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广东省茂名市2015届高考数学一模试卷(理科)


广东省茂名市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则(?UA) ∩B 为() A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{2,4,6} 2. (5 分)i 为虚数单位,则复数 A.﹣i B. i

的虚部是() C. 1 D.﹣1

3. (5 分)设 a∈R,则“a=﹣2”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)下列函数中,在(﹣1,1)内有零点且单调递增的是() A. B.y=2 ﹣1
x

C.

D.y=﹣x

3

5. (5 分)以点(3,﹣1)为圆心且与直线 3x+4y=0 相切的圆的方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣3) +(y+1) =1 B.(x+3) +(y﹣1) =1 C. (x+3) +(y 2 2 2 ﹣1) =2 D. (x﹣3) +(y+1) =2 6. (5 分)如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3) ,从中任取三个数, 则至少有两个数位于同行或同列的概率是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最小值

2,则 ab 的最大值为() A.1 B. C. D.

8. (5 分)设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p,定义函数 fp(x) = ,则称函数 fp(x)为 f(x)的“p 界函数”,若给定函数 f(x)=x
2

﹣2x﹣2,p=1,则下列结论成立的是() A.fp[f(0)]=f[fp(0)] B. D.f[f(﹣2)]=fp[fp(﹣2)]

fp[f(1)]=f[fp(1)] C. fp[f(2)]=fp[fp(2)]

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 9. (5 分)已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角,A,B,C 所对的边,若 a=3,C=120°, △ ABC 的面积 S= ,则 c 为.

10. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形, 则其表面积为.

11. (5 分)若执行如图所示的程序框图,则输出的 S 是.

12. (5 分)已知等比数列{an}的第 5 项是二项式(



) 展开式的常数项,则 a3a7=.

6

13. (5 分)已知 A、B 是椭圆

+

=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N 是椭圆上关于 x

轴对称的两点,直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2≠0 若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭 圆的离心率.

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程】 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 ρ=sinθ 与 ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤ )的交点的极坐标为.

【几何证明选讲】 15.如图,圆 O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 的中点,PO=5cm,弦 CD 过点 P,且 则 CD 的长为 cm. = ,

三、解答题 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ(x∈R,0<φ<π) ,f( (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f( ﹣ )= ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值. )= .

17. (12 分)第 117 届中国进出口商品交易会(简称春季交广会)将于 4 月 15 日在广州市举 行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者,现将 这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:m) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义 为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. (1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) ; (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望.

18. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥DC,DB 平分∠ADC, E 为 PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 ,PD=2. (1)证明:PA∥平面 BDE;

(2)证明:AC⊥PB; (3)求二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值.

19. (14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, 且 2nSn+1﹣2 (n+1) Sn=n (n+1) (n∈N ) . 数 * 列{bn}满足 bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N ) .b3=5,其前 9 项和为 63. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn= + ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若对任意正整数 n,都有 Tn﹣2n∈[a,b],求

*

b﹣a 的最小值. 20. (14 分)已知点 F(0,1) ,直线 l:y=﹣1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q,且 ? = ? .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 设 M 为直线 l1: y=﹣m (m>2) 上的任意一点, 过点 M 作轨迹 C 的两条切线 MA, MB. 切 点分别为 A,B,试探究直线 l1 上是否存在点 M,使得△ MAB 为直角三角形?若存在,有几 个这样的点;若不存在,请说明理由. 21. (14 分)设函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax. (Ⅰ)求函数 f(x)的导函数 f′(x) ; (Ⅱ)若 x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点,且 区间; (Ⅲ)设函数 f(x)在点 C(x0,f(x0) ) (x0 为非零常数)处的切线为 l,若函数 f(x)图象 上的点都不在直线 l 的上方,试探求 x0 的取值范围. ,试求函数 f(x)的单调递增
2

广东省茂名市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则(?UA) ∩B 为() A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{2,4,6}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出 A 的补集,从而求出(?UA)∩B,进而得到答案. 解答: 解:∵?UA={4,6}, ∴(?UA)∩B={4,6}∩{2,4,6}={4,6}, 故选:B. 点评: 本题考查了集合的交,并,补集的运算,是一道基础题.

2. (5 分)i 为虚数单位,则复数 A.﹣i B. i

的虚部是() C. 1 D.﹣1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解:∵ = ,

∴复数

的虚部是﹣1.

故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3. (5 分)设 a∈R,则“a=﹣2”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据直线平行的条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:当 a=﹣2 时,两直线方程分别为 l1:﹣2x+2y﹣1=0 与直线 l2:x﹣y+4=0 满足, 两直线平行,充分性成立. 当 a=1 时,满足直线 l1:x+2y﹣1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行,∴必要性不成立, ∴“a=﹣2”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用直线平行的条件是解决本题的关键. 4. (5 分)下列函数中,在(﹣1,1)内有零点且单调递增的是() A. B.y=2 ﹣1
x

C.

D.y=﹣x

3

考点: 函数的零点. 专题: 计算题.

分析: A、对数函数的定义域和底数小于 1 时是减函数;B、对数函数的定义域和底数大于 1 时是增函数;C、指数是正数的幂函数在 R 上是增函数;D、底数大于 1 的指数函数在 R 上 是增函数. 解答: 解:A、 的定义域是(0,+∞) ,且为减函数,故不正确; B、y=2 ﹣1 的定义域是 R,并且是增函数,且在(﹣1,1)上零点为 0,故正确; C、
3 x

在(﹣1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,故不正确;

D、y=﹣x 是减函数,故不正确. 故选 B. 点评: 考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题,属基础题. 5. (5 分)以点(3,﹣1)为圆心且与直线 3x+4y=0 相切的圆的方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣3) +(y+1) =1 B.(x+3) +(y﹣1) =1 C. (x+3) +(y 2 2 2 ﹣1) =2 D. (x﹣3) +(y+1) =2 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据题意,求出点(3,﹣1)与直线 3x+4y=0 的距离,即为所求圆的半径,结合圆 的标准方程形式即可得到本题答案. 解答: 解:设圆的方程是(x﹣3) +(y+1) =r ∵直线 3x+4y=0 相与圆相切 ∴圆的半径 r= =1
2 2 2 2 2

因此,所求圆的方程为(x﹣3) +(y+1) =1 故选:A. 点评: 本题求一个已知圆心且与已知直线相切的圆方程,着重考查了点到直线的距离公式、 圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题. 6. (5 分)如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3) ,从中任取三个数, 则至少有两个数位于同行或同列的概率是()

A.

B.

C.

D.

考点: 排列、组合及简单计数问题;古典概型及其概率计算公式. 专题: 排列组合. 3 分析: 从 9 个数中任取 3 个数共有 C9 =84 种取法,求得不满足要求的选法共有 6 种,可得 满足条件的选法有 84﹣6=78 种,从而求得所求事件的概率. 3 解答: 解:从 9 个数中任取 3 个数共有 C9 =84 种取法,

取出的三个数,使它们不同行且不同列:从第一行中任取一个数有 C1 3 种方法, 则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有 C1 2 种方法, 第三行只能从剩下的一列中取即可有 1 中方法, ∴共有 × =6 种方法,即三个数分别位于三行或三列的情况有 6 种, = .

∴所求的概率为

故答案选 D. 点评: 本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式,直接解法较复杂, 采用间接解法比较简单.

7. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最小值

2,则 ab 的最大值为() A.1 B. C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作差可行域,由可行域得到使目标函数取得最小值的点,联立方程组求 得最优解的坐标,代入目标函数得到关于 a,b 的等式,然后利用基本不等式求最值.

解答: 解:由约束条件

作差可行域如图,

联立

,解得 A(2,3) .

由图可知,目标函数 z=ax+by 在点(2,3)上取到最小值 2,即 2a+3b=2.

∴ab= 当且仅当 2a=3b=1,即

. 时等号成立.

故选:C. 点评: 本题考查了线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. (5 分)设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p,定义函数 fp(x) = ,则称函数 fp(x)为 f(x)的“p 界函数”,若给定函数 f(x)=x
2

﹣2x﹣2,p=1,则下列结论成立的是() A.fp[f(0)]=f[fp(0)] B. D.f[f(﹣2)]=fp[fp(﹣2)] 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 p 界函数的定义求出 f1(x)= 函数解析式求函数值,进行验证各选项的正误即可. 解答: 解:根据题意 ; ,从而根据已知 fp[f(1)]=f[fp(1)] C. fp[f(2)]=fp[fp(2)]

∴f(0)=﹣2,f1(0)=﹣2,f1[f(0)]=f1(﹣2)=1,f[f1(0)]=f(﹣2)=6,∴A 错误; f(1)=﹣3,f1(1)=﹣3,f1[f(1)]=f1(﹣3)=1,f[f1(1)]=f(﹣3)=13,∴B 错误; f(2)=﹣2,f1(2)=﹣2,f1[f(1)]=f1(﹣2)=1,f1[f1(2)]=f1(﹣2)=1,∴C 正确; f(﹣2)=6,f1(﹣2)=1,f[f(﹣2)]=f(6)=22,f1[f1(﹣2)]=f1(1)=﹣3,∴D 错误. 故选 C. 点评: 考查对 p 界函数的理解与运用,已知函数解析式能够求出函数值. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 9. (5 分)已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角,A,B,C 所对的边,若 a=3,C=120°, △ ABC 的面积 S= ,则 c 为 7.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由已知及三角形面积公式可得 b 的值,由余弦定理即可求得 c 的值. 解答: 解:由三角形面积公式可得:S= absinC= ∵a=3,C=120°, ∴可得: = ,解得:b=5, ,

∴由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC=9+25+15=49, ∴可解得:c=7. 故答案为:7. 点评: 本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理的应用,属于基本知识的考查. 10. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形, 则其表面积为 3π+4.

2

2

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 原几何体为圆柱的一半,且高为 2,底面圆的半径为 1,表面积由上下两个半圆及正 面的正方形和侧面圆柱面积构成,分别求解相加可得答案. 解答: 解:由三视图可知:原几何体为圆柱的一半, (沿中轴线切开) 由题意可知,圆柱的高为 2,底面圆的半径为 1, 故其表面积为 S=2× π×1 +2×2+ ×2π×1×2=3π+4 故答案为:3π+4 点评: 本题考查由几何体的三视图求面积,由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问 题的关键,属基础题. 11. (5 分)若执行如图所示的程序框图,则输出的 S 是﹣1.
2

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程模拟程序运行的结果,发现 S 值的周期为 6,根据条件确定跳出循环 的 k 值,计算输出的 S 值. 解答: 解:由程序框图知:

n=1,第 1 次循环 S= , n=2;第 2 次循环 S=0, n=3;第 3 次循环 S=﹣1, n=4;第 4 次循环 S=﹣ , n=5,第 5 次循环 S=﹣1, n=6;第 6 次循环 S=0, n=7;第 7 次循环 S= , n=8,第 8 次循环 S=0, … …S 值的周期为 6,2016=6*336, ∵跳出循环的 k 值为 2016, ∴输出的 S=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答 此类问题的常用方法,属于基本知识的考查.
6

12. (5 分)已知等比数列{an}的第 5 项是二项式(



) 展开式的常数项,则 a3a7=



考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展 开式中的常数项的值.再根据该项是等比数列{an}的第 5 项,再利用等比数列的性质求得 a3a7 的值. 解答: 解:二项式( 令 3﹣ ﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1= ? = . = ,
6

?

?



=0,求得 r=2,故展开式的常数项为

等比数列{an}的第 5 项 a5= ,可得 a3a7= 故答案为: .

点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式, 等比数列的定义和性质,属于基础题.

13. (5 分)已知 A、B 是椭圆

+

=1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N 是椭圆上关于 x

轴对称的两点,直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2≠0 若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭 圆的离心率 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先假设出点 M,N,A,B 的坐标,然后表示出两斜率的关系,再由|k1|+|k2|的最小值 为 1 运用基本不等式的知识可得到当 x0=0 时可取到最小值,进而找到 a,b,c 的关系,进而 可求得离心率的值. 解答: 解:设 M(x0,y0) ,N(x0,﹣y0) ,A(﹣a,0) ,B(a,0) , 则 =1,即有 ,

k1=

,k2=



|k1|+|k2|=|

|+|

|

=1,

当且仅当

=

即 x0=0,y0=b 时等号成立.

∴2
2 2

=2? =1∴a=2b,
2

又因为 a =b +c ∴c= ∴e= = .

a,

故答案为: 点评: 本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用.圆锥曲线是 2015 届高考的重点 问题, 基本不等式在解决最值时有重要作用, 所以这两方面的知识都很重要, 一定要强化复习. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程】 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 ρ=sinθ 与 ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤ . )的交点的极坐标为

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 曲线 ρ=sinθ 与 ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤
2 2 2 2 2 2

)分别化为 ρ =ρsinθ,ρ =ρcosθ.可得直角坐

2

2

标方程为:x +y =y,x +y =x,x,y≥0,x +y >0.联立解得 x,y,再利用极坐标即可. 解答: 解:曲线 ρ=sinθ 与 ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤
2 2 2 2

)分别化为 ρ =ρsinθ,ρ =ρcosθ.
2 2

2

2

可得直角坐标方程为:x +y =y,x +y =x,x,y≥0,x +y >0. 联立解得 x=y= . ∴交点 P ∴极坐标为: 故答案为: ,化为极坐标为 . . = , .

点评: 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的交点,考查了计算能力,属于基础题. 【几何证明选讲】 15.如图,圆 O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 的中点,PO=5cm,弦 CD 过点 P,且 则 CD 的长为 18 cm. = ,

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 由已知条件利用垂径定理和勾股定理得 AP=PB=12,再由相交弦定理得 CP?PD=AP?PB=12 =144,利用
2

= ,得 CD=3CP,PD=2CP,由此能求出 CD 的长.

解答: 解:圆 O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 的中点,PO=5cm, ∴AP=PB=
2

=12,

∴CP?PD=AP?PB=12 =144, ∵ = ,∴CD=3CP,PD=2CP,
2

∴2CP =144,解得 CP=6 , ∴CD=3CP=18 . 故答案为:18 . 点评: 本题考查与圆有关的线段长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意垂径定理、 勾股定理、相交弦定理的合理运用.

三、解答题 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ(x∈R,0<φ<π) ,f( (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f( ﹣ )= ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值. )= .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由 f( 的解析式; (2)由 f( ﹣ )= ,可得 cosα=﹣ )的值. )= .可得 sin cosφ+cos sinφ= …1 分 ,又 α∈( ,π) ,可得 sinα,利用两角和的正 )= .可得 cosφ= ,又 0<φ<π,可解得 φ,从而可求得 f(x)

弦公式即可求得 sin(α+ 解答: 解: (1)由 f( 所以 cosφ= …2 分

又∵0<φ<π…3 分 ∴φ= …4 分 +cos2xsin )= =sin(2x+ ﹣ )…6 分 )+ ]= ,即 sin( )= …7 分

∴f(x)=sin2xcos (2)由 f( 所以 cosα=﹣ 又∵α∈( 所以 sinα= sin(α+ ﹣

,可得 sin[2(

…8 分

,π) ,…9 分 = )=sinαcos +cos = = …10 分 …12 分

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法,所以 基本知识的考查. 17. (12 分)第 117 届中国进出口商品交易会(简称春季交广会)将于 4 月 15 日在广州市举 行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者,现将 这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:m) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义 为“高个子”,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. (1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) ;

(2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图,利用平均数公式和中位数定义能求出男志愿者的平均身高和女志 愿者身高的中位数. (2)由茎叶图知“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12 人,而男志愿者的“高个子”有 5 人,女志 愿者的高个子有 3 人,从而 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)根据茎叶图,得: 男志愿者的平均身高为: 女志愿都身高的中位数为: =168.5(cm) . ≈176.1(cm) ,

(2)由茎叶图知“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12 人, 而男志愿者的“高个子”有 5 人,女志愿者的高个子有 3 人, ∴ξ 的可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



P(ξ=3)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ 0 P ∴Eξ=

1

2

3

= .

点评: 本题考查平均数、中位数的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 18. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥DC,DB 平分∠ADC, E 为 PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 ,PD=2. (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥PB; (3)求二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判 定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)设 AC∩BD=F,连结 EF,由已知得 EF 为△ PAC 的中位线,从而 PA∥EF,由 此能证明 PA∥平面 BDE. (2) 由已知得 AC⊥BD, 由线面垂直得 PD⊥AC, 从而 AC⊥平面 PBD, 由此能证明 AC⊥PB. (3)取 CD 中点 M,连结 EM,过 M 作 MH⊥DF 于 H,连结 EH,由已知得∠EHM 是二面 角 E﹣BD﹣C 的平面角,由此能求出二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值. 解答: (1)证明:如图,设 AC∩BD=F,连结 EF, ∵AD=CD,且 DB 平分∠ADC,∴F 为 AC 中点, 又∵E 为 PC 的中点,∴EF 为△ PAC 的中位线, ∴PA∥EF,又 EF?平面 BDE,PA?平面 BDE, ∴PA∥平面 BDE. (2)证明:∵AD=CD,且 DB 平分∠ADC,∴AC⊥BD, 又 PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴PD⊥AC, 又∵PD∩BD=D,且 PD?平面 PBD,BD?平面 PBD, ∴AC⊥平面 PBD, 又 PB?平面 PBD,∴AC⊥PB. (3)解:取 CD 中点 M,连结 EM,过 M 作 MH⊥DF 于 H,连结 EH, ∵EM∥PD,PD⊥平面 ABCD,∴EM⊥平面 ABCD,∴EM⊥BD, 又 MH⊥DF,MH∩EM=M,∴DF⊥平面 EHM,∴DF⊥EH, ∴∠EHM 是二面角 E﹣BD﹣C 的平面角, 又由 AC= = ,∴MH= = , = ,

在 Rt△ EAH 中,由 EM=1,得 EH=

∴cos∠EHM=

=



∴二面角 E﹣BD﹣C 的余弦值为 .

点评: 本题考查线面垂直的证明,考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 19. (14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, 且 2nSn+1﹣2 (n+1) Sn=n (n+1) (n∈N ) . 数 * 列{bn}满足 bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N ) .b3=5,其前 9 项和为 63. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn= + ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若对任意正整数 n,都有 Tn﹣2n∈[a,b],求
*

b﹣a 的最小值. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 2nSn+1﹣2(n+1)Sn=n(n+1) (n∈N ) ,变形 是等差数列,利用等差数列的通项公式可得 ,Sn=
*

,可得数列 .再利用“当 n≥2 时,an=Sn﹣
*

Sn﹣1,当 n=1 时也成立”即可得出 an.由于数列{bn}满足 bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N ) ,可得数列 {bn}是等差数列,利用等差数列的通项公式及其前 n 选和公式即可得出. (2)cn= + = =2+2 ,利用“裂项求和”可得:数列{cn}的前 n 项和

为 Tn=3+2n﹣2

. 设 An=

, 可得数列{An}单调递增, 得出: ,b≥3,即可得出. ,∴数列

.由于对任意正整数 n,都有 Tn﹣2n∈[a,b],可得 解答: 解: (1)∵2nSn+1﹣2(n+1)Sn=n(n+1) (n∈N ) ,∴ 是等差数列,首项为 1,公差为 ,∴ =1+ ,
*

∴Sn=
1=

.∴当 n≥2 时,

,an=Sn﹣Sn﹣

=n,当 n=1 时也成立.∴an=n.
*

∵数列{bn}满足 bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N ) ,∴数列{bn}是等差数列,设公差为 d,∵前 9 项和 为 63,∴ =9b5=63,解得 b5=7,又 b3=5,

∴d=

=1,∴bn=b3+(n﹣3)d=5+n﹣3=n+2,∴bn=n+2.

因此:an=n,bn=n+2.

(2)cn=

+

=

=2+2



∴数列{cn}的前 n 项和为 Tn=2n+2 =2n+2 =3+2n﹣2 ∴Tn﹣2n= 设 An= ∵An+1﹣An= ∴数列{An}单调递增, ∴(An)min=A1= . 而 An<3, ∴ . , ﹣3+2 = > 0, . . + +…+

∵对任意正整数 n,都有 Tn﹣2n∈[a,b], ∴∴ ,b≥3, = .

∴b﹣a 的最小值=

点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前 n 项和公式及其性质、“裂项求 和”、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20. (14 分)已知点 F(0,1) ,直线 l:y=﹣1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q,且 ? = ? .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 设 M 为直线 l1: y=﹣m (m>2) 上的任意一点, 过点 M 作轨迹 C 的两条切线 MA, MB. 切 点分别为 A,B,试探究直线 l1 上是否存在点 M,使得△ MAB 为直角三角形?若存在,有几 个这样的点;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 设动点 P (x, y) , 则Q (x, ﹣1) , 由 利用数量积运算可得﹣x +4y=0,即 x =4y. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) .由 x =4y,可得
2 2 2

?

=

?

, 可得

=0,

,可得切线方程为:

.又切线过点 M,可得

;同理可得过点 B 的切线方程为:

.可知:x1,x2 是方程 利用数量积运算可得 = =x1x2﹣x0(x1+x2)+ .当 m>2 时,

的两个实数根.可得根与系数的关系: +y1y2﹣y0(y1+y2)+ >0,∠AMB< .可得: .利用斜率计算公

式可得 kMA?kAB= =4,而 m>2 时,方程

, 若 kMA?kAB=﹣1, 整理得 =4 有解,即可得出.

. 即

解答: 解: (1)设动点 P(x,y) ,则 Q(x,﹣1) , ∵ ∴ ∵ =(﹣x,2) , ? = ? , =0. =(0,y+1) , =(x,y﹣1) ,

∴(﹣x,2)?(x,2y)=0, 2 2 ∴﹣x +4y=0,即 x =4y. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) . 由 x =4y,可得
2



∴切点 A 的切线斜率为

,切线方程为:

,即



又切线过点 M,∴

①,

同理可得过点 B 的切线方程为 由①②可知:x1,x2 是方程 ∴x1+x2=2x0,x1x2=4y0.

,又过点 M,∴ 的两个实数根.

.②

=(x1﹣x0) (x2﹣x0)+(y1﹣y0) (y2﹣y0)=x1x2﹣x0(x1+x2)+ + (*) .

+y1y2﹣y0(y1+y2)

把 x1+x2=2x0,x1x2=4y0. = 当 m>2 时,

,y2= =

代入(*)可得: . .

>0,∠AMB<

∵kAB=

=

=

=

.

=



∴kMA?kAB= 若 kMA?kAB=﹣1,整理得 ∵y0=﹣m,∴

= . =4,而 m>2 时,方程



=4 有解,

∴m>2 时,MA⊥AB 或 MB⊥AB,△ MAB 为直角三角形. 即直线 l1 上存在两点 M,使得△ MAB 为直角三角形. 点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题、一元二次方程的 根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了推理 能力与计算能力,属于难题. 21. (14 分)设函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax. (Ⅰ)求函数 f(x)的导函数 f′(x) ; (Ⅱ)若 x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点,且 ,试求函数 f(x)的单调递增
2

区间; (Ⅲ)设函数 f(x)在点 C(x0,f(x0) ) (x0 为非零常数)处的切线为 l,若函数 f(x)图象 上的点都不在直线 l 的上方,试探求 x0 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)确定函数的定义域,分类讨论,将函数化简,再求导函数即可; (Ⅱ)根据 x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点,利用韦达定理,可求 a 的值,即得到函数解 析式,求导函数,利用 f'(x)≥0,可得函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)确定切线 l 的方程,再构造新函数 g(x) ,求导数,确定函数的单调性与极值,从而函 数 f(x)=ln|x|﹣x +ax 的图象恒在直线 l 的下方或直线 l 上,等价于 g(x)≤0 对 x≠0 恒成立, 即只需 g(x0)≤0 和
2 2

,由此可得 x0 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax 的定义域为{x|x∈R,x≠0}. 当 x>0 时,f(x)=lnx﹣x +ax,∴ 当 x<0 时,f(x)=ln(﹣x)﹣x +ax,∴ 综上可得 .…(4 分)
2 2

; …(1 分) ; …(3 分)

(Ⅱ)∵
2

=

,x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点, ,

∴x1、x2 为方程﹣2x +ax+1=0 的两根,所以 又∵ ,∴a=﹣1.…(5 分)

此时,



由 f'(x)≥0 得 当 x>0 时,

, ,此时 ;

当 x<0 时, (2x﹣1) (x+1)≥0,∴x≤﹣1 或 x≥ ,此时 x≤﹣1. ∴当 f'(x)≥0 时,x≤﹣1 或 当 f'(x)≤0 时,同理解得 .…(7 分) .…(8 分) .…(9

综上可知 a=﹣1 满足题意,且函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1]和 分) (Ⅲ)∵ ,又 ,

∴切线 l 的方程为 即 令 = , = (x0 为常数) .…(10 分)



, (11 分) 当 x0>0 时,x、g'(x) 、g(x)的关系如下表: x g'(x) + g(x) ↗ x (﹣∞,x0) 0 极大值 x0 ﹣ ↘ (x0,0) (0,x0) + ↗ x0 (x0, +∞)

0 ﹣ 极大值 ↘

当 x0<0 时,x、g'(x) 、g(x)的关系如下表:

g'(x) + g(x) ↗

0 极大值
2

﹣ ↘

+ ↗

0 极大值

﹣ ↘

函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax 的图象恒在直线 l 的下方或直线 l 上, 等价于 g(x)≤0 对 x≠0 恒成立. ∴只需 g(x0)≤0 和 同时成立.…(12 分)

∵g(x0)=0,∴只需



下面研究函数







∴m(x)在(0,+∞)上单调递增, 注意到 m(1)=0,∴当且仅当 0<x≤1 时,m(x)≤0.…(13 分) ∴当且仅当 时, ,



解得





∴x0 的取值范围是

.…(14 分)

点评: 本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想.


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