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余弦定理最新课件


复习回顾
a b c ? ? 正弦定理: sin A sin B sin C
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? 2R

变型: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C a : b : c ? sin A : sin B : sin C

A ? B ? a ? b ? sin A

? sin B

可以解决两类有关三角形的问题?
(1)已知两角和任一边。
(2)已知两边和一边的对角。

教学目标

1、了解用向量法证明余弦定理的过程
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2、能够从余弦定理得到它的推论

3、掌握用余弦定理及推论解三角形

探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, a, b,求边 c. ? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
由向量减法的三角形法则得

c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?b ? b ? 2 a ? b ?2 ?2 ? ? ? a ? b ? 2 a b cos C



? c ? a ? b ? 2ab cos C 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

? a ? b ? 2ab cos C
2 2

探 究: 若△ABC为任意三角形,已知角C, a, b,求边 c. ? ? ? 设 CB ? a, CA ? b , AB ? c
由向量减法的三角形法则得

c ? a ?b ?2 c ? c ? c ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a?a ?? b2 ? b ? 2a ? ?b ?2 ? ? a ? b ? 2 a b cos C
? a ? b ? 2ab cos C
2 2

﹚ 向量法

余弦定理

? c ? a ? b ? 2ab cos C 2 2 2 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

归纳

余弦定理
C
2 2

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2

b A

a

利用余弦定理,可以解决:

c

B

(1)已知三边,求三个角; 利用余弦定 理可以解决什 (2)已知两边及夹角,求第三边和其他两个角。 么类型的三角 形问题? (3)判断三角形的形状。

思考1:
2 2

余弦定理
C b a B
2

已知三边,怎样求三个角呢?

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
b ?c ?a 推论: cos A ? 2bc 2 2 2 a ?c ?b cos B ? 2ac 2 2 2 a ?b ?c cos C ? 2ab
2 2 2

A

c

一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在?ABC中,已知b ? 3, c ? 2 3, ?A ? 30? , 求角B、C和边a的值
解:由余弦定理知, a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

C a
c

b
A

? 3 ? 2 3 ? 2 ? 3 ? 2 3cos 30? ? 3 B ?a ? 3
2

? ?

2

a b 由正弦定理 ? 得 sin A sin B

1 3? b sin A 3 2 sin B ? ? ? a 2 3

?b ? c,??B ? 60
?

?
?b

C

? C ? 180 ? A ? B ? 90 变式: A
?

a
B

c

7 1、若b ? 3, c ? 1, A ? 60 , 则a ? ________

3 2 2、在 ?ABC 中, AB ? 2,BC ? 1, cos C ? , 则AC ? _____ 4

二、已知三角函数的三边解三角形
例2、在△ABC中,已知a= 6 ,b=2,c= 3 ?,1 解三角形(依次求解A、B、C). 解:由余弦定理得
2 2 2 2 ? ( 3 ? 1 ) ? ( 6 ) cos A ? b ? c ? a ? ?1 2bc 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2 2 2

? A ? 60?

a 2 ? c 2 ? b 2 ( 6 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 2 cos B ? ? 2ac 2 ? 6 ? ( 3 ? 1) 2 ? B ? 45? ? 2 C ? 180? ? A ? B ? 180? ? 60? ? 45? ? 75?

变式:
? 60 1.在三角形 ABC 中,若 a ? 3 , b ? 1, c ? 2, 则A ? __________

A 2.在三角形 ABC 中, a 2 ? c 2 ? b 2 ? ab, 则角 C的大小为 ________
A.60 ? B.45 ? 或135 ? C.120 ? D30 ?

C b a

A c ab 1 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ab? cosC ? ? ? C ? 60? 2ab 2

a2 ? b2 ? c2 解析: cosC ? 2ab

B

思考2:
由推论我们能判断三角形的角的情况吗? 推论: cos A ? b ? c ? a 2bc
2 2

C

2

b A
2 2

a B

提炼:设a是最长的边,则
2

c
2

△ABC是钝角三角形? b ? c ? a ? 0
△ABC是锐角三角形? b ? c ? a ? 0 2 2 2 △ABC是直角三角形? b ? c ? a ? 0
2 2

三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a ? b 则△ABC的形状为( )
2 2

? c,
2

A、钝角三角形 C、锐角三角形
那a 2 ? b 2 ? c 2呢?

B、直角三角形 D、不能确定

三角形三边长分别为4,6,8,则此三角形为( ) A、钝角三角形 C、锐角三角形 B、直角三角形 D、不能确定

重温: 《三维设计》P4例3和训练7,试一试余弦定理的威力吧

思考:
已知两边及一边的对角时, 想一想如何来解这个三角形? 如:已知b=4,c= ,C=60° 求边a.

小结:
余弦定理:
推论:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

余弦定理可以解决的有关三角形的问题:

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc c 2 ? a 2 ? b2 cos B ? 2ca a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

1、已知两边及其夹角,求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角;

3、判断三角形的形状

作业:
三维设计与课时跟踪训练


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