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2011年高考数学一轮复习(共87节)8.3基本不等式的证明


8.3 基本不等式的证明
【知识网络】 1、重要的基本不等式,不等式等号成立的条件; 2、证明不等式的方法及应用。 【典型例题】
2 2 ? a+b? a +b 例 1: (1)设 a, b ∈ R ,已知命题 p : a = b ;命题 q : ? ,则 p 是 q 成 ? ≤ 2 ? 2 ? 2

立的 A.必要不充分条件 C.充分必要条件
2

( B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 ? a+b? a +b ≤ 等号成立的条件。 ? 2 ? 2 ?



答案:B。解析: a = b 是 ?

(2)若 a, b, c 为△ABC 的三条边,且 S = a 2 + b 2 + c 2 , p = ab + bc + ac ,则( A. S ≥ 2 p B. p < S < 2 p C. S > p
1 2



D. p ≤ S < 2 p

答案:D. 解析: ? p = a 2 + b 2 + c 2 ? (ab + bc + ac) = [(a ? b)2 + (b ? c) 2 + (a ? c)2 ] ≥ 0,∴ S ≥ p , S 又∵ | a ? b |< c,| b ? c |< a,| a ? c |< b,∴ a 2 ? 2ab + b 2 < c 2 , b 2 ? 2bc + c 2 < a 2 , a 2 ? 2ac + c 2 < b 2 ∴ a 2 + b 2 + c 2 < 2( ab + bc + ac),∴ S < 2 p 。 (3)设 x > 0, y > 0, a = A.a >b

x+ y x y + , b= , a 与 b 的大小关系 1+ x 1+ y 1+ x + y
C.a ≤ b D.a ≥ b





B.a <b

x+ y x y x y = + < + 。 答案:B。解析: a = 1+ x + y 1+ x + y 1+ x + y 1+ x 1+ y

(4)b 克盐水中,有 a 克盐( b > a > 0 ) ,若再添加 m 克盐(m>0)则盐水就变咸了, 试根据这一事实提炼一个不等式 答案: .

a a+m .解析:由盐的浓度变大得. < b b+m
1 1 + 的最小值. x y
1 y 2y x + ≥ 3+ 2 2 。 x y

(5)设 x > 0, y > 0且x + 2 y = 1,求
1 x



答案: 3 + 2 2 。解析: ( x + 2 y )( + ) = 3 +

例 2:已知 a, b 都是正数,并且 a ≠ b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 答案:证:(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 ) = a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b 都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ≠ b,∴(a ? b)2 > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 例 3 设 x, y ∈ R, y + x 2 = 0 ,当 0 < a < 1 时,求证: log a (a x + a y ) < log a 2 + 。 解析: a + a ≥ 2 a
x y x+ y

∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0
1 8

= 2?a
x?x x
2

x+ y 2

= 2?a

x ? x2 2



∴ log a (a x + a y ) ≤ log a (2 ? a

) = log a 2 +

x ? x2 1 1 1 1 = log a 2 ? ( x ? ) 2 + < log a 2 + 。 2 2 2 8 8

例 4: (1)已知 a, b 是正常数, a ≠ b , x, y ∈ (0, +∞ ) ,

求证:

a 2 b 2 ( a + b) 2 + ≥ ,指出等号成立的条件; x y x+ y
2 9 1 + ( x ∈ (0, ) )的最小值, x 1 ? 2x 2

(2)利用(1)的结论求函数 f ( x ) = 指出取最小值时 x 的值. 答案: (

a 2 b2 y x y x + )( x + y ) = a 2 + b 2 + a 2 + b 2 ≥ a 2 + b 2 + 2 a 2 b 2 = (a + b) 2 , x y x y x y



a 2 b 2 ( a + b) 2 y x a b + ≥ .当且仅当 a 2 = b 2 ,即 = 时上式取等号; x y x+ y x y x y
22 32 (2 + 3) 2 + ≥ = 25 . 2 x 1 ? 2 x 2 x + (1 ? 2 x)

⑵由⑴得 f ( x) =

当且仅当

2 3 1 = ,即 x = 时上式取最小值,即 [ f ( x)]min = 25 . 2x 1? 2x 5

【课内练习】 1.设 x、y 是正实数,且 x+y=5,则 lgx+lgy 的最大值是_______________________. 答案:2-4lg2。解析:∵x>0,y>0,5=x+y≥2 成立. 故 lgx+lgy=lgxy≤lg(

5 5 xy ,∴xy≤( )2. 当且仅当 x=y= 时等号 2 2

5 2 ) =2-4lg2. 2
( ) C. 2
lg a + lg b 2 ) =1。 2
2 2 2ab a + b ,② a + b ≤ a + b , ≤ a+b 2 2 2

2.若 a,b 均为大于 1 的正数,且 ab=100,则 lga·lgb 的最大值是 A. 0 B. 1 D.

5 2

答案: B.解析: lg a ? lg b ≤ (

3.在 a > 0,b > 0的条件下, 三个结论:①
2 2 ③ b + a ≥ a + b ,其中正确的个数是 a b





A.0 B.1 C.2 答案:D。解析:可以证明 3 个不等式都成立。 4.对一切正整数 n , 不等式

D.3

b n +1 < 恒成立,则 B 的范围是 1? b n + 2





答案: 或b <
2 。 5

2 (?∞, ) U (1, +∞) 。解析: n + 1 = 1 ? 1 ≥ 2 ,∴ b < 2 ,∴ 5b ? 2 > 0 ,即 n+2 n + 2 3 1? b 3 b ?1 5

b>1

5. 已知方程 ( x ? 1)( x 2 ? 2 x + m) = 0 的三根可作为一个三角形的三边长, 那么 m 的取值范围 是
?3 ? ?4 ?

。 答案: m ∈ ? ,1? 。解析: ? = 4 ? 4m ≥ 0,∴ m ≤ 1 ,又 | x1 ? x2 |< 1,∴ m > 6.已知 a、b 为不等的正数,且 b =
3 ?3 ? ,即 m ∈ ? ,1? 。 4 ?4 ?

a+3 a+b 、 、 四个数按从小到大 ,试将 3 a、b a +1 2

的顺序排列 答案:



b? 3 =

a+3 3 ?1 ( 3 ? a) ? 3 = L= a +1 a +1

(1)当 a <

3 时, 0 < b ? 3 < 3 ? a ,得 b > 3 ,且

a+b < 3, 2

此时 a <

a+b < 3<b 2 3 时, 0 < 3 ? b < a ? 3 ,得 b < 3 ,且 a+b <a 2 a+b > 3, 2

(2)当 a >

此时 b <

3<

(3)当 a =

3 时, a = b 与题设矛盾

7.比较下列两个数的大小: (1) 2 ? 1与2 ? 3; (2) 2 ? 3与 6 ? 5 ; (3)从以上两小项的结论中,你否得出更一般的结论?并加以证明 答案: (1) 2 ? 1 > 2 ? 3 ,(2) 2 ? 3 >

6? 5

(3)一般结论:若 n ∈ N 则 n + 1 ? 证明 欲证 n + 1 ? n > 只需证

?

n > n + 3 ? n + 2 成立

n + 3 ? n + 2 成立

1 n +1 + n

>

1 n+3+ n+2
(? )

也就是 n + 1 +

n < n+3 + n+2

Qn∈ N?

∴ n + 1 < n + 3, n < n + 2

从而(*)成立,故 n + 1 ? n >

n+3 ? n+2

(n ∈ N ? )
1 . 8

8.已知 x > 0, y > 0, x + y = 1 ,求证: x 4 + y 4 ≥ 答案:∵ x > 0, y > 0, x + y = 1 ,∴ x + y ≥ 2 xy ,
2 2

两边同加上 x 2 + y 2 得, 2( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y ) 2 = 1 . 又 x + y ≥ 2 x y ,两边同加上 x + y 得, 2( x + y ) ≥ ( x + y ) ≥
4 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2

1 , 4

∴ x4 + y4 ≥

1 . 8 1 2 1 25 ) + (b + ) 2 ≥ . a b 2 1 1 ∴ ab ≤ ∴ ≥4 4 ab
2 2

9.设 a>0, b>0,且 a + b = 1,求证: (a + 答案:∵ ab ≤

a+b 1 = 2 2

1 1? 1 1? ? ? ? a+ a +b+ b ? ? 1+ a + b ? 1 2 1 2 ∴ ( a + ) + (b + ) ≥ 2 ? ? = 2? ? a b 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a+b ? 1 ? ? ? 2 ? 1 + ab ? ? 1 + ab ? 25 ?1+ 4 ? = 2? ? = 2? ? ≥ 2? ? = 2 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

10.已知函数

π x f (x) = 4sin x sin2 ( + ) + cos2x 4 2
? f (ωx) 在区间 ?? , ? 上是增函数,求 w 的取值范围 ? 2 3?

(1)设 ω > 0 为常数,若 y =

π 2π ?

(2)设集合 A = ?x

2π ? ? π ≤ x ≤ ?; B = x f (x) ? m < 2 ,若 A ? B ,求实数 m 的取值范围。 3? ? 6

{

}

1? cos( + x) 2 + cos2x = 2sin x +1 答案: (1) f (x) = 4sin x ? 2

π

Q f (ωx) = 2sin ωx +1在 ?? π , 2 π ? 上是增函数。 ? ?
? 2 3 ?

2π π ? π 2π ? ? π π ? ? 3? ∴?? , ? ? ?? , ? ,即 ≤ ,∴ω ∈? 0, ? 3 2ω ? 2 3 ? ? 2ω 2ω ? ? 4?
(2)由

f (x) ? m < 2 得: ?2 < f (x) ? m < 2 ,即 f (x) ? 2 < m < f (x) + 2
π
2 3

Q A ? B,∴当 ≤ X ≤ π 时, f (x) ? 2 < x < f (x) + 2 恒成立。
6

∴[ f (x) ? 2]max < m < [ f (x) + 2]min
又 x∈? ,

π π ?π 2π ? ? 时, f (x)max = f ( 2 ) = 3; f (x)min = f ( 6 ) = 2 ?6 3 ?

∴m∈ (1,4)

【作业本】 A组 1.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是 .... A. | a ? b |≤| a ? c | + | b ? c |
C. | a ? b | +
1 ≥2 a?b





B. a 2 +

1 a
2

≥a+

1 a

D. a + 3 ? a + 1 ≤ a + 2 ? a

答案: C.因为 | a ? b |= ( a ? c ) ? ( b ? c ) ≤| a ? c | + | b ? c | ,所以(A)恒成立,在 B 两侧同时乘以 a 2 , 得 a 4 + 1 ≥ a3 + a ? ( a 4 ? a3 ) + (1 ? a ) ≥ 0 ? a3 ( a ? 1) ? ( a ? 1) ≥ 0 ? ( a ? 1)2 ( a 2 + a + 1) ≥ 0 所 以 B 恒成立;在 C 中,当 a>b 时,恒成立,a<b 时,不成立;在 D 中,分子有理化得

2 2 ≤ 恒成立,故选 C. a + 3 + a +1 a+2+ a
2.若关于 x 的方程 9 + (4 + a ) ? 3 + 4 = 0 有解,则实数 a 的取值范围是
x x





A. ( ?∞, ? 8] U[ 0, + ∞) C. [ ?8, 4)

B. ( ?∞, ? 4) D. ( ?∞, ? 8]

4 ? 答案:D。解析: 4 + a = ? ? 3x + x ? ≤ ?4,∴ a ≤ ?8 。 ? 3 ? ?

3.设 x、y ∈ R 且 xy ? ( x + y ) = 1 ,则 A. x + y ≥ 2( 2 + 1) B. xy ≤

+





2 +1

C. x + y ≤ ( 2 + 1)

2

D. xy ≥ 2( 2 + 1)
? x+ y? 2 ? ,∴ ( x + y ) ? 4( x + y ) ? 4 ≥ 0,∴ x + y ≥ 2( 2 + 1) 。 ? 2 ?
2

答案:A。解析: xy = 1 + ( x + y ) ≤ ?

4.若 log 2 a

1+ a2 < 0 ,则 a 的取值范围是 1+ a
? 2a > 1 ? 0 < 2a < 1 1 ? ? 2 或 ?1 + a 2 ,解得 < a < 1 。 1+ a 2 0< <1 ? >1 ? 1+ a ? ? 1+ a

答案: ( ,1) 。解析: ?

1 2

5.若关于 x 的不等式 x2-ax-6a<0 有解且解的区间长不超过 5,则 a 的取值范围是 答案: -25≤a<-24 或 0<a≤1。 解析:? 或0 < a ≤1。 6.已知 a、b 是不等正数,且 a3-b3= a2-b2 求证:1< a +b<
? 2 ? a + 24a > 0 ? a > 0, a < ?24 ,∴ ? , ?25 ≤ a ≤ ?24 ∴ ?| x1 ? x2 |≤ 5 ? ?25 ≤ a ≤ 1 ?

4 . 3

2 2 证明: a 3 ? b3 = a 2 ? b 2 ? a 2 + ab + b 2 = a + b ? (a + b) 2 > a + ab + b = a + b ? a + b > 1

4 ? 3(a + b) 2 < 4(a + b) ? 3(a 2 + 2ab + b 2 ) < 4(a 2 + ab + b 2 ) 3 2 ? a ? 2ab + b 2 > 0 ? a ? b > 0

a+b <

7.设 s = 1 × 2 + 求证:

2 × 3 + 3 × 4 + K + n(n + 1),

1 1 n(n + 1) < s < n(n + 2 ) 2 2 2 × 2 + 3 × 3 + K n × n = 1 + 2 + 3 + Kn =

答案: s > 1 × 1 +

1 n(n + 1) 2 1 1+ 2 2 + 3 3 + 4 n + (n + 1) 1 = (3 + 5 + 7 + K + (2n + 1)) = n(n + 2) . S< + + +K + 2 2 2 2 2 2 1 1 ∴ n(n + 1) < s < n(n + 2) 。 2 2

8 . 设 二 次 函 数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a > 0) , 方 程 f ( x ) = x 的 两 个 根 x1 , x2 满 足

0 < x1 < x2 <

1 . a

(1)当 x ∈ (0, x1 ) 时,证明: x < f ( x) < x1 ; (2)设函数 f (x ) 的图象关于 x = x0 对称,证明: x0 <

x1 . 2

答案:证明:(1) F ( x) = f ( x) ? x = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,当 x ∈ (0, x1 ) 时,∵ x1 < x2 , a > 0

∴ F ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0 ,∴ f ( x ) ? x > 0 ,∴ x < f (x) . 又 x1 ? f ( x) = x1 ? [ F ( x) + x] = x1 ? x ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) = ( x1 ? x)[1 + a ( x ? x2 )] . ∵

0 < x1 < x2 <

1 a

,∴

x1 ? x > 0 , 1 + a( x ? x2 ) = 1 + ax ? ax2 > 1 ? ax2 > 0

,∴

x1 ? f ( x) > 0 ,即 f ( x) < x1 ,∴ x < f ( x) < x1 .
1 ? b ? ax2 1? b , x1 = , a a x b 1 ? b ? ax2 只要证 ? < ,即证明 ax2 ? 1 > 0 ,此式显然成立,∴ x0 < 1 . a a 2
(2)∵ x1 , x2 为 f ( x ) ? x = 0 的两个根,∴ x1 + x 2 =

B组 1.函数 y= A.(1,2) 答案:D 解析:y=

x 2 + 2x + 2 (x>-1)的图象最低点坐标是 x +1
B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)

(

)

( x + 1) 2 + 1 1 =(x+1)+ ≥2.此时 x=0. x +1 x +1

2.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一 半时间以速度 n 行走; 有一半路程乙以速度 m 行走, 另一半路程以速度 n 行走, 如果 m ≠ n, 甲、乙两人谁先到达指定地点 ( ) A.甲 B.乙 C.甲乙同时到达 D.无法判断
S S 2S 2 2 S S S ( m + n) 答案:A。解析:t 甲= , + = t 乙,∴t 乙= + = , m+n m n 2m 2n 2mn
t甲 4mn = <1, t 乙 ( m + n) 2

∴t 甲< t 乙。 3. f(x)是奇函数, 设 对任意的实数 x、 有 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), 且当x > 0时, f ( x) < 0, y, 则 f(x)在区间[a,b]上 A.有最大值 f (a) C.有最大值 f ( ( B.有最小值 f (a) D.有最小值 f ( )

a+b ) 2

a+b ) 2

答案:A。解析: f ( x) 为减函数。 4.设 M= (

1 1 1 ? 1)( ? 1)( ? 1) ,且 a+b+c=1,(a、b、c∈R+),则 M 的取值范围是 a b c

答案:[8,+∞) 。解析: M = 5.若 x,y>0,求
x+ y x+ y

b + c a + c a + b 2 bc ? 2 ac ? 2 ab ? ? ≥ = 8。 a b c abc

的最大值。

答案: 2 。解析: ?

? x+ y? x + y + 2 xy x + y + x + y x+ y = ≤ = 2,∴ ≤2。 ? x+ y ? ? x+ y x+ y xy ? ?
2

2

6 . 已 知 a > b > c且a + b + c = 0 , 证 明 :方 程 ax + 2bx + c = 0 的 两 实 根 x1 , x2 满 足

3 <| x1 ? x2 |< 2 3 .
答案: 证明:由题设得 x1 + x 2 = ?

2b c 4b 2 4c 4(b 2 ? ac) , x1 x2 = , ( x1 ? x2 ) 2 = 2 ? ∴ = a a a a a2

∵ a + b + c = 0 ,∴ b 2 = ( a + c ) 2 , 又

4(b 2 ? ac) 4(a 2 + ac + c 2 ) 12a 2 = < 2 = 12 , a2 a2 a ? x2 ) 2 < 12 ,∴ 3 <| x1 ? x2 |< 2 3 .

4(a 2 + ac + c 2 ) 3a 2 + (a + 2c) 2 3a 2 = > 2 = 3 ,∴ 3 < ( x1 a2 a2 a

7.设 A = 1 +

1 2

+

1 3

+K+

1 n

,n ∈ N,n > 1

(1)证明:A> n ; (2) 2 n + 1 ? 2 < A < 2 n 答案: (1)A > 1 +
1 1 1 + +K =1 + 2 +1 3+ 2 n + n ?1

(

2 ?1 +

) (

3 ? 2 +K

)

(

n + n ?1 = n

)

2 (2) A = 2 + 2 + 2 + K + 2 < +
2 2 2 2 3 2 n

1+ 0

2 2 2 + +K 2 +1 3+ 2 n + n ?1

= 21+

[ (

2 ?1 +

) (

3 ? 2 +K+

)

(

n ? n ?1 = 2 n

)]

A=
>

2 2 2 2 + + +K+ 2 2 2 2 3 2 n
2 2 +1 + 2 3+ 2 + 2 4+ 3 +K+ 2 n +1 + n

=2

[(

2 ?1 +

) (

3? 2 +

) (

4 ? 3 K+

)

(

n +1 ? n = 2 n +1 ? 2 .

)]

∴ 2 n +1 ? 2 < A < 2 n

8.设 f(x)=3ax 2 + 2bx + c.若a + b + c = 0 ,f(0)>0,f(1)>0,

求证:(Ⅰ)a>0 且-2<

a <-1; b

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根. 答案:证明: (I)因为 f (0) > 0, f (1) > 0 ,所以 c > 0, 3a + 2b + c > 0 . 由条件 a + b + c = 0 ,消去 b ,得 a > c > 0 ; 由条件 a + b + c = 0 ,消去 c ,得 a + b < 0 , 2a + b > 0 . 故 ?2 <

b < ?1 . a

(II)抛物线 f ( x) = 3ax 2 + 2bx + c 的顶点坐标为 ( ? 在 ?2 <

b 3ac ? b 2 , ), 3a 3a

b 1 1 b 2 < ?1 的两边乘以 ? ,得 < ? < . a 3 3 3a 3 b a 2 + c 2 ? ac )=? < 0, 3a 3a

又因为 f (0) > 0, f (1) > 0, 而 f ( ? 所以方程 f ( x) = 0 在区间 (0, ?

故方程 f ( x) = 0 在 (0,1) 内有两个实根.

b b ) 与 (? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a


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