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平面几何练习题2010


平面几何练习题 2010.7.24

例 1.设 P 为△ABC 外接圆周上任一点,P 点关于边 BC、AC 所在直线的对称点分别为 P
1、P2.求证:直线

P1P2 经过△ABC 的垂心 H.

例 2.在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,M、N 分别是 CA、AB 两边的中点.设直线 1 通过 A

点,且 BC 在 1 上的射影为 B'C', 连 B'N 与 C'M 交于点 P.求证:B'、C'、D、P 四 点共圆.

例 3.设锐角△ABC 的外接圆 w 的圆心为 O,经过 A、O、C 三点的圆 w1 的圆心为 K,且 与边 AB 和 BC 分别相交于点 M 和 N, 现知点 L 与 K 关于直线 MN 对称. 证明: BL⊥AC. 例 4.D 为△ABC 的边 BC 外侧的旁切圆⊙IA 与 BC 的切点, E 是 BC 上任一内点,△AB E 及△ACE 与 BC 边相切的旁切圆圆心分别为 I1、I2.求证:I1D⊥I2D. 1、设 D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的点,a、b、g、d 分别是△AEF、△ BFD、△CDE 和△DEF 的面积。证明:+ + ≥ 。

2、凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M,点 P、Q 分别是△AMD 和△CMB 的重心,R、S 分别是△DMC 和△MAB 的垂心。证明:PQ⊥RS。

3、设一个凸 n 边形没有两条边互相平行。证明:过其内部一点 O 平分该 n 边形的面积的直 线至多 n 条。

4、设 C(I)是以△ABC 的内心 I 为圆心的一个圆,点 D、E、F 分别是从 I 出发垂直于边 BC、 CA 和 AB 的直线与 C(I)的交点。证明:AD、BE 和 CF 三线共点。

5、设一个既有外接圆,又有内切圆的凸 n 边形的面积为 B,其外接圆面积为 A,内切圆面 积为 C。证明:2B ≤ A + C。

6、设 D 是△ABC 的边 BC 上一点,但不是其中点。设 O1 和 O2 分别是△ABD 和△ADC 的 外心。证明:△ABC 的中线 AK 的垂直平分线过线段 O1Q2 的中点。

7、△ABC 中,AC > AB。 P 为 BC 的垂直平分线和∠A 的内角平分线的交点,作 PX⊥AB, 交 AB 的延长线于点 X,PY⊥AC,交 AC 于点 Y,Z 为 XY 和 BC 的交点。求的值。

8、设 D 为△ABC 的边 AC 上一点,E 和 F 分别为线段 BD 和 BC 上的点。满足∠BAE = ∠CAF。再设 P、Q 为线段 BC 和 BD 上的点,使得 EP∥QF∥DC。求证:∠BAP = ∠Q AC。

9、已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 分别在锐角△A1B1C1 的边 B1C1、C1A1、A1B1 上,使 得∠ABC = ∠A1B1C1,∠BCA = ∠B1C1A1,∠CAB = ∠C1A1B1。证明:△ABC 和△A1 B1C1 的垂心到△ABC 的外心距离相等。

10、点 P 为△ABC 的外接圆上劣弧 BC 内的动点,I1、I2 分别是△PAB、△PAC 的内心。 证明:(1) △PI1I2 的外接圆过定点;(2) 以 I1I2 为直径的圆过定点;(3) I1I2 的中点在定圆上。

11、△ABC 的角 A、B、C 的内角平分线分别交该三角形外接圆于点 K、L、M。R 为边 AB 上任意一点,点 P、R 满足 RP∥AK,BP⊥BL,RQ∥BL,AQ⊥AK。求证:KP、LQ 和 M R 三线共点。

12、过锐角△ABC 的顶点 A、B 作该三角形的外接圆的切线,他们分别与过点 C 的该三角 形的外接圆的切线交于点 D、E,AE 交 BC 于点 P,直线 BD 交 AC 于 R。设 Q 为 AP 的中 点,S 为 BR 中点。证明:∠ABQ = ∠BAS。

13、平面上两个圆交于点 A、B。设 PQ 为它们的一条公切线,P、Q 为切点。S 为过点 P、 Q 所作的△APQ 的外接圆的切线的交点。H 是 B 关于 PQ 的对称点。证明:A、S、H 三点 共线。

14、设 ABCD 是一个长方形,T 是过点 AC 的一个圆的一段弧,T1 是与边 AD、DC 和弧 T 都相切的一个圆,T2 是与边 AB、BC 和弧 T 都相切的一个圆。这里 T1 和 T2 全部落在长方 形 ABCD 内。设 T 交点半径分为 rj,j = 1, 2。r 是△ABC 的内切圆半径。证明:(1) r1 + r2 = 2r;(2) T1 和 T2 的一条公切线与 AC 平行,且其长度为长方形 ABCD 两边长的差。

15、给定一个非等腰的△ABC,设该三角形的内切圆 k (圆心为 O)分别切三边 BC、CA 和 AB 于点 A1、B1 和 C1。并且 AA1∩k = A2,BB1∩k = B2,A1A3、B1B3 分别是△A1B1C1 的 内角平分线(A3 ? B1C1,B3 ? A1C1)。证明:(1) A2A3 为∠B1A2C1 的角平分线;(2) 若 P、 Q 为△A1A2A3 和△B1B2B3 的外接圆的交点,则 O 在直线 PQ 上。

16、凸四边形 ABCD 有内切圆,该内切圆分别切边 DA、AB、BC 和 CD 于点 K、L、M、N。 设 S1、S2、S3、S4 分别是△AKL、△BLM、△CMN 和△DNK 的内切圆,圆 S1、S2 的外公 切线,圆 S2、S3 的外公切线,圆 S3、S4 的外公切线,圆 S4、S1 的外公切线都不是 ABCD 的边。证明:由这些外公切线围成的四边形是一个菱形。

17、点 O 为一个单位圆的圆心,A1A2…A2n 为该单位圆的内接凸 2n 边形。 证明:| | ≤ 2 sin 。

18、设 P 为△ABC 内一点,A1、B1 和 C1 分别是 PA 和 BC,PB 和 CA,PC 和 AB 的交点, A2、B2 和 C2 分别是 B1C1 和 BC,C1A1 和 CA,A1B1 和 AB 的交点。设 w1、w2 和 w3 分别 是以 A1A2、B1B2 和 C1C2 为直径的圆。证明:w1、w2 和 w3 有一个公共点的充要条件是 w1 和 w2 有公共点。

19、设 AEFG 为一个圆内接凸四边形,延长 AE、GF 得交点 B,延长 EF、AG 得交点 C, D 为 BC 的中点,连接 AD 交该四边形的外接圆于点 H。证明:B、F、H、C 四点共圆。

20、两圆交于点 A 和 B。直线 l 过点 A 分别交两圆于点 C、D。设 M、N 分别为弧 BC 和 B D(不含点 A 的部分)的中点 K 为 CD 的中点。证明:∠MKN = 90° 。 21、设 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD。△BCD 的内切圆 w 切 CD 于 E,F 为∠DAC 的内角 平分线上一点, 使得 EF⊥CD。 △ACF 的外接圆与直线 CD 交于点 C 和 G。 求证: GF > BF。


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