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2014高考数学(理)黄金配套练习7—3


第七章 7.3 第 3 课时
2014 高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.点(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则( ) A.a<-7 或 a>24 B.-7<a<24 C.a=-7 或 a=24 D.以上都不对 答案 B 解析 ∵(3,1)和(-4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧.∴(9-2+a)· (-12-12

+a)<0 即(a+7)(a-24)<0 ∴-7<a<24.选 B. 2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知平面区域 A={(x, y)|x+y≤1, 且 x≥0, y≥0}, 则平面区域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( ) 1 1 A.2 B.1 C.2 D.4
[来源:学科网]

答案 解析

B 令 x+y=u,x-y=v, 的平面区域,

?u≤1, 于是集合 B 转化为不等式组?u+v≥0, ?u-v≥0
1 如图,平面区域的面积为2× 2× 1=1.

?x-y+2≥0, 3.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ?x+y-8≤0,

则目标函数 z=3x-4y 的最

大值和最小值分别为( ) A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3 答案 A 解析 本题可以采取较为简单的方法,由于三条直线围成的平面区域是三角 形,根据题意可知目标函数 z=3x-4y 的最值一定在直线的交点处取得.三条直线 的交点分别为 A(0,2),B(3,5),C(5,3),代入目标函数可得 z=3x-4y 的最大值为 3, 在 C 点处取得;最小值为-11,在 B 点处取得,故选 A.
[来源:Z|xx|k.Com]

?y≥x 4.已知 x、y 满足不等式组?x+y≤2 ?x≥a
倍,则 a=( A.0 2 C.3 答案 B ) 1 B.3 D.1

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 3

依题意可知 a<1.作出可行域如图所示,z=2x+y 在 A 点和 B 点处分别 ?x=a ?x+y=2 取得最小值和最大值.由? 得 A(a,a),由? 得 B(1,1). ?y=x ?y=x 1 ∴zmax=3,zmin=3a.∴a=3. ?x≥1 y 5.已知实数 x,y 满足?x-2y+1≤0 ,如果目标函数 z=x的最大值为 2,则 ?x+y≤m 实数 m=( A.2 C.4 ) B.3 D.5

解析

答案 解析

B y 可作可行域如图所示,目标函数 z=x可以看作是可行域中一点与原点

y 连线的斜率,显然目标函数的图象过点 A 和点 O 时,目标函数 z=x取得最大值 2. 此时 x=1,y=2,∴m=1+2= 3,故选 B. y ≤x

? ?x+2y≤4 6.已知实数 x,y 满足不等式组? 1 ? ?y≥2x+m
)

,且 z=x2+y2+2x-2y+2 的最

小值为 2,则实数 m 的取值范围为( A.(-∞,0) 4 C.(-∞,3]

B.(-∞,0] 4 D.(0,3]

答案

B

解析 画出可行域如图所示,由题知 z=(x+1)2+(y-1)2,过点(-1,1)作直线 y=x 的垂线,垂足为原点 O,点(-1,1)与点 O 之间距离的平方恰好为 2,说明点 O 1 一定在可行域内,则直线 y=2x+m 在 y 轴上的截距 m≤0,故选 B. 7.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解 有无穷多个,则 a 的值为( )

1 A.4 C.4 答案 解析 B 3 3 -a=kAC=-5? a=5.

3 B.5 5 D.3

8.已知方程 ax2+bx-1=0(a,b∈R 且 a>0)有两个实数根,其中一个根在区 间(1,2)内,则 a-b 的取值范围为( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-∞,1) D.(-1,1) 答案 A 解析 令 f(x) =ax2+bx-1, 由方程 f(x)=0 有一根在(1,2)并结合二次函数图象 可知满足:f(1)f(2)=(a+b-1)(4a+2b-1)<0

?a+b-1>0, ??4a+2b-1<0, ?a>0

?a+b-1<0, 或?4a+2b-1>0, ?a>0.

作出满足不等式的(a,b)所对应的

可行域,据线性规划知识可知对目标函数 z=a-b,当 a=0,b=1 时取得最小值 -1. 9.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆 甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台; 每辆乙型货车运输费用 300 元, 可装洗衣机 10 台. 若每辆车至多只运一次, 则该厂所花的最少运输费用为( ) A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 答案 B 解析 设需用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,由题目条件可得约束条件为

?2x+y≥10 ?0≤x≤4 ?0≤y≤8

,目标函数 z=400x+300y,画图可知,当平移直线 400x+300y=0

至经过点(4,2)时,z 取得最小值 2200 元,故选 B. 二、填空题 ?0<x<2? ? ? ? 内随机撒一粒黄豆,落在区域 N = {(x , 10 .在区域 M = {(x , y)| ? ? ?0<y<4? ? x+y<4 y)|?y>x ?x>0 答案

?

}内的概率是________.

1 2 解析 作出可行域,可知区域 M 的面积为 8,区域 N 的面积为 4.故黄豆落在 4 1 区域 N 的概率为8=2. x≥1 11.在平面直角坐标系中,不等式组?y≤2 ?x-y≤0 程为________ . 3 3 1 答案 (x-2)2+(y-2)2=2

?

表示的平面区域的外接圆的方

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知△ABC 为等腰直 3 3 角三角形.从而可得 A(2,2),B(1,1),因此△ABC 的外接圆的圆心为(2,2),半径 ?(2-1)2 ? +(?2-1)2 ? 2 32 32 1 为 = . 所以所求外接圆的方程为 ( x - ) + ( y - 2 2 2 2) =2. 三、解答题 12.家具公司做书桌和椅子,需木工和漆工两道程序,已知木工平均四个小 时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有 8000 个工时,漆 工平均每两个小时漆一把椅子,一个小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有 1300 个工时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元,根据 以上条件,安排生产多少把椅子,多少张书桌,能获得最多利润? 答案 200 900 解析 设生产 x 把椅子,y 张书桌,获得利润为 z 元,则

解析

?2x+y≤1300, ?x≥0, ?y≥0.

4x+8y≤8000,

?2x+y≤1300, 即? x≥0, ?y≥0,
x+2y≤2000,

目标函数 z=15x+20y. 由线性规划知识,作可行域易知 x=200,y=900 时,z 取得最大值. 13.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万 吨铁矿石的价格 c 如下表: a b(万吨) c(百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购 买铁矿石的最少费用为多少?(百万元). 答案 15 解析 可设需购买 A 矿石 x 万吨, B 矿石 y 万吨, 则根据题意得到约束条件为: x≥0 ? ?y≥0 ?0.5x+0.7y≥1.9 ? ?x+0.5y≤2

, 目标函数为 z=3x+6y,当目标函数经过(1,2)点时目标函数取

最小值,最小值为:zmin=3× 1+6× 2=15. 14. 某公司计划 2010 年在甲、 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元, 甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲 、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益 分别为 0.3 万元和 0. 2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个 电视台的广告时间, 才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 总 收益为 z 元.

?x+y≤300 由题意得?500x+200y≤90000 ?x≥0,y≥0
目标函数为 z=3000x+2000y.



?x+y≤300 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900 ?x≥0,y≥0



作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图. 作直线 l:3000x+2000y=0, 即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. ?x+y=300 联立? , ?5x+2y=900 解得 x=100,y=200. ∴点 M 的坐标为(100,200), ∴z=3000x+2000y=700000(元), 即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为 100 分钟、200 分钟时,收益最大, 最大为 700000 元.

教师备选题

?x≥1, 1.设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥x

所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1

关于直线 3x-4y-9=0 对称. 对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B, |AB|的最 小值等于( ) 28 A. 5 B.4 12 C. 5 D.2 答案 B

解析 平面区域 Ω1 如图中阴影部分所示,由于平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x -4y-9=0 对称, 因此|AB|的最小值即为 Ω1 中的点 A 到直线 3x-4y-9=0 的距离 的最小值的 2 倍.由图可知,当点 A 与点 M(1,1)重合时,Ω1 中的点 A 到直线 3x- |3-4-9| 4y-9=0 的距离取到最小值 =2,故|AB|的最小值为 2× 2=4. 5 2.已知实系数一元二次方程 x2+ (1+a)x+a+b+1=0 的两个实根为 x1、x2,

并且 0<x1<2,x2>2,则 1 A.(-1,-3) 1 C.(-3,-2)

b 的取值范围是( a-1

)

[来源:学科网]

1 B.(-3,-3] 1 D.(-3,-2]
[来源:Z,xx,k.Com]

答案 C 解析 令 f(x)=x2+(1+a)x+a+b+1, ∵0<x1<2<x2,

?f?(0?)>0, ?a+b+1>0, ∴? 即? ?f?(2?)<0, ?3a+b+7<0. 可行域如图,A(-3,2); b 又 的几何意义是(a,b)与 B(1,0)两点连线的斜率, a-1 2 1 kAB= =-2,3a+b+7=0 的斜率为-3, -3-1 b 1 ∴ ∈(-3,-2) . a-1 3.已知向量 m=(a-2b,a),n=(a+2b,3b),且 m,n 的夹角为钝角,则在 aOb 平面上,点(a,b)所在的区域是( )

答案 A 解析 ∵m、n 的夹角为钝角, ∴m· n <0? (a-2b,a)· (a+2b,3b)=a2-4b2+3ab =(a+4b)(a-b)<0 ?a+4b>0, ?a+4b<0, ?? 或? 故选 A. ?a-b<0 ?a-b>0,


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