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安徽高考文科数学 数列大题


2013、19. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * ,函数

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (an

? 2

满足 f '( ) ? 0

?

2

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ) 2an

2012、 (21) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 { xn } . 2

(Ⅰ)求数列 { xn } ; (Ⅱ)设 { xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。

2011、 (21) (本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令

an ? lg Tn, n≥1 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ? tan an ?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

2010、21.(本小题满分 13 分)设 C1 , C2 ,…, Cn ,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上, 且都与直线 y ? 3 x 相切, 对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 C n ?1 相互外切, rn 以 3 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列.

y

x
(Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

O

n rn

1

2009、19. (本小题满分 12 分) 已知数列{ } 的前 n 项和 }与{ ,数列{ }的前 n 项和 ,证明:当且仅当 n≥3 时, <

(Ⅰ)求数列{

}的通项公式; (Ⅱ)设

2008、 (21) (本小题满分 12 分) 设数列{an}满足 a1=a, an+1=can+1-c, n? N*,其中 a,c 为实数,且 c ? 0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

1 1 , e ? , bn ? n(1 ? an ), n ?N*,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; 2 2 (Ⅲ)若 0<an<1 对任意 n? N*成立,证明 0<c ? 1.
(Ⅱ)设 a ?

详解
2013、19.解:由 a1

?2

a2 ? a4 ? 8 , f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2

? ? f(x) an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x ,
所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2 , 而 a1 ? 2

?

??an ? 是等差数列.
? an ? 2 ? n -1 ?1 ? n ? 1 ( )

a3 ? 4

d ?1

(2) bn ? (an ? 2

1 1 1 ) (n ? 1 ? n ?1 ) (n ? 1 ? n ?2 ?2 ) an 2 2 2

1 1 ( n) 1(2 ? n ? 1 n 2 2 ) 2 Sn ? ? 1 2 12

1 2n 1 ? n 2 ? 3n ? 1- n 2 =(n ? 3) 1n ?
2012、21、 【解析】 (I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3
2

f ?( x) ? 0 ? 2k? ?
得:当 x ? 2k? ?

2? 4? ? x ? 2k ? ? (k ? Z ) 3 3
得: xn ? 2n? ?

2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 3

(II)由(I)得: xn ? 2n? ?

2? 3

2? 3

Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?
当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0
*

2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? 3 3

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ? sin
*

2? 3 ? 3 2 4? 3 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ?
*

3 2 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

2011、21. 【解题指导】 (1)解题的关键是注意等比数列的性质,如果两项的下标和等于另外两项的下标和,则 这两项的乘积等于另外两项的乘积; (2)抓住两角差正切公式的变形,合理进行拆项求和. 【解析】 (1)设在数 1 和 100 之间插入 n 个实数构成数列 ?cn ? ,所以数列 ?cn ? 是以 c1 ? 1 为首项的等比数列, 故 Tn ? c1 ? c2 ? ?? cn?2 ? ? c1 ? cn?2 ?
n? 2 2

? 100

n? 2 2

, an ? lg Tn ? n ? 2 ( n ? N ? ) ;

(2) bn ? tan an tan an?1 ? tan(n ? 2) tan(n ? 3) =1-tan(-n-2)· tan(n+3)-1 = [tan(-n-2)+tan(n+3)]÷ tan(-n-2+n+3)-1= 所以 Sn=b1+b2+·+bn= · · =

1 [tan(n+3)-tan(n+2) ]-1 tan1

1 [(tan4-tan3)+(tan5-tan4)+·+(tan(n+3)-tan(n+2) ]-n · · tan1

1 [tan(n+3)-tan3]-n tan1

【技巧点拨】本题命制新颖,主要考查等比数列、三角化简以及拆项相消法求数列的前 n 项和,同时注重对学 生的转化划归能力的考查,较好的体现了考纲中“在知识网络交汇处设计试题”这一指导思想,也是函数与方程 的数学思想方法的应用的最佳体现.

2010、21.(本小题满分 13 分)本题考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考查抽象能力 以及推理论证能力.

3

解:(Ⅰ)将直线 y ?

3 3 1 , sin ? ? . x 的倾斜角记为 ? ,则有 tan ? ? 3 3 2

设 Cn 的圆心为 (?n , 0) ,则由题意知

?n

rn

?

1 ,得 ?n ? 2rn ;同理 ?n ?1 ? 2rn ?1 . 2

从而 ?n ?1 ? ?n ? rn ? rn ?1 ? 2rn ?1 ,将 ?n ? 2rn 代入,解得 rn ?1 ? 3rn . 故 {rn } 为公比 q ? 3 等比数列. (Ⅱ)由于 r1 ? 1 , q ? 3 ,故 rn ? 3
n ?1

,从而

n ? n ? 31? n , rn


记 Sn ?

1 2 n ? ? ??? ? ,则有 Sn ? 1 ? 2 ? 3?1 ? ??? ? n ? 31?n , r1 r2 rn

Sn ? 1? 3?1 ? 2 ? 3?2 ? ??? ? (n ? 1) ? 31?n ? n ? 3? n 3
①-②,得



2Sn 1 ? 3? n 3 3 ? n ? 3? n ? ? (n ? ) ? 3? n ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ??? ? 31?n ? n ? 3? n ? 2 2 2 3

∴ Sn ?

9 1 3 9 ? (2n ? 3) ? 31?n . ? (n ? ) ? 31?n ? 4 2 2 4

( n ? 1) ? a1 a?? ? sn ? sn ?1 ( n ? 2) 2009、 【思路】 19. 由

可求出 an 和bn , 这是数列中求通项的常用方法之一, 在求出 an 和bn

后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 当 n ? 2 时,

a1 ? s1 ? 4


an ? sn ? sn ?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 4n

? am ? 4n(n ? N * )

又当 x ? n 时

bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn ?1

?数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 2
Cn?1 1 n ?1 ? C ? n C1 ? a12 ? bn ? 16n2 ? ( )
(2)由(1)知

1

1 ? bn ? ( )n ?1 2 ,

2

1 16(n ? 1)2 ? ( )( n?1)?1 (n ? 1)2 2 ? 1 2n 2 16n2 ? ( ) n?1 2

Cn ?1 (n ? 1) 2 ? 1得 ?1 2 Cn 2n 由 即 n ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3

4

Cn ?1 (n ? 1)2 ?1 ?1 C ?0 C ? Cn Cn n ? 3 时 2n 2 又 成立,即 由于 n 恒成立.,因此,当且仅当 n ? 3 时, n ?1
2008、解 (1) 方法一:

∵ an ?1 ? 1 ? c(an ? 1)

∴当 a ? 1 时, ?an ? 1? 是首项为 a ? 1,公比为 c 的等比数列。

∴ an ? 1 ? (a ? 1 )n ?1 ,即 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。 c

∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。
方法二 由题设得:当 n ? 2 时, an ? 1 ? c(an ?1 ? 1) ? c (an ?2 ? 1) ? ? ? c
2 n ?1

(a1 ? 1) ? (a ? 1)c n?1

∴ an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1

n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。 ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。
(2)

1 ? n( ) n 2 1 1 2 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2( ) ? ? ? n( )n 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? ( )2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? ( )2 ? ? ? ( )n ? n( )n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( )2 ? ? ? ( )n?1 ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n 2 2 2 2 2 2 2
由(1)得 bn ? n(1 ? a)c
n ?1
n ?1

(3) 由(1)知 an ? (a ? 1)c 若 0 ? (a ? 1)c
n ?1

?1

? 1 ? 1 ,则 0 ? (1 ? a)c n ?1 ? 1

∵ 0 ? a1 ? a ? 1,
由c
n ?1

∴ 0 ? c n?1 ?

1 (n ? N * ) 1? a

? 0 对任意 n ? N * 成立,知 c ? 0 。下面证 c ? 1 ,用反证法
x

方法一:假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c

n ?1

趋于无穷大

∴cn?1 ?

1 * 不能对 n ? N 恒成立,导致矛盾。∴c ? 1 。 ∴0 ? c ? 1 1? a 1 1 n ?1 n ?1 方法二:假设 c ? 1 ,∵ c ? ,∴ log c c ? log c 1? a 1? a 1 即 n ? 1 ? log c (*) (n ? N * ) 恒成立 1? a

∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴c ? 1

∴0 ? c ? 1

5


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