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2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(8)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1. 已知函数 y ? sin 2 x ,则有最小正周期 2. 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小
2 2

值的和是 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6

b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的三 点是
2 1, 2 ,并 4. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

且 m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为__________个 5. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x ?R) , 且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有 个 .

6. 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 S5 ? 10 , 则公差为 S10 ? ?5 ,

1) ,它的反函数的图象经过点 7. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2,
(2, 8) ,则 a ? b 等于
y 8. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足

2 x2 ? x ?1 f( 2 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 x 的取值范围 x ? 2x ? 1
为 .

O

1

x

9. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? 为
2

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积 3

.
2

10. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
- 8-1 -

有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 11. 若 z ? C , arg( z ? 4) ?
2

.

5? ? , arg( z 2 ? 4) ? , 则求 z 的值。 6 3

12. 在非直角 ?ABC 中,边长 a, b, c 满足 a ? c ? ?b (? ? 1) . (1)证明: tan

A C ? ?1 tan ? ; 2 2 ? ?1

(2)是否存在函数 f (? ) ,使得对于一切满足条件的 ? ,代数式

cos A ? cos C ? f (? ) 恒为 f (? ) cos A cos C

定值?若存在,请给出一个满足条件的 f (? ) ,并证明之;若不存在,请给出一个理由.

- 8-2 -

13. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

- 8-3 -

14. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论.

- 8-4 -

2007 年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y ? sin 2 x ,则( B ). (A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 解: y ? sin x ?
2

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

? 2

1 (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 故选(B) . 2
2 2

2.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小 值的和是( C ). (A) 2
2

(B) 1
2

(C) 0

(D) ? 1

解:方程 x ? ax ? 20a ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式

x2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即
? 1 ? a ? 1 . 故选(C) . ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线
的三点是( A ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D

解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2 AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A) .
2 1, 2 ,并 4. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

?

?

且 m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( C ) (A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个 (D) 120 个

解:由 6 ? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ? 1 ?

? 7 ? 6 ? 10 ,故
(1) 由 3 ? 2 ? 1 知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ? 10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种.
- 8-5 -

于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C) . 5. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007( x ?R) , 且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有( D ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个

解:由题设知 f ( x ) 为偶函数,则考虑在 ? 1 ? x ? 1 时,恒有

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2007) ? 2008 ? 2007 .
所以当 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ? 1 ? 1时,恒有 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) .
2

由于不等式 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 的解集为
2

3? 5 3? 5 ,不等式 ?a? 2 2

? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2 .因此当
. f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) . 故选(D)

3? 5 ? a ? 2 时,恒有 2

6.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d . 由题设得 ?

d ? ?1 .

?a1 ? 2d ? 2, ?5a1 ? 10d ? 10, 即 ? 解之得 d ? ?1 . ?10a1 ? 45d ? ?5, ?2a1 ? 9d ? ?1,

1) ,它的反函数的图象经过点 7. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2,
(2, 8) ,则 a ? b 等于
解:由题设知 ?

4

.

? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 化简得 ? 2 ?log a (8 ? b) ? 2, ? (8 ? b) ? a .

解之得 ?

? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, (舍去). ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.
- 8-6 -

故 a ? b 等于 4.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 8.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f ( 2 x ? 2x ? 1

x 的取值范围为

x ? [? 2 , 1 ).
y

O

1

x

2 解: 因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x ? 3) ? 11 ? lg11 ? 1,所以 2

?

?

?

(第 9 题)

?

f[lg(x2-6x+20)]<0. 于是,由图象可知,

2x ?1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, 1) .
9.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

S?ABC ? 8 3 ? 6 2 .
解:在 ?ABC 中,由 tan B ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ?

AC ? sin C ?8. sin B

因为 arcsin

1 2 2 ? 60? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 3 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
S?ABC ? AC ? AB sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2
2

2 3 .故 ? 3 6

10. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
2

有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ?

1 1 ?a?0 或 ? a ?1 . 2 2

2 2 解:由 a ? a 得 0 ? a ? 1 .由 x ? 4ax ? 1 ? 0 对于任何 x ?R 成立,得

- 8-7 -

? ? 16a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?

1 1 ? a ? .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 2 2 1 1 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 ? a ? 1 . 2 2 5? ? , arg( z 2 ? 4) ? , 则求 z 的值。 6 3

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 11. 若 z ? C , arg( z ? 4) ?
2

【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数 z 的模,继而求出复数;也可由几何意义 入手来求复数 z. 【略解】令 z ? 4 ? ?1 (cos
2

z 2 ? 4 ? ? 2 (cos

?

5? 5? ? i sin ), 6 6

① ②

? i sin ), 3 3

?

( ?1 ? 0, ? 2 ? 0)
①—②得 8 ? (

1 3 3 1 ?2 ? ?1 ) ? i( ? 2 ? ?1 ), 2 2 2 2

? 3 1 ? 2 ? ?1 ? 0, ? ? 2 解得 ? 2 ? 4, ?1 ? 4 3 代入后, ?? 2 1 3 ? ? ? ?1 ? 8, 2 ? 2 ?2
①+②得 2z 2 ? 4(?1 ? 3i), ? z ? ?2(cos 【别解】如图 I—1—8—2, OD ? z .
2

?

? i sin ) ? ?(1 ? 3i ). 3 3

?

过 D 作与实轴平行的直线 AB,取 AD=BD=4,

- 8-8 -

则OA ? z 2 ? 4, ?xOA ?

OB ? z 2 ? 4.

5? ? , ?xOB ? . 6 3

从而?BOA ?

. 2 在Rt?AOB中, | AD |?| DB |?| OD |? 4, ?xOD ? ?xOB ? ?BOD ? 2?xOB ? 2? , 3

?

? z 2 ? 4(cos

2? 2? ? i sin ), 3 3

? z ? ?2(cos ? i sin ) 3 3 ? ?(1 ? 3i )
【评述】本题的两种解法中,前者应用了复数的三角形式;后者应用了复数的几何意义, 数形结合,形象直观. 12. 在非直角 ?ABC 中,边长 a, b, c 满足 a ? c ? ?b (? ? 1) . (1) 证明: tan

?

?

A C ? ?1 tan ? ; 2 2 ? ?1

(2) 是 否 存 在 函 数 f (? ) , 使 得 对 于 一 切 满 足 条 件 的 ? , 代 数 式

cos A ? cos C ? f (? ) 恒为定值?若存在,请给出一个满足条件的 f (? ) ,并证明之;若 f (? ) cos A cos C
不存在,请给出一个理由. (2004年河南省高中数学联赛预赛 ) 分析 (1)化边为角进行三角式的变形; (2)运用结构特征构造函数. 证明 (1)由 a ? c ? ?b 得 sin A ? sin C ? ? sin B ,和差化积得

A?C A?C B B cos ? 2? sin cos 2 2 2 2 A?C ? B A?C A?C ? ? ,所以有 cos ? ? cos 因为 , 2 2 2 2 2 A C A C 展开整理得 (1 ? ? ) sin sin ? (? ? 1) cos cos , 2 2 2 2 A C ? ?1 故 tan tan ? . 2 2 ? ?1 (2)从要为定值的三角式的结构特征分析,寻求 cos A ? cos C 与 cos A cos C 之间的关系. 2sin
- 8-9 -

由 tan

A C ? ?1 1 ? cos A 1 ? cos C (? ? 1)2 tan ? 及半角公式得 , ? ? 2 2 ? ?1 1 ? cos A 1 ? cos C (? ? 1)2

对其展开整理得

4? ? 2(? 2 ? 1)(cos A ? cos C) ? ?4? cos A cos C

2 4? ? 2?( ? 1 )A (? c o s C c o s ? ?4? , c oA s c Co s

)

2? 2? cos A ? cos C ? 2 2 2 ? ? ? 1 ? ?1 ? ?1 ? 即 ,即 2 2 ? cos A cos C ? ?1 ? 2 cos A cos C ? ?1 2? 与原三角式作比较可知 f (? ) 存在且 f (? ) ? ? 2 . ? ?1

cos A ? cos C ?

13.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 . 解:由题设, an? 2 ? an ? 2 ,则

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2 ? 2 ? ? ? a1 ? 2 ?1003 ? 2007 .


………5 分

an?2 ? an ? 2 ,得 an ? an?2 ? 2 ,则 an?3 ? an ? 3 ? an?2 ? 2 ? 3 ? an?2 ? 1 (n ? 1) .
………………10 分

于是

a2007 ? a2006 ? 1 ? a2005 ? 1? 2 ? a2002 ? 3 ? 1? 2 ? a1999 ? 3? 2 ? 1? 2 ? ? ? a1 ? 3? 668 ? 1? 2 ? 2007 ,

所以 a2007=2007. 易知数列 a1 ? 1 , a2 ? 2 , ? , an ? n 符合本题要求. ………………15 分 注意:猜得答案 an ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分. 14.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直 线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论.
- 8-10 -

A1

A 2 Ak B m
10

B2 B1

解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下: 如图,先作直线 l0 ,设第 i 个圆在直线 l0 上的正投影是线段 Ai Bi ,其中 Ai 、 Bi 分别 是 线 段 的 左 右 端 点 . 10 个 圆 有 10 个 投 影 线 段 , 有 10 个 左 端 点 , 有 10 个 右 端 点. ………………5 分

因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的 左端点,则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两 个圆相交矛盾. ………………10 分

再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线 段 Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与

10 个圆都相交.

………………15 分

- 8-11 -


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