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2015届高二上期中考试数学文


黄冈中学 2015 届高二(上)期中考试数学(文)试题
命题:胡华川 审题:熊斌 校对: 卢丹

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,请将正确

选项的代号填入答题卡的相应位置. ) 1.下列说法中正确的是( )

A.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 B.一组数据不可能有两个众数 C.一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据 D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动程度越大 2.下列关于随机抽样的说法不正确 的是( ... )

A.简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样 B.系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等 C.有 2008 个零件,先用随机数表法剔除 8 个,再用系统抽样方法抽取抽取 20 个作为样本,每 个零件入选样本的概率都为

1 2000

D.当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样 3.从一批产品中取出三件产品,设 A ? { 三件产品全是正品 } , B ? { 三件产品全是次品 } ,

C ? { 三件产品不全是次品 } ,则下列结论不正确 的是( ...



A. A 与 B 互斥且为对立事件 B.B 与 C 为对立事件 C. A 与 C 存在着包含关系 D. A 与 C 不是互斥事件 4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 4 23 2 13 3 20 5 32 )

? 为 6,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
A.36.6 万元 B.36.8 万元
2 2 2

C.37 万元

D.37.2 万元

5.如右图是计算 t ? 1 ? 2 ??? i 的程序,程序中循环体执行的次数 为( A.3 ) B.4 C .5 D.6

6.若直线 l:y=kx- 3与直线 x+y-3=0 的交点位于第一象限, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A. (

? ?

, ] 6 2

B. [

? ?

, ) 6 2

C. [

? ?

, ) 3 2

D. (

? ? , ) 6 2

i=0 t=1 DO i=i+1 t=t*i^2 LOOP UNTIL t>100 PRINT t END

7. 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制, 采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计数符号, 这些符号与十进制数的对应关系如下表:

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十 六 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C 进 制 十 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 进 制 例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A× C (“×”表示通常的乘法运算)等于( A.78 B.77 C.7A D.7B

D

E

F

13

14 )

15

8.已知直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 ,圆 M : x2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? 0 ,则直线 l 和圆 M 在同一坐标系中 的图形可能是( y ) y y y

O

O

O

O

x

x

x

x

A

B

C
)

D

9. 同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率等于( 1 1 3 1 A. B. C. D. 4 3 8 2

10.设 m, n ? R ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切,则 mn 的取 值范围是( ) B. (??,1 ? 2] ? [1 ? 2, ??) D. (??,3 ? 2 2] ? [3 ? 2 2, ??)

A. [1 ? 2,1 ? 2] C. [3 ? 2 2,3 ? 2 2]

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置.) 11.圆 C1: x
2

? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C2: ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 9 的公切线有_______条.

12.若数据组 k1 , k2 ,?, k8 的平均数为 3,方差为 3,则 2(k1 ? 3), 2(k2 ? 3),?, 2(k8 ? 3) 的平均数 为 ________ ,方差为 ________ . 13.用更相减损术或辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数为__________ 14.如果事件 A 与事件 B 是互斥事件,事件 B 发生的概率是 则事件 A 发生的概率是_________. 15. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 与直线 l : 2 x ? y ? c ? 0 相交, 且在圆 C 上恰有 2 个点到直线 l 距离为 1,则直线 l 被圆 C 截得的弦的长度取值范围为__________.
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新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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1 1 ,事件 A ? B 发生的概率是 , 3 2

16.已知 f ( x) ? x5 ? 2 x3 ? 3x2 ? x ? 1 ,应用秦九韶算法计算 x ? 3 时

f ( x) 的值时, v 3 的值为 ________ .

17 .如右图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框 2 4 6 2014

图,则判断框内应填入的条件是 ________ .

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤.) 18. (本小题 12 分)已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : ( m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 , 求当 m 为何值时, l1 与 l2 : (I)平行; (Ⅱ )垂直.

2 2 19. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4b , a, b ? R , 若 a 从集合 ?3,4,5? 中任取一个元素,

b 从集合 ?1,2,3? 中任取一个元素,代入 f ( x) 中形成函数. (Ⅰ )试列出所有的 a 与 b 的组合;
(Ⅱ )求方程 f ( x) ? 0 有两个不相等实根的概率.

20. (本小题 12 分)下列程序的输出结果构成了数列 {an } 的前 10 项.试根据该程序给出的数列关系, (I)求数列的第 3 项 a 3 和第 4 项 a 4 ; (Ⅱ )写出该数列的递推公式,并求出其通项公式 a n .

B=0 i ?1 DO A=B B=2*A+1 i ? i ?1 PRINT B LOOP UNTIL i ? 10 END (第 20 题程序)

第 3 页 共 4 页

21. (本小题 14 分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程 度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(Ⅰ )求分数在[50,60)的频率及全班人数; (Ⅱ )求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (Ⅲ )试用此频率分布直方图估计这组数据的众数和平均数.

22. (本小题 15 分)圆 M 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,?1) , (I)试求圆 M 的方程; (Ⅱ )从点 C (3,1) 发出的光线经直线 y ? x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在直线的斜 率取值范围; y 2 2 (Ⅲ )圆 D 是以 2 为半径,圆心在圆 M ' : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 18 D P 上移动的动圆 ,若圆 D 上任意一点 P 分别作圆 M 的两条
O

切线 PE , PF ,切点为 E , F ,求四边形 PEMF 的面积的取值 范围 .

E

x F

M

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期中考试数学(文)参考答案
1.答案:D 解析:一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间,所以 A 错;众 数是一组数据中出现最多的数据,所以可以不止一个,B 错;若一组数据的个数有偶数个,则 其中中位数是中间两个数的平均值,所以不一定是这组数据中的某个数据,C 错;一组数据的 方差越大,说明这组数据的波动越大,D 对. 2. 【答案】C 解析: C 选项中每个零件入选的概率应该 3. 【答案】A 解析:AB 互斥但是不对立。

1 。 2008

?, a ? ? 1, ? 4. 【答案】C 解析:由题意可知 x ? 3.5, y ? 22 ,则 22 ? 6 ? 3.5 ? a y ? 6 ? 6 ?1 ? 37 。
5. 【答案】B 解析:此程序是计算 t ? (1? 2 ??i)2 ? 100 第一次成立时,对应的 i ? 4 。

?x ? ?y=kx- 3, 1? k 6. 【答案】D 解析:由? 解得 ? ? ?x+y-3=0, 3k ? 3 ? y? ? 1? k ?
?x>0, ? ? ? 3 ∵两直线交点在第一象限,∴? 解得 k ? ,∴直线 l 的倾斜角的范围是 ( , ) . ? ?y>0, 6 2 3 另解:数形结合从图形中很容易看出来。 7. 【答案】A 解析:在十进制中,A×C=10×112=120.∵120=16×7+8, ∴在十六进制中 A×C=78. 8. 【答案】C 解析:由圆的方程易知圆的图象过原点,排除 D;A 选项中圆心在 y 轴上,

?

3? 3

得a ? 0, 所以直线应平行于 x 轴, 排除 A;BC 中的圆心都在第一象限, 故 a , b 都大于 0 , 所 以 直 线 l 的 斜 率 k? ?

a b

0 ? , 圆 心 (a b , 到 ) 直 线 的 距 离 l :

d?

| a 2 ? b2 ? 1| a ?b
2 2

? a 2 ? b2 ,所以直线和圆相离,故选 C。

9. 【答案】C 解析:共 23=8 种情况,符合要求的有(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)3 3 种,∴P= . 8 10 . 【答案】D 解 析 : 圆 心 为 (1,1) , 半 径 为 1. 直 线 与 圆 相 切 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 满 足

( | m ? 1) ? (n ? 1) ? 2 | (m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2
m ? n ? mn ? 1即得 (

1 ?mn , 而 在 m, n ? R 时 ( ?1 , 即 m? n?

m?n 2 ) ? mn , 代 入 2

mn ? 1 2 ) ? mn ,解得 mn 的范围是 (??,3 ? 2 2] ? [3 ? 2 2, ??) 2

11. 【答案】3 解析:C1( -2,2 ),r1=2,C2(2,5),r2=3,|C1C2|= ?-2-2?2+?2-5?2=5, |C1C2| ? r1+r2,圆 C1 与圆 C2 外切。 12. 【答案】12 ,12 解析:依公式可以求得。
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13. 【答案】51 解析:略

1 解析: 事件 A 与事件 B 互斥时, P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ,直接计算即知。 6 15. 【答案】 (0, 2 3) 解析:若圆上恰有 3 点到直线的距离为 1,则圆心到直线的距离 d ? 2 ? 1 ,
14. 【答案】 此时直线被圆截得的弦长为 2 3 ,又直线与圆相交,所以弦长的范围是 (0, 2 3) 。

16. 【答案】24 解析: f ( x) ? 1 ? x(?1 ? x(3 ? x(?2 ? x(0 ? x))))) , v1 ? 3, v2 ? 7, v3 ? 24 。

17. 【答案】 i≤1007 或 i<1008 解析: 依题意得, ?

1 2

1 1 1 1 ? ??? 可视为数列{ }的前 1007 2 n 4 6 2014

项的和,因此结合程序框图可知,判断框内应填入的条件是 i≤1007。 18.解: (I)由 1 ? 3 ? m ? ( m ? 2) ? 0 得:m = – 1 或 m = 3 当 m = – 1 时,l1: x ? y ? 6 ? 0 ,l2: ?3x ? 3 y ? 2 ? 0 ,即 3x ? 3 y ? 2 ? 0

1 ?1 6 ∴ l1∥l2 ? ? 3 ?3 2 当 m = 3 时,l1: x ? 3 y ? 6 ? 0 ,l2: x ? 3 y ? 6 ? 0 ,此时 l1 与 l2 重合
∵ ∴ m = – 1 时,l1 与 l2 平行 (Ⅱ)由 1 ? ( m ? 2) ? m ? 3 ? 0 得: m ? ………………6 分

1 1 ,∴ m ? 时,l1 与 l2 垂直 …………………12 分 2 2

19.解: (Ⅰ)∵ a 取集合 ?3, 4,5? 中任一个元素, b 取集合{1,2,3}中任一个元素, ∴ a , b 的取值的情况有(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3) ,(5,1),(5,2),(5,3).其中第一个 数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值。………………4 分 (Ⅱ)设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a > 0,b > 0 时,方程 f ( x) ? 0 有两个不相等实根的充要条件为 a>2b. 当 a>2b 时,a,b 取值的情况有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2), 即 A 包含的基本事件数为 4,而基本事件总数为 9. ∴方程 f ( x) ? 0 有两个不相等实根的概率 p( A) ?

4 ………………12 分 9

20.解: (I)依题意有 a3 ? 7 , a4 ? 15 ;

…………………4 分

(Ⅱ)由此得到的数列的递推公式为: a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 1 ,用待定系数法可得 an ? 2n ? 1 (第二问 8 分,答案不对酌情给分) 21.解析: (Ⅰ)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25. …………4 分 0.08 (Ⅱ)分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4,
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4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.016. 25 (Ⅲ)分数在[60,70)之间的频率为:

…………8 分

7 10 ;分数在[70,80)之间的频率为: ; 25 25 2 分数在[90,100)之间的频率为: , …………10 分 25
所以分数在[70,80)之间对应的矩形最高,这组数据的众数为 75。…………12 分 平均数为: 55 ?

2 7 10 4 2 ? 65 ? ? 75 ? ? 85 ? ? 95 ? ? 73.8 …………14 分 25 25 25 25 25 22.解: (I)由题意知:过 A(2,-1)且与直线 x ? y ? 1 垂直的 直线方程为: y ? x ? 3 ,∵ 圆心在直线:y=-2x 上,
y ? ?2 x ? ? x ? 1 即 M (1, ?2) ,且半径 r ? AO ? (2 ?1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2 , ∴ 由 ? 1 ? ? ? y ? ?2 ?y ? x ?3 ∴ 所求圆的方程为: ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .………………………………5 分

(Ⅱ)圆 C 关于直线 y ? x 对称的圆为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,设发出光线为 y ? 1 ? k ( x ? 3) 化简得 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,由 2 ?

| ?2k ? 1 ? 3k ? 1| 1? k
2

得k ? ?

46 , 23

所以发出光线所在直线的斜率取值范围为 [?
2

46 46 , ] 。……………………10 分 23 23
2

(Ⅲ) 动圆 D 是圆心在定圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 18 上移动,半径为 2 的圆 在四边形 PEMF 中,

S PEMF ? 2S?PEM ?| PE |?r ? 2 | PE |? 2 ? | PC1 |2 ?(r ) 2 ? 2 ? | PC1 |2 ?2 ,
由圆的几何性质得,
DM ? r ? PM1 ? DM ? r ,即 2 2 ? PM ? 4 2 ,
E
2 故 6 ? | PM | ?2 ?

y

P D P x O F

30 ,
C1

所 以 四 边 形

P E M的F 面 积 范 围 为

[2 3, 2 15] . …………15 分

第 7 页 共 4 页


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