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【湘教考】2016届高三数学(文)一轮复习课时达标:1.1集合的概念与运算


一、选择题 1.已知集合 A={0,1,2,3},集合 B={(x,y)|x∈A,y∈A,x≠y,x+y∈A},则 B 中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10

【解析】当 x=0 时,y=1,2,3; 当 x=1 时,y=0,2; 当 x=2 时,y=0,1; 当 x=3 时,y=0.共有 8 个元素. 【答案】C 2.(2014· 江西

高三联考)若集合 P={x|3<x≤22},非空集合 Q= {x|2a+1≤x<3a-5}, 则能使 Q?(P∩Q)成立的所有实数 a 的取值范 围为( ) A.(1,9) B.[1,9] C.[6,9) D.(6,9] ?2a+1<3a-5, 【解析】 依题意,P∩Q=Q,Q?P,于是?2a+1>3,

?

? ?3a-5≤22,

解得 6<a≤9,即实数 a 的取值范围是(6,9],选 D. 【答案】 D 3.已知集合 A={x|x=a+b 3,a,b∈Z},x1,x2∈A,则下列 结论不正确的是( ) A.x1+x2∈A B.x1-x2∈A

C.x1x2∈A

x1 D.当 x2≠0 时,x ∈A
2

【解析】 由于 x1,x2∈A, 故设 x1=a1+b1 3,x2=a2+b2 3,a1,a2,b1,b2∈Z, 则 x1±x2=(a1±a2)+(b1±b2) 3, 由于 a1,a2,b1,b2∈Z,故 a1±a2,b1±b2∈Z, ∴x1+x2∈A,x1-x2∈A; x1x2=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1) 3, 由于 a1,a2,b1,b2∈Z, 故 a1a2+3b1b2,a1b2+a2b1∈Z,∴x1x2∈A; x1 a1+b1 3 a1a2-3b1b2 a2b1-a1b2 由于x = = 2 + 2 3, a2-3b2 a2-3b2 a2+b2 3 2 2 2 a1a2-3b1b2 a2b1-a1b2 但这里 2 , 2 都不一定是整数, a2-3b2 a2-3b2 2 2 如设 x1=1+ 3,x2=3- 3, x1 1+ 3 (1+ 3)(3- 3) 2 3 则x = = = , 3- 3 (3- 3)(3+ 3) 9-3 2 x1 故当 x2≠0 时,x 不一定是集合 A 中的元素. 2 【答案】 D 1 4. (2013· 佛山质检)已知非空集合 M 满足: 若 x∈M, 则 ∈M, 1-x 则当 4∈M 时,集合 M 的所有元素之积等于( ) A.0 B .1 C.-1 D.不确定 1 1 1 【解析】 依题意, 当 4∈M 时, 有 =-3∈M, 从而 ? 1? 1-4 1-?-3? ? ? 3 1 1 3 =4∈M, 3=4∈M,于是集合 M 的元素只有 4,-3,4,所有元 1-4 ? 1? 3 素之积等于 4×?-3?×4=-1.故选 C. ? ? 【答案】 C ? ?9 ?? 5 .已 知 U = ?x∈Zy=ln?x -1?? , M = {x∈Z||x - 4|≤1} , N = ? ? ?? 6 ? ? ?x∈N ∈Z?,则集合{4,5}=( ) x ? ? A.M∩N B.M∩(?UN) C.N∩(?UM) D.(?UM)∪(?UN)

?9 ? 【解析】 集合 U 为函数 y=ln? x-1?的定义域内的整数集, ? ?

9 9x 由x-1>0,即 x >0,解得 0<x<9, 又 x∈Z,所以 x 可取 1,2,3,4,5,6,7,8, 故 U={1,2,3,4,5,6,7,8}. 集合 M 为满足不等式|x-4|≤1 的整数集, 解|x-4|≤1,得 3≤x≤5, 又 x∈Z,所以 x 可取 3,4,5,故 M={3,4,5}. 6 集合 N 是使x为整数的自然数集合, 6 6 显然当 x=1 时,x=6;当 x=2 时,x=3; 6 6 当 x=3 时,x =2;当 x=6 时, x=1. 所以 N={1,2,3,6}.显然 M?U,N?U. 而 4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N, 所以 4∈M,4∈?UN,5∈M,5∈?UN, 即{4,5}=M∩(?UN). 【答案】 B 6.对于复数 a,b,c,d,已知集合 S={a,b,c,d}具有性质: ?a=1,

2 “对任意 x,y∈S,必有 xy∈S”,若?b =a, 那么下列判断正确的

?

? ?c2=b,

是(

) A.a+b>c+d B.a+b=c+d C.a+b<c+d D.a+b 与 c+d 的大小无法确定 【解析】 由 b2=1 得 b=± 1,则 c4=b2=1,得 c=± 1 或 c=± i, ∵a=1,∴b≠1,∴b=-1,a+b=0,∴c≠± 1, 若 c=i,则 bc=-i∈S,∴d=-i,即 c+d=0; 若 c=-i,则 bc=i∈S,∴d=i,即 c+d=0,又 a+b=0,∴ 选 B. 【答案】 B 二、填空题 7. (2014· 安徽模拟)设 A 是自然数集的一个非空子集, 对于 k∈A, 2 如果 k ?A,且 k?A,那么 k 是 A 的一个“酷元”,给定 S={x∈N|y

=lg(36-x2)},设 M?S,且集合 M 中的两个元素都是“酷元”,那 么这样的集合 M 有________个. 【解析】 由 36-x2>0,解得-6<x<6. 又因为 x∈N,所以 S={0,1,2,3,4,5}. 依题意,可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k2 与 k都不属于集 合 M.显然 k=0,1 都不是“酷元”. 若 k=2,则 k2=4;若 k=4,则 k=2. 所以 2 与 4 不同时在集合 M 中,才能成为“酷元”. 显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”. 综上,若集合 M 中的两个元素都是“酷元”, 则这两个元素的选择可分为两类: (1)只选 3 与 5,即 M={3,5}; (2)从 3 与 5 中任选一个,从 2 与 4 中任选一个,即 M={3,2} 或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合 M 共有 5 个. 【答案】 5 8.(2015· 原创题)已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)||x| +|y|=λ},若 A∩B≠?,则实数 λ 的取值范围是________. 【解析】 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上点的集合,集合 B 表示菱 形|x|+|y|=λ 上点的集合,由 λ=|x|+|y|≥0 知 λ 表示直线在 y 轴正半 轴上的截距,如图,若 A∩B≠?,则 1≤λ≤ 2.

【答案】 [1, 2] 9.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 “类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如 下四个结论: ①2 014∈[4]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整 数 a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的序号是________. 【解析】 因为 2 014=402×5+4,又因为[4]={5n+4|n∈Z}, 所以 2 014∈[4],故①正确; 因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确; 因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余数为 0,1,2,3,4,所以③ 正确;

若 a,b 属于同一“类”,则有 a=5n1+k,b=5n2+k, 所以 a-b=5(n1-n2)∈[0], 反过来,如果 a-b∈[0], 也可以得到 a,b 属于同一“类”,故④正确. 【答案】 ①③④ ? ?m ? ?, 10.设集合 A=?(x,y)? 2 ≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R B ? ? ? ={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若 A∩B≠?,则实数 m 的 取值范围是________. 【解析】 ①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1 |2-2m-1| 或直线 x+y=2m 与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,从而 ≤|m| 2 |2-2m| 2- 2 或 ≤|m|,解得 2 ≤m≤2+ 2,与 m<0 矛盾; 2 ②若 m=0,代入验证,可知不符合题意; m 1 ③若 m>0,则当 2 ≤m2,即 m≥2时,集合 A 表示一个环形区域, 集合 B 表示一个带形区域,从而当直线 x+y=2m+1 与 x+y=2m 中 |2-2m| 至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,即符合题意,从而有 2 |2-2m-1| 2- 2 1 2- 2 ≤|m|或 ≤|m|,解得 2 ≤m≤2+ 2,由于2> 2 ,所 2 1 以2≤m≤2+ 2. ?1 ? 综上所述,m 的取值范围是?2,2+ 2?. ? ? ?1 ? 【答案】 ?2,2+ 2? ? ? 三、解答题 11.(2013· 安徽名校联考)已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|x2+ ax-6<0},C={x|x2-2x-15<0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)是否存在 a 的值使得 A∪B=B∩C?若存在,求出 a 的值;若 不存在,请说明理由. 【解析】 A={x|-1<x<3},C={x|-3<x<5}. (1)由 A∪B=B 知,A?B, ?f(-1)=(-1)2-a-6≤0, ? 2 令 f(x)=x +ax-6,则? 2 ? ?f(3)=3 +3a-6≤0,

解得-5≤a≤-1,即 a 的取值范围是[-5,-1]. (2)假设存在 a 的值使得 A∪B=B∩C, 由 A∪B=B∩C?B 知 A?B, 由 A∪B=B∩C?C 知 B?C,于是 A?B?C, 由(1)知若 A?B,则 a∈[-5,-1], 当 B?C 时,由Δ=a2+24>0,知 B 不可能是空集, f(-3)=(-3)2-3a-6≥0,

?f(5)=5 +5a-6≥0, 于是? a - 3< - ? 2<5,
2 2

? 19 ? 解得 a∈?- 5 ,1?, ? ?

? 19 ? 综合 a∈[-5,-1]知存在 a∈?- 5 ,1?满足条件. ? ?

12.设集合 A={(x,y)|ay -x-1=0}, B={(x,y)|4x2+2x-2y+ 5=0}, C={(x,y)|y=kx+b}. (1)当 a=0 时,求 A∩B; (2)当 a=1 时,问是否存在正整数 k 和 b,使得(A∩C)∪(B∩C) =??若存在,求出 k,b 的值;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)a=0,则 A={(x,y)|x=-1,y∈R}, ?x=-1, ?x=-1, ? 由方程组? 2 解得? 7 ? ?4x +2x-2y+5=0, ?y=2. 7?? ?? 即 A∩B=??-1,2??. ?? ?? (2)a=1,则 A 中方程为 y2-x-1=0, ∵A、B、C 都是非空集合, 由已知必有 A∩C=?,且 B∩C=?, ?y2=x+1, ?4x2+2x-2y+5=0, ? ? 即方程组? 和方程组? 均无解, ? ? ?y=kx+b, ?y=kx+b, 消去 y 整理得 k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0(k≠0),① 和 4x2+2(1-k)x-2b+5=0,② 所以由①得Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)=4k2-4kb+1<0,③ 由②得Δ2=4(1-k)2-16(5-2b)=4×(k2-2k+8b-19)<0,④ 从而Δ3=16b2-16>0,且Δ4=4-4(8b-19)>0, 5 ∴b2>1 且 b<2成立,又 b 为正整数,∴b=2, 2- 3 2+ 3 此时 4k2-8k+1<0,且 k2-2k-3<0,由此得 2 <k< 2 , 又 k 为正整数,∴k=1,

所以存在这样的 k,b,使得(A∩C)∪(B∩C)=?,且 b=2,k= 1. 13.已知集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0}, C={x|x2+2x-8=0},是否存在实数 a,使得 A∩C=?和?? A∩B 同 时成立?若存在,求出 a 值;若不存在,说明理由. 【解析】 由已知可求得 B={2,3},C={2,-4}. 假设存在 a 使得 A∩C=?和?? A∩B, 则由 A∩C=?知, 2 和-4 都不是方程 x2-ax+a2-19=0 的根. 由 ?? A∩B,知 A∩B≠?, ∴x=3 是方程 x2-ax+a2-19=0 的根, 即 9-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,可求得 A={2,3}, 此时 A∩C={2},这与 A∩C=?矛盾,∴a=5 舍去. 当 a=-2 时,可求得 A={3,-5},满足 A∩C=?和?? A∩B. ∴存在 a 值,使得 A∩C=?和?? A∩B 同时成立,此时 a=-2.


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