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浙江省台州中学2011届高三第三次统练数学(文)试题


2010— 台州中学 2010—2011 学年第一学期第三次统练试题 高三
命题人:项晔

数学(文科)
审题人:吴晓蕾

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A= x | x 2 ? x ≤ 0 , B= { x | 0 < x < 3} ,则 A∩B= ( A. { x | 0 ≤ x ≤ 1} C. {x 0 ≤ x < 3} D. { x | 0 < x ≤ 1} ( ) B. { x | 0 < x < 3}

{

}


开始 输入x

2. x 2 ≠ y 2 ”是“ x ≠ y 且 x ≠ ? y ”的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

k=0
x=2x+1

,则 z + 3.设 z = 1 ? i ( i 为虚数单位) A. ?1 ? i B. ?1 + i

2 = z

( C. 1 ? i D. 1 + i ( D.6



k=k+1

x>100 是
输出k 结束 否

4.按如图所示的程序框图运算 ,若输入 x = 6 , 则输出 k 的值是 A.3 B.4 C.5

π ) 5.下列函数中,最小正周期为 π ,且图象关于直线 x = 对称的是 ( 3 π π A. y = sin(2 x ? ) B. y = sin(2 x ? ) 3 6 π x π C. y = sin(2 x + ) D. y = sin( + ) 6 2 3 6.已知两个不同的平面 α 、 β 和两条不重合的直线 m、n ,有下列四个命题 : ①若 m // n, m ⊥ α ,则 n ⊥ α ②若 m ⊥ α , m ⊥ β , 则α // β ③若 m ⊥ α , m // n, n ? β , 则α ⊥ β ④若 m // α , α ∩ β = n, , 则m // n
其中正确命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ( ) D.3 个

第4题

7.记事件 A 发生的概率为 P( A) ,定义 f ( A) = lg[ p ( A) +

1 ] 为事件 A 发生的“测度” , P( A)
( )

现随机抛掷一个骰子,则下列事件中测度最大的一个事件是 A.向上的点数为 2 点 B.向上的点数不大于 2 8.已知点 F、A 分别为双曲线 C :

C.向上的点数为奇数 D.向上的点数不小于 3

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点、右顶点,点 B (0, b) 满足 a2 b2
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FB ? AB = 0 ,则双曲线的离心率为
A. 2 9.设 曲 线 y = x
n +1

(

)

B.

1+ 3 2
*

C.

?1 + 5 2

D.

1+ 5 2

( n ∈ N ) , 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 xn , 则 ( D.1 )

log 2011 x1 +log 2011 x 2 +…+ log 2011 x 2010 的值为 A. -log 2011 2010 10.已知函数 f ( x) = ? B.-1 C.log 2011 2010 - 1

?2 x ? 1( x ≤ 0)

? f ( x ? 1) + 1( x > 0)

,把函数 g ( x) = f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序排列 ( B. an = n ? 1( n ∈ N )
*

成一个数列,则该数列的通项公式为 A. a
n



=

n(n ? 1) (n ∈ N * ) 2
*

C. an = n( n ? 1)( n ∈ N )

D. an = 2 ? 2( n ∈ N )
n *

二、填空题( 本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的 方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上学期使 用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如下: 据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体进行教学次数在

[15, 25) 内的人数为

. 第 11 题

lg(2 + x ? x 2 ) 12.函数 f ( x ) = 的定义域是 x ?x

.

13.设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,定义 a 与 b 的“向量积” a × b ,它是一个向量,它的模: :

a × b = a ? b ? sin θ ,若 a = ( 3 ,1), b = ( ? 1, ? 3 ) ,则 a × b =
14.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的
*

.

六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐标分别对应数列 {an }( n ∈ N ) 的前 12 项,如下 表所示:

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按如此规律下去,则 a2010 等于



?x + 2 y ? 3 ≤ 0 ? 15 . 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 : ? x + 3 y ? 3 ≥ 0 , 若 目 标 函 数 ?y ?1 ≤ 0 ?
z = ax + y (a > 0) 仅在点(3,0)处取得最大值,则实数 a 的取值范围
是 .
俯视图 正视图 侧视图

16.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为

3 ,且一个内角 2 为 60°的菱形 , 俯视图为正方形, 那么这个几何体的表面积为 .

17.定义: 若

a

b

c d

= ad ? bc . 已知 a、b、c 为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,


2 cos C ? 1 2 = 0 ,且 a + b = 10 ,则 c 的最小值为 cos C + 1 cos C

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = A cos(ω x + ? ), ( A > 0, ω > 0, | ? |< 的图象的一部分如下图所示。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

π
2

, x ∈ R)

] 时,求函数 y = f ( x ) + f ( x + ) 4 6 3 的最大值与最小值及相应的 x 的值。 ,
19. (本小题满分 14 分)

(2)当 x ∈ [?

π 5π

π

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数列 {bn } n ∈ N

(

?

) 是递增的等比数列,且 b + b
1

5

= 17, b2 b4 = 16 .

(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } n ∈ N ? 满足 b2 , ban , b2 n + 2 成等比数列,若 a1 + a2 + a3 + …… + am 求 m 的最大值。 20. (本小题满分 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB = 3 3 , BC = 3 , 沿对角线 BD 把 ?BCD 折起到 ?BPD 位置,且 P 在面 ABC 内的 射影 O 恰好落在 AB 上 (1)求证: AP ⊥ BP ; (2)求 AB 与平面 BPD 所成的角的正弦值. C D B O A P

(

)

≤ a40 ,

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 ? 9 x 2 cos α + 48 x cos β , g ( x ) = f ′( x ) ,且对 任意的实数 t 均 有

g (1 + e ) ≥ 0 , g (3 + sin t ) ≤ 0 。
(I)求 g (2) ; (II)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅲ)记函数 h( x ) = f ( x) ?

?t

2 3 x + (a + 9) x 2 ? (b + 24) x 3 区间[-1,2]上是单调减函数,求 a + b 的最小值。zxxk

(a, b ∈ R ) ,若 y = h( x) 在

22. (本小题满分 15 分) 如图, 已知椭圆

x2 y2 2 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 过点 (1, ), 离心率为 , 右焦点分别为 F1 、 左、 2 a b 2 2

F2 。点 P 为直线 l : x + y = 2 上且不在 x 轴上的任意一点,
直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、B 和 C 、D ,O 为 坐标原点. (I)求椭圆的标准方程;
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(II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k2 . (i)证明:

1 3 ? =2; k1 k2

(ii) 问直线 l 上是否存在点 P , 使得直线 OA 、OB 、OC 、OD 的斜率 kOA 、kOB 、kOC 、

kOD 满足 kOA + kOB + kOC + kOD = 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明
理由.

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2010— 学年第一学期第三次统练高三数学文科参考答案 2010—2011 学年第一学期第三次统练高三数学文科参考答案
一、选择题(每小题5分,共50分) 选择题(每小题5 50分 1 2 3 4 D C C B 填空题( 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11、60 12、 -1,0) ( 1,0) 13、2 2 5 B 6 D 14、1005 1005 7 A 8 D 9 B 16、4 4 10 B 17. 5 3

15、 ( ,+∞)

1 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 : 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18(本小题 14 分) (1)由图可知: A =

1 ? (?1) 1 2π π π =1, i = ? (? ) 得 ω = 2 2 4 ω 12 6

.4 分

π π 取点 ( ,1) 为五点法作图的第一个点,则: 2 × + ? = 0 12 12
∴? = ?

π
6

∈ (?

π π

π (2)因为 y = f ( x ) + f ( x + ) , 3 π π π π ∴ y = cos(2 x ? ) + cos[2( x + ) ? ] = cos(2 x + ) 6 3 6 6 π 5π π π 11π 当 x ∈ [ ? , ] 时, 2 x + ∈ [ ? , ] 4 6 6 3 6 π π 当 2 x + = 0 即 x = ? 时, ymax = 1 6 12 π 3π 5π 当 2x + = 即 x= 时, ymin = ?1 6 2 12
19. (本小题 14 分) 解:(Ⅰ)由 ?

, ) 2 2

….6 分

∴ f ( x ) = cos(2 x ? ) 6

π

…..7 分

….10 分 ….12 分 ….13 分

…..14 分

?b1b5 = b2b4 = 16 2 知 b1 , b5 是方程 x ? 17 x + 16 = 0 的两根, ?b1 + b5 = 17
zxxk

注意到 bn +1 > bn 得 b1 = 1, b5 = 16 .∴ b1 = 1, q = 2

……4 分 ………… …7 分

∴ bn = b1 q n ?1 = 2 n ?1
2

[

(Ⅱ) 由 b2 , ban , b2 n + 2 成等比数列,得 ban = b2 ? b2 n + 2 ,∴ an = n + 2.

…………10 分

∵ a n +1 ? a n = [(n + 1) + 2] ? [n + 2] = 1 ∴ 数列 {a n } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列.

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由 a1 + a2 + a3 + …… + am ≤ a40 ,得 m + 5m ? 84 ≤ 0 ,
2

解得 ? 12 ≤ m ≤ 7 .

∴ m 的最大值是 7.

…………14 分

20(本小题满分 14 分) 解: (I)由题意知, PO ⊥ 面ABD,∵ PO ? ABP ,

∴ 面ABP ⊥ 面ABD, 又 ∵ AD ⊥ AB, 面ABP ∩ 面ABD = AB, ∴ AD ⊥ 面ABP,∴ AD ⊥ BP,
∵ BP ⊥ PD ∴ BP ⊥ 面APD, BP ⊥ AP , ∴
(II)∵ BP ⊥ APD, BP ? 面BPD,∴ 面APD ⊥ 面BPD . P

作AH ⊥ PD于H , 则AH ⊥ 面BPD, 连BH , 则BH为AB在面BPD上的射影,
∴ ∠ABH为AB与面BPD 所成的角.
C

B

O

A

D

又在 Rt ?APD中, C ′D = 3 3 , AD = 3,∴ AP = 3 2 ,∴ AH =

6

∴ sin ∠ABH =

AH 2 = , AB 3 2 . 3
?t

即 AB 与平面 BPD 所成角的正弦值为

21 解: I)由题得, g ( x ) = 3 x 2 ? 18 x cos α + 48cos β ,又 1 + e (

∈ (1, 2],3 + sin t ∈ [2, 4] ,

知 g ( x ) ≥ 0 在 x ∈ (1, 2] 恒成立, g ( x ) ≤ 0 在 x ∈ [2, 4] 恒成立, 所以 g (2) = 0
zxxk

……5 分

(II)法一:设 g ( x ) = 0 的另一根为 x0 ,由条件得 x0 ≥ 4 ,而 2 + x0 = 6 cos α , 所以 6 cos α ≥ 6 ,又 6 cos α ≤ 6 ,所以 6 cos α = 6 ,得 cos α = 1, cos β =
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1 , 2

即 f ( x) = x ? 9 x + 24 x 。
3 2

…………10 分

法二: ?

? g (2) = 12 ? 36 cos α + 48cos β = 0 ? g (4) = 3 × 16 ? 18 × 4 cos α + 48 cos β ≤ 0
1 2
…………10 分

得 cos α = 1, cos β =

即 f ( x) = x3 ? 9 x 2 + 24 x 。

(Ⅲ)∵ y = h( x ) 在区间[-1,2]上是单调减函数,∴ h / ( x ) = x 2 + 2ax ? b ≤ 0 在区间[-1, 2]上恒成立. 根据二次函数图象可知 h / ( ?1) ≤ 0 且 h / (2) ≤ 0 , b 4a-b+4=0

即: ?

?1 ? 2a ? b ≤ 0, ?2a + b ? 1 ≥ 0, 也即 ? ?4 + 4a ? b ≤ 0, ? 4 a ? b + 4 ≤ 0.
1 , 2)时, 2

学。科。网]

2a+b-1=0

作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线 z = a + b 经过交点 P(-
1 P(- , 2) - 2

1 3 +2= , 2 2 3 ∴ z = a + b 取得最小值为 …………15 分 2
z = a + b 取得最小值 z = ?
22(Ⅰ)解:因为椭圆过点(1,

-2

o

2 a z=a+b

2 2 1 1 c 2 ) e= , ,所以 2 + = 1, = , 2 2 2 a 2 a 2b

又 a = b + c , 所以 a =
2 2 2
zxxk

2 , b = 1 , c = 1 故所求椭圆方程为

x2 + y2 = 1 2

(Ⅱ) (i)解:方法一:由于 F1 ( ?1,0) 、 F2 (1,0) , PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,且点 P 不在

x 轴上,所以 k1 ≠ k 2 , k1 ≠ 0 , k 2 ≠ 0 ,又直线 PF1 、 PF2 的方程分别为 y = k1 ( x + 1) ,
k1 + k 2 ? ?x = k ? k k + k 2 2k1k 2 ? 2 1 y = k 2 ( x ? 1) , 联立方程解得 ? , 所以 P 1 ( , ) 由于点 P 在直线 x + y = 2 , k 2 ? k1 k 2 ? k1 ? y = 2k1k 2 ? k 2 ? k1 ?
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上,所以

1 3 k1 + k 2 + 2k1k 2 = 2 ,因此 2k1k 2 + 3k1 ? k 2 = 0 即 ? = 2 ,结论成立。 k1 k 2 k 2 ? k1

方法二:设 P ( x0 , y0 ) ,则 k1 =

y0 y0 , k2 = 因为点 P 不在 x 轴上,所以 y0 ≠ 0 x0 + 1 x0 ? 1

又 x0 + y0 = 2 所以

1 3 x0 ? 1 3( x0 ? 1) 4 ? 2 x0 2 y0 ? = ? = = = 2 因此结论成立。 k1 k 2 y0 y0 y0 y0

(ii)解:设 A( x A , y A ) , B ( xB , y B ) , C ( xC , yC ) , D( xD , y D ) ,

? y = k1 ( x + 1) ? 联立直线 PF1 与椭圆的方程得 ? x 2 ,化简得 (2k12 + 1) x 2 + 4k12 x + 2k12 ? 2 = 0 , 2 ? + y =1 ?2
4k12 2k12 ? 2 ,x A x B = 由于 OA, 的斜率存在, OB 所以 x A ≠ 0 ,xB ≠ 0 , 因此 x A + x B = ? 2k12 + 1 2k12 + 1
因此 k12 ≠ 0 ,1 因此 kOA + k OB =

y A y B k1 ( x A + 1) k1 ( xB + 1) + = + x A xB xA xB

= 2k1 + k1

x A + xB 4k 2 4k 2k = k1 (2 ? 2 1 ) = ? 2 1 = ? 2 1 。 x A xB 2k1 ? 2 2k1 ? 2 k1 ? 1 2k 2 2 k2 ? 1

2 相似地可以得到 xC ≠ 0 , xD ≠ 0 ,因此 k 2 ≠ 0 ,1, kOC + k OD = ?

故 kOA + k OB + kOC + kOD = ?2(

k12

k1 k + 22 ) ? 1 k2 ? 1

= ?2

2 2(k1k 2 ? 1)(k1 + k 2 ) k1k 2 ? k1 + k12 k 2 ? k 2 =? 2 2 2 (k1 ? 1)(k 2 ? 1) (k12 ? 1)(k 2 ? 1)

若 kOA + kOB + kOC + kOD = 0 ,须有 k1 + k 2 = 0 或 k1k 2 = 1 , ①当 k1 + k 2 = 0 时,结合(i)的结论,可得 k 2 = ?2 ,所以解得点 P 的坐标为(0,2) ; ②当 k1k 2 = 1 时,结合(i)的结论,解得 k 2 = 3 或 k 2 = ?1 (此时 k1 = ?1 ,不满足 k1 ≠ k 2 ,

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舍去) ,此时直线 CD 的方程为 y = 3( x ? 1) ,联立方程 x + y = 2 得 x = 因此 P(

5 3 ,y= 。 4 4

5 3 。 , ) zxxk 4 4 5 3 。 , ) 4 4

综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为(0,2)( ,

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