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定积分的简单应用


2012—2013 学年高二数学选修 2-2 导学案 编号 9 编制人:尹逊锋 审核人:张英亮 班级_______小组____________姓名___________教师评价____________

课题:定积分的简单应用导学案
使用时间:2013-3-7

一、学习目标
1、进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法; 2、了解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 4、体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功) 。 二、学习重点与难点: 1. 定积分的概念及几何意义 2.定积分的基本性质及运算的应用

二、预习案
1、旧知识回顾 (1)求曲边梯形的思想方法是什么? (2)定积分的几何意义是什么? (3)微积分基本定理是什么? 2、教材导读 (一)课前预习 1.定积分

?

b

a

f ( x )dx 的几何意义是什么?

表示______________________________________________之间的各部分面积的代数和, 在 x 轴______的面积取正,在 x 轴______的面积取负 2. 如何求曲边图形的面积? (1).当 f ( x) 在 [a, b] 上有正有负时,则 A=___________ ( 2.)平面图形是由两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 及直线 x ? a, x ? b 所围成且 f ( x) ? g ( x) .其面积都可以用公式_______________求之. (3).当介于两条曲线 y1 ? f ( x) , y2 ? g ( x) , x ? [a, b] 和两条直线 y ? a, y ? b 之间的平面 图形的面积公式为:_________________________ (1)定积分在几何中的应用有哪些? (2)定积分在物理中的应用有哪些? (二) 、预习自测 (1)求下列曲线所围成的图形面积 2 x ①y=x ,y=2x+3 ②y=e , y=e,x=0

(2)一物体沿直线以 v=2t+3(t 的单位:s,v 的单位 m/s)的速度运动,求该物体在[3,5]内行驶的 路程

(3)一物体在力 F(X) =3x+4(x 的单位:m,F 的单位 N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向, 从 x=0 处远动到 x=4 处,求力 F(X)所做的功。

三、探究案
探究一 求曲边梯形的面积 2 2 1、计算由曲线 y =x,y=x 所围成图形的面积 S

2、计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2 x 以及 x 轴所围成图形的面积 S

小结 求平面图形的面积的一般步骤
探究二 定积分在物理中的应用 1、一辆汽车的速度时间曲线如图所示,求汽车在这 1min 行驶的路程。

2、如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离开平衡位置 lm 处,求克服弹力所做的功。

探究归纳

四、当堂检测
1、 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线 x ? a, x ? b 所 围成的平面区域的面积为( ) A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a b

B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

C. ? | f ( x) ? g ( x) | dx
a

b

D. | ? f ( x) ? g ( x)dx |
a

b

2、已知自由下落物体的速度为 v ? gt ,则物体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为( ) 1 1 1 A. gt0 2 B. gt0 2 C. gt0 2 D. gt0 2 3 2 4 3? 3、 曲线 y ? cos x(0 ? x ? ) 与坐标轴所围图形的面积是( ) 2 5 A.2 B.3 C. D.4 2 4、一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 (单位: N )的作用下,沿着与力相同的方向从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处(单位: )则力 F ( x) 所作的功为 5.若 ? (2 x ? ) dx = 3 + ln 2,则 a 的值为( )
1 a

1 x

A.6

B.4

C.3

D.2

6.弹簧所受的压力 F 与缩短的距离 l 按胡克定律 F=kl 计算,如果 10N 的力能使弹簧压缩 1cm, 那么把弹簧从平衡位置压缩 10cm(在弹性限度内)要做多少功?

课后巩固案:
1.求定积分 ??2 16 ? 6x ? x 2 dx
3

2.求由曲线 xy=1 及直线 x=y,y=3 所围成的平面图形的面积。

5 (单位:m / s ) 1? t 紧急刹车至停止.求(1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹车后至火车 停止运行的路程.
3. 一列火车在平直的铁轨上行驶, 由于遇到紧急情况, 火车以速度 v(t ) ? 5 ? t ?

五、学习小结
1. 会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的 功等. 2. 在解决问题的过程中,能过数形结合的思想方法,加深对定积分几何意义的理解


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