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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象


复习回顾

y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.

? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (?,0), ( ,-1), (2?,0) .

y

1

. . . ? 3?/2 2?

.
x

o ?/2 -1

.

1.y=sin(x+? )与y=sinx的图象关系 ? ? 例1、试研究 y ? sin(x ? ) 、y ? sin(x ? ) 3 6 与 y ? sinx 的图象关系

? x+ 3 x

0

y ? sin( x + ) 0 3

? 3 ?

? 6
1

? 2

?

2 ? 3 0

7? 6 -1

3? 2

2?

5 ? 3 0

? ? 例1、试研究 y ? sin(x ? ) 、y ? sin(x ? ) 3 6 y ? sin x 与 的图象关系
y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

一、函数y=sin(x+? ) 的图象
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看

作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当? >
0时 )或向右(当 ? <0时 )平行移动 ? 个单位而得到的。

? ? 练习:函数y = 3cos(x+ )图像向左平移 3 4

个单位所得图像的函数表达式为 _____

7 y ? 3cos( x ? ? ) 12

5? 思考:函数y = sin2x图像向右平移 12 个

单位所得图像的函数表达式为______

5 y ? sin(2 x ? ? ) 6

2. y=sin? x 与 y=sinx图象的关系 1x y ? sin y ? sin 2 x 例2.作函数 及 2 的图象。 ? 3? ? 1.列表: 2x 0 2? 2 2 ? ? 3? x ? 0 2 4
4

sin 2 x

0

1

0

?1

0

2. 描点:
y=sin2x

2 y 1 O

y=sinx
? 2
?

纵坐标不变

缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2? 3?

,横坐标 y=sin2x

x

?1
?2

1 对于函数 y ? sin x 2 1. 列表: ? 1 0 x
2

2

?
2?
0

3? 2



x sin 1 x 2

0
0

?
1

3?
-1

4?
0

2. 描点:
y y=sinx 1

y=sinx

纵坐标不变, 横坐标 变为原来的 2? 2倍

y=

1 sin 2 x

O ?1

?

3? y=sin 1 x 2

4?

的图象间的变化关系。
y
2

1 y ? sin x 与 y ? sinx 函数 y ? sin2 x 、 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

二、函数y=sin?x(?>0)的图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看

作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

1 例3、作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
解: 列表
x
sinx 2sinx
1 2

3.y=Asinx与y=sinx图象的关系

描点作图
?
2

0
0 0 0

π
0 0 0

3? 2



y

2 1
? 2

1 2
1 2

-1 -2
? 1 2

0 0 0

3? 2
0



π

x

sinx

-1

-2

y ? sin x
y=Sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y ? 1 sin x 2
y=2Sinx

纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变

1 函数 y ? 2 sin x 、y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

三、函数y=Asinx(A>0)的图象
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作

是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1
时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。

例4、如何由

y ? sinx 的图像变换得到 ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象? 3

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 12 2
3

?
5? ?6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

P53 例1

如何由y ? sin x的图像得到y ? A sin(? x ? ? )
1 、 先平移变化,再周期变化 , 最后振幅变 化

y ? sin x

平移

? 个单位

y ? sin(x ? ? )
横坐标变为 原来的

1

?



y ? A sin(?x ? ? )

y ? sin( ? x ? ? ) 原来的 A 倍
纵坐标变为

y ? A sin( ?x ? ? ) 2 、 先周期变化,再平移变化,最后振幅变


y ? sin x

横坐标变为 原来的 1 倍

y ? sin ?x
? 个单位 ?

?

平移

y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标变为 原来的 A 倍

? ? ? ?? y ? sin ?? ? x ? ?? ? ?? ? ?

函数 y ? A sin(?x ? ? ) 中,


A称为振幅, )

1 f ? )称为频率, ( T

2? 称为周期, (T ? | ?) |

称为相位, ?x ? ? ( )



?) 称为初相

三、课堂小结
1、在函数y ? A sin(? x ? ? )中, 2? A叫做振幅; 是这个函数的周期;?叫做初相。

?

2.(1) y ? sin x ???? ? y ? A sin x
振幅变换

(2) y ? sin x ???? ? y ? sin ? x 相位变换 (3) y ? sin x ???? ? y ? sin( x ? ? )
周期变换

? 3. () 1 y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) ? ? (2) y ? sin x ? y ? sin ? x ? y ? sin(? x ? ? )


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