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2014届高考数学文二轮专题突破:专题二 第3讲平面向量


第3讲

平面向量

【高考考情解读】 从近几年高考来看,平面向量有以下几个考查特点:1.向量的加法,主 要考查运算法则、几何意义;平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件 是命题的重点内容, 主要考查运算能力和灵活运用知识的能力; 试题以选择、 填空形式出现, 难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合,以解答题形

式呈现,难度中等.

1.平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 2.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面 内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 3.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 4.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, x1x2+y1y2 a· b 则 cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2

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考点一 平面向量的概念及线性运算 例1 1 2 (1)(2013· 江苏)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若 2 3 → → → DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. → → → → → → (2)△ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 2, OA+AB+AC=0 且|OA|=|AB|, 则向量CA在 → CB上的投影为 A. 3 答案 解析 B.3 C.- 3 1 (1) (2)A 2 → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → (1)如图,DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB) 2 3 2 3 D.-3 ( )

1→ 2→ 1 2 1 =- AB+ AC,则 λ1=- ,λ2= ,λ1+λ2= . 6 3 6 3 2 → → → (2)由OA+AB+AC=0, → → → 得AB+AC=AO. 又 O 为△ABC 外接圆的圆心,OB=OC, ∴四边形 ABOC 为菱形,AO⊥BC. → → 由|OA|=|AB|=2, 知△AOC 为等边三角形. π → → → 故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB=2cos = 3. 6 (1)在一般向量的线性运算中, 只要把其中的向量当作字母, 其运算就类似于代 数中合并同类项的运算;有的问题采用坐标化解决更简单. (2)运用向量加减法解决几何问题时,要善于发现或构造三角形或平行四边形,使用三 角形法则时要特别注意“首尾相接”. 运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合. → → → → → (1)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC= → mAM成立,则 m 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 ( )

→ → → → → (2)如图, 平面内有三个向量OA, OB, OC, 其中OA与OB的夹角为 120° , → → → → → → → → OA与OC的夹角为 30° , 且|OA|=|OB|=1, |OC|=2 3, 若OC=λOA+μOB (λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为________. 答案 解析 (1)B (2)6 → → → (1)∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心.
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→ → → ∴AB+AC=3AM,∴m=3. → → → → → → (2)方法一 如图,OC=OB1+OA1,|OB1|=2,|OA1|=|B1C|=4, → → → ∴OC=4OA+2OB. ∴λ+μ=6. → → → → → → → 方法二 由OC=λOA+μOB,两边同乘OC,得OC2=λOA· OC+0,∴λ=4. → → → → ∴OC=4OA+μOB,两边同乘OA, → → → → 得OC· OA=4+μOA· OB, 1 即 3=4+(- )μ.∴μ=2. 2 ∴λ+μ=6. 方法三 以 O 为原点,OA 为 x 轴建立直角坐标系, 则 A(1,0),C(2 3cos 30° ,2 3sin 30° ),B(cos 120° ,sin 120° ). 1 3 即 A(1,0),C(3, 3),B(- , ). 2 2

?λ-2μ=3, → → → 由OC=λOA+μOB得,? 3 ? 2 μ= 3.
? ?μ=2 ∴? .∴λ+μ=6. ?λ=4 ?

1

考点二 平面向量的数量积 例 2 为 → → → → BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF= 2, 则AE· BF的值是________. (2)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b -c|的最大值为 A. 2-1 C. 2 答案 解析 (1) 2 (2)B (1)方法一 坐标法. B.1 D.2 ( ) (1)(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E

以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2). → → → 故AB=( 2,0),AF=(x,2),AE=( 2,1),
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→ BF=(x- 2,2), → → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. → → 又AB· AF= 2,∴x=1. → ∴BF=(1- 2,2). → → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → → → → 方法二 用AB,BC表示AE,BF是关键. → → → → 设DF=xAB,则CF=(x-1)AB. → → → → → AB· AF=AB· (AD+DF) → → → → =AB· (AD+xAB)=xAB2=2x, → → 又∵AB· AF= 2,∴2x= 2, ∴x= 2 → → → → ? 2 ?→ .∴BF=BC+CF=BC+ AB. 2 ? 2 -1?

→ → → → ?→ ? 2 →? ?AB ∴AE· BF=(AB+BE)· BC+ ? ? 2 -1? ? → 1 → ?? → ? 2 ? → ? =? ?AB+2BC??BC+? 2 -1?AB? =? =? 2 ?→2 1→2 AB + BC 2 ? 2 -1? 1 2 ? -1 ×2+2×4= 2. 2 ? ?

(2)方法一 由题意知 a2=b2=c2=1, 又 a· b=0, ∵(a-c)· (b-c)=a· b-a· c-b· c+c2≤0, ∴a· c+b· c≥c2=1, ∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c =3-2(a· c+b· c)≤1, ∴|a+b-c|≤1. 方法二 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 x2+y2=1,a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y) =x2+y2-x-y=1-x-y≤0,即 x+y≥1. 又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2
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= ?x-1?2+?y-1?2= 3-2?x+y?≤1. (1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路: ①直接利用数量积的定义; ②建立坐标系,通过坐标运算求解. (2)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量 进行计算. 求平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平方. → → → → → (1)(2013· 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且|AB|=3, |AC|=2.若 A P = → → → → λAB+AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. → → → → → → → → 1 → (2)(2013· 重庆)在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|< ,则|OA 2 |的取值范围是 A.?0, ( B.? D.? 5 7? ?2,2? )

?

5? 2?

C.?

5 ? ? 2 , 2? (1) 7 (2)D 12

7 ? ? 2 , 2?

答案 解析

→ → → → (1)由AP⊥BC知AP· BC=0,

→ → → → → → 即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB) → → → → =(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC2 1? =(λ-1)×3×2×? ?-2?-λ×9+4=0, 7 解得 λ= . 12 → → (2)∵AB1⊥AB2, → → → → → → ∴AB1· AB2=(OB1-OA)· (OB2-OA) → → → → → → →2 =OB1· OB2-OB1· OA-OA· OB2+OA =0, → → → → → → → ∴OB1· OB2-OB1· OA-OA· OB2=-OA2. → → → ∵AP=AB1+AB2. → → → → → → ∴OP-OA=OB1-OA+OB2-OA, → → → → ∴OP=OB1+OB2-OA.

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→ → ∵|OB1|=|OB2|=1, → → → → → → → → ∴OP2=1+1+OA2+2(OB1· OB2-OB1· OA-OB2· OA) → → → =2+OA2+2(-OA2)=2-OA2, → 1 → 1 → 1 ∵|OP|< ,∴0≤|OP|2< ,∴0≤2-OA2< , 2 4 4 7 → 7 → ∴ <OA2≤2,即|OA|∈? , 2?. 4 ?2 ? 考点三 平面向量与三角函数的综合应用 例3 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其 中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3 (1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式,然后利用换元法将三角函数 式转化为二次函数式,由此可解得函数的最小值及对应的 x 值. (2)由夹角公式及 a⊥c 可得关于角 α 的三角函数式,通过三角恒等变换可得结果. 解 (1)∵b=(cos x,sin x),

π c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= , 4 ∴f(x)=b· c =cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α =2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). π ? 令 t=sin x+cos x? ?4<x<π?, 则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t< 2. 则 y=t2+ 2t-1=?t+

?

2?2 3 - ,-1<t< 2, 2? 2

∴t=-

2 3 2 时,ymin=- ,此时 sin x+cos x=- , 2 2 2

π 2 x+ ?=- , 即 2sin? 4 ? ? 2 π π π 5 ∵ <x<π,∴ <x+ < π, 4 2 4 4 π 7 11π ∴x+ = π,∴x= . 4 6 12 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 . 2 12
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π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a· b ∴cos = =cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3 |a|· |b| π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α= . 3 ∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, π? ∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即 sin? ?2α+3?+2sin 2α=0. 5 3 3 ∴ sin 2α+ cos 2α=0,∴tan 2α=- . 2 2 5 在平面向量与三角函数的综合问题中, 一方面用平面向量的语言表述三角函数 中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述 三角函数之间的关系等; 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题, 在解决 此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就 可以根据向量或者三角函数的知识解决问题. 3? 已知向量 a=? ?sin x,4?,b=(cos x,-1). (1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)· b,已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b=2,sin B= 解 6 π π ,求 f(x)+4cos(2A+ )(x∈[0, ])的取值范围. 3 6 3

3 3 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0,∴tan x=- . 4 4

cos2x-2sin xcos x 1-2tan x 8 ∴cos2x-sin 2x= = = . sin2x+cos2x 1+tan2x 5 π 3 2x+ ?+ , (2)f(x)=2(a+b)· b= 2sin? 4? 2 ? 由正弦定理 a b 2 π = ,可得 sin A= ,∴A= . sin A sin B 2 4

π? π? 1 ? ∴f(x)+4cos? ?2A+6?= 2sin?2x+4?-2, π π π 11π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ]. 3 4 4 12 ∴ 3 π 1 -1≤f(x)+4cos(2A+ )≤ 2- . 2 6 2

1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表

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→ → → 示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易出错,向量AB=OB-OA (其中 O 为任意一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量. 2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角 线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直. 3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可 能是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还 要求不能反向共线. 4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中,在三角函数问题中平面向 量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系, 解题的关键还是三角函数问题; 解析几 何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系, 在解题中要善于根据向量知识分 析解析几何中的几何关系.

→ 1.已知两点 A(1,0),B(1, 3),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=120° ,设OC → → =-2OA+λOB(λ∈R),则 λ 等于 A.-1 答案 C 解析 根据∠AOC=120° , 可知点 C 在射线 y=- 3x(x<0)上,设 C(a,- 3a), 则有(a,- 3a)=(-2,0)+(λ, 3λ)=(-2+λ, 3λ), 即得 a=-2+λ,- 3a= 3λ,消去 a,得 λ=1. π π 2. 函数 y=tan( x- )(0<x<4)的图象如图所示, A 为图象与 x 轴的交点, 4 2 → → → 过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,则(OB+OC)· OA= ______. 答案 8 → 解析 A 点坐标为(2,0),即OA=(2,0), π π 由 y=tan( x- )的图象的对称性知 A 是 BC 的中点. 4 2 → → → ∴OB+OC=2OA, → → → → → → ∴(OB+OC)· OA=2OA· OA=2×|OA|2=8. 3.在△ABC 中,向量 m=(2cos B,1),向量 n=(1-sin B,-1+sin 2B),且满足|m+n|=|m
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( D.-2

)

B.2

C .1

-n|. (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A+sin C 的取值范围. 解 (1)由|m+n|=|m-n|,可知 m⊥n?m· n=0.

然而 m=(2cos B,1),n=(1-sin B,-1+sin 2B), 所以有 m· n=2cos B-sin 2B-1+sin 2B=2cos B-1=0, 1 得 cos B= ,从而 B=60° . 2 3 3 (2)sin A+sin C=sin A+sin(120° -A)= sin A+ cos A= 3sin(A+30° ). 2 2 又 0° <A<120° ,则 30° <A+30° <150° , 1 <sin(A+30° )≤1. 2 所以 3 <sin A+sin C≤ 3, 2 3 , 3]. 2

即 sin A+sin C 的取值范围是(

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1.下列命题中正确的是 A.若 λa+μb=0,则 λ=μ=0 B.若 a· b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a· b=(a· b)2 答案 D 解析 根据平面向量基本定理,必须在 a,b 不共线的情况下,若 λa+μb=0,则 λ=μ =0;选项 B 显然错误;若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|或-|a|,平行时分两向量所成 的角为 0° 和 180° 两种;a⊥b?a· b=0,(a· b)2=0. a b 2.(2012· 四川)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b C.a=2b B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b|
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(

)

)

答案 C 解析 利用向量的相等与共线知识解决. a b a 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,只要 a 与 b 同向,就有 = |a| |b| |a| b ,观察选择项易知 C 满足题意. |b| → → 3.(2013· 湖北)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投 影为 3 2 A. 2 3 2 C. - 2 答案 A → → 解析 AB=(2,1),CD=(5,5), → → AB· CD 2×5+1×5 → → ∴AB在CD方向上的投影为 = → 52+52 |CD| = 15 3 2 = . 2 5 2 ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2 ( )

→ → 4.(2013· 福建)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 答案 C → → 解析 ∵AC· BD=0, ∴AC⊥BD. 1→ → 1 ∴四边形 ABCD 的面积 S= |AC||BD|= × 5×2 5=5. 2 2 B.2 5 C.5 D.10

5.(2013· 湖南)已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围 是 A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] 答案 A 解析 ∵a· b=0,且 a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又∵|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1, ∴2c· (a+b)=c2+1. ∵|a|=|b|=1 且 a· b=0,∴|a+b|= 2, ∴c2+1=2 2|c|cos θ(θ 是 c 与 a+b 的夹角).
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( B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

)

又-1≤cos θ≤1,∴0<c2+1≤2 2|c|, ∴c2-2 2|c|+1≤0, ∴ 2-1≤|c|≤ 2+1. → → → 6.若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC 的面 积比为 1 A. 5 答案 C 解析 设 AB 的中点为 D, → → → → → → → 由 5AM=AB+3AC,得 3AM-3AC=2AD-2AM, → → 即 3CM=2MD. 如图所示,故 C,M,D 三点共线, → 3→ 且MD= CD, 5 也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 3∶5, 3 则△ABM 与△ABC 的面积比为 . 5 二、填空题 7.(2013· 安徽)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为________. 1 答案 - 3 解析 由已知条件得 a2=(a+2b)2,即 a· b=-|b|2, a· b 1 cos〈a,b〉= =- . |a||b| 3 8.(2013· 北京)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 λ c=λa+μb(λ,μ∈R),则 =________. μ 答案 4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建直角坐标系,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1, -3),根据 c=λa+μb?(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2)有-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解 1 λ 之得 λ=-2 且 μ=- ,故 =4. 2 μ → → 9. 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 90° .如图所示, → → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动. 若OC=xOA+yOB, 其中 x、 y∈R, 则 x+y 的最大值是________. 2 B. 5 3 C. 5 9 D. 25 ( )

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答案

2

解析 设∠AOC=α,则∠COB=90° -α,
?x=cos α ? → → → ∴OC=cos α· OA+sin α· OB,即? . ? ?y=sin α

π? ∴x+y=cos α+sin α= 2sin? ?α+4?≤ 2. → → 10.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=________. 答案 3

→ → 解析 ∵AB· BC=1,且 AB=2, → → → → ∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|AB||BC|cos B=-1. 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB×BC·cos B, 即 9=4+BC2-2×(-1). ∴BC= 3. 三、解答题 11.(2013· 江苏)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. (1)证明 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得 cos αcos β +sin αsin β=0, 即 a· b=0,因此 a⊥b. (2)解
? ?cos α+cos β=0 由已知条件? , ?sin α+sin β=1 ?

又 0<β<α<π, cos β=-cos α=cos(π-α),则 β=π-α, sin α+sin(π-α)=1, 1 π 5π sin α= ,α= 或 α= , 2 6 6 π 5π 当 α= 时,β= (舍去) 6 6 5π π 当 α= 时,β= . 6 6 12.(2012· 湖北)已知向量 a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx), 1 ? 设函数 f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称, 其中 ω, λ 为常数, 且 ω∈? ?2,1?. (1)求函数 f(x)的最小正周期;
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π ? ? 3π? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ?4,0?,求函数 f(x)在区间?0, 5 ?上的取值范围. 解 (1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx· cos ωx+λ

=-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ π? =2sin? ?2ωx-6?+λ. 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π? 可得 sin? 1, ?2ωπ-6?=± π π k 1 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z). 6 2 2 3 1 ? 5 又 ω∈? ?2,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=6. 故 T= 2π 6 = π. 2ω 5

6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? ?π? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?,得 f?4?=0, 5 π π? π 即 λ=-2sin? ?6×2-6?=-2sin 4=- 2. 5 π? 故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2. 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 5 π? 1 所以- ≤sin? ?3x-6?≤1, 2 5 π? 得-1- 2≤2sin? ?3x-6?- 2≤2- 2, 3π? 故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 13.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(4,-1),n= 7 ?cos2A,cos 2A?,且 m· n= . 2 ? ? 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3,试判断 bc 取得最大值时△ABC 的形状. 解
2A ? (1)由 m=(4,-1),n=? ?cos 2 ,cos 2A?,

A 得 m· n=4cos2 -cos 2A 2

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1+cos A =4· -(2cos2A-1) 2 7 =-2cos2A+2cos A+3= , 2 1 π 解得 cos A= ,∵0<A<π,∴A= . 2 3 (2)在△ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 且 a= 3,∴( 3)2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc, 2 ∵b2+c2≥2bc,∴3≥2bc-bc,即 bc≤3. 当且仅当 b=c= 3时,bc 取得最大值, 此时 a=b=c= 3,△ABC 为等边三角形.

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