3 2 2 i=1 3m-1 由于 n≤ ,因此,对一切-n≤l≤n 的整数 l,也有上述表示. 2 综上,可知 k 的最小值 3m 1-1 3m-1 f(n)=m.( <n≤ ) . 2 2 3m-1 3m 1-1 - (2)证明:Ⅰ.当 <n< 时,由(1)可知 1,3,…,3m 1,3m 就是一种砝码的组成方式.下面 2 2 我们证明 1,3,…,3m 1,3m-1 也是一种方式 3m-1 - 若 1≤l≤ ,由(1)可知 l=∑xi·i 1,xi∈{-1,0,1}. 3 2 =1 i
m m
- + -



m

则 l=∑xi·i 1+0· m-1); 3 (3


i=1

3m-1 3m 1-1 3m-1 3m 1-1 若 <l≤n< ,则 <l+1≤ . 2 2 2 2 由(1)可知
m+1

+

+

l+1= ∑ xi·i 1,其中 xi∈{-1,0,1}. 3


i=1 m m

易知 xm+1=1.(否则 l≤∑3
i=1

i-1

3m-1 - -1= -1,矛盾)则 l=∑xi·i 1+1· m-1). 3 (3 2 i=1

3m-1 所以,当 n≠ 时,f(n)块砝码的组成方式不惟一. 2 3m-1 - Ⅱ.下面我们证明:当 n= 时,f(n)=m 块砝码的组成方式是惟一的,即 ai=3i 1(1≤i≤m). 2 3m-1 3m-1 若对每个- ≤l≤ ,都有 l=∑xiai,xi∈{-1,0,1}. 2 2 i=1 3m-1 即 {∑xiai|xi∈{-1,0,1}}?{0,± 1,…,± }. 2 i=1
m m

- 10 -

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m

冯惠愚

3m-1 注意左边集合中至多有 3m 个元素.故必有{∑xiai|xi∈{-1,0,1}}={0,± 1,…,± }. 2 i=1 3m-1 3m-1 从而,对每个 l,- ≤l≤ ,都可以惟一地表示为 2 2
m

l=∑xiai,其中 xi∈{-1,0,1}.
i=1 m m m m m

3m-1 3m-1 因而,∑ai= .则∑(xi+1)ai=∑xiai+∑ai=∑xiai+ . 2 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 令 yi=xi+1,则 yi∈{0,1,2}.
m

由上可知,对每个 0≤l≤3m-1,都可以惟一地表示为 l=∑yiai,其中 yi∈{0,1,2}.
i=1

特别地,易知 1≤a1<a2<…<am. 下面用归纳法证明 ai=3i 1? (1 ≤i≤m).
m


当 i=1 时,易知∑yiai 中最小的正整数是 a1,故 a1=1.
i=1

假设当 1≤i≤p 时,ai=3i
m i=1 m


-1



由于∑yiai =∑yi·i 1, yi∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知它们正好是 0,1,2,…,3p-1,故 ap+1 3
i=1 m

应是除上述表示外{∑yiai |yi∈{0,1,2}}中最小的数,因此,ap+1=3p.
i=1

由归纳法可知,ai=3i 1(1≤i≤m). 3m-1 综合Ⅰ,Ⅱ可知,当且仅当 n= 时,上述 f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的. 2



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1999年全国高中数学联赛试题及解答
(本题满分为 20 分) 已知当 x ∈[0,1]时,不等式 -1- . 1999 年全国高中数学联赛 冯惠愚 2 x cosθ-x(1-x)+(1-x) sinθ>0 恒成立,试求 θ ...
1990年全国高中数学联赛试题及解答
1990年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。1990 年全国高中数学联赛 第一试 (10 月 14 日上午 8∶00—10∶00) 一.选择题(本题满分 30...
1991年全国高中数学联赛试题及解答
1991年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。1991年全国高中...+C2000×19903+C2000×19902+C2000×1990+1 ≡1000×1999×19902+2000×1990+...
1999年全国高中数学联赛试卷及解答
1999 年全国高中数学联赛试题第一试 一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的, 、、、 请将正确答案...
1998年全国高中数学联赛试题及解答
1998年全国高中数学联赛试题及解答_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛试题及解答 1998 年全国高中数学联赛 冯惠愚 一九九八年全国高中数学联合竞赛...
1997年全国高中数学联赛试题及解答
1997年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。1997 年全国高中...第 97、98、99、100 行之和=0.故 k≤97. 24 反之,如果表 2 中第 97...
1999年全国高中数学联赛试卷及答案
1999 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个 、、、 是正确的,请将正确...
2009年全国高中数学联赛试题及答案
2009年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年全国高中...1 ? x2 2 2 ?99? f ? x ?? ?? ? ,则 f ?1? ? n . 2. ...
1991年全国高中数学联赛试题及解答
. ·3· 1991 年全国高中数学联赛解答 第一试 一.选择题: 1.由一个正方体...+C2000×19903+C2000×19902+C2000×1990+1 ≡1000×1999×19902+2000×1990+...
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