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海南中学2010——2011学年第一学期期中考试高一数学试题(必修1)


海南中学2010——2011学年第一学期期中考试

高一数学试题(必修

1)
(考试时间:2010年11月;总分:100;总时量:120分钟)

第一卷(选择题, 36分 第一卷(选择题,共36分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,总分 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请将所选答案填涂在答题卡相应位置. ) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则 CU ( A I B) = A.{2,3} B. {1,5} C.{4,5} D.{1,4,5}

2.下列几个图形中,可以表示函数关系 y = f (x) 的那一个图是
y O y


y O

y O

x

O

x



x

x

A.

B.

C.

D.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. y = 1 与 y = x 0 C. y = x, y = 3 x 3 4.已知函数 f ( x) = ? A.
1 9
?log 2 x( x > 0) ?3 ( x ≤ 0)
x

B. y = x ? 1 与 y = ( x ? 1) 2 D. y =| x |, y = ( x ) 2 [来源:学。科。网]
1 ,则 f [ f ( )] 的值为 4

B.9

C. ? 9

D. ?

1 9

5.设 a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的是 错误的 ... A. log a 1 = 0 B. log a x 2 = 2 log a x C. log a a x = x D. log a a = 1

6.若函数 f(x)=x3+x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参 考数据如下表: 那么方程 x3+x2 ? 2x ? 2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为 x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 1.5 f(x) ?2 ? 0.984 ? 0.260 ? 0.052 0.165 0.625 A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 7.设 a = log 0.5 0.8 , b = log1.1 0.8 , c = 1.10.8 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系为 A. a < b < c B. b < a < c C. b < c < a D. a < c < b

8.已知 f(x)的定义域为 (0,+∞ ) ,若对任意 x1>0,x2>0,均有 f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2), 且 f(8)=3,则 f(2) = A.1 B.
1 2 3 4 1 4

C.

D.

9.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时, f ( x) = ? x + 1 ;则当 x < 0 时,f(x) 的解析式为 A. ? x + 1 B. ? x ? 1 C. x ? 1 D. x + 1

10.在一次教学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据: x ?2.0 ?1.0 1.00 2.00 3.00 0[来源: 学§科 §网] y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x, y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a, b 为待定系数) b B. y = a + bx C. y = a + log b x D. y = a ? b x A. y = a + x
2 11 . 设 函 数 f ( x) = log a x(a > 0, a ≠ 1) , 若 f ( x1 x2 L x2010 ) = 8 , 则 f ( x12 ) + f ( x2 ) +L 2 + f ( x2010 )

的值等于 A.4 B.8 C.16 D. 2 log a 8

12.已知 y = log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞)

第二卷(非选择题, 第二卷(非选择题,共 64 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空

13.函数 f ( x) =

4? x 的定义域为 x ?1

. .[来源:学_科_网]

14.若幂函数 f(x)的图像过点(2,8),则 f(3)=

15 .函数 f(x)= ax+1 ? a 在区间 [0,2] 上的函数值恒大于 0 ,则 a 的取值范围 是 .[来源:Zxxk.Com] 16.老师 给出一个函数 y=f(x),甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个性 质. 甲:对于 x ∈ R,都有 f(1+x)=f(1 ? x); 乙:f(x)在( ? ∝ ,0]上是减函数; 丙:f(x)在(0,+ ∝ )上是增函数;

丁:f(0)不是函数的最小值. 现已知其中恰有三个说得正确,则这个函数可能是 需写出一个这样的函数即可) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 48 分) 解答题 17. (本题满分 6 分)化简、求值. (Ⅰ) a 2 ? a 2 ? a ;
1 1

(只

(Ⅱ) ln

e + 2?1+log2 3 .

? x ? a <1 的解集为 A ,集合 B = (1,3) , 18. (本题满分 8 分)已知关于 x 不等式组 ? ?2 x ? a > 2 若 A ? B ,求 a 的取值范围.
4 19. (本题满分 8 分)探究函数 f ( x) = x + , x ∈ (0, + ∝) 的最小值,并确定相应的 x x 的值,列表如下: 1 1 3 8 x 1 2 4 8 16 … … 4 2 2 3 25 25 16.2 16.2 y 8.5 5 4 5 8.5 … … 5 5 6 6 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点,完成下列问题: f ( x2 ) (请填写“>, =, <”号) ;若函数 (Ⅰ)若 x1 x2 = 4 ,则 f ( x1 )
4 上递增; f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在 x (Ⅱ)当 x= 时, f ( x) = x + 4 ,(x>0)的最小值为 x 4 (Ⅲ)试用定义证明 f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减. x



20. (本题满分 8 分)已知函数 f ( x) = ?

x ∈ [1,4] ?log 2 x . 2 ?( x ? 5) + 1 x ∈ (4,7]

(Ⅰ)在给定的直角坐标系内画出 f (x) 的大致图象; (Ⅱ)求函数 g(x)=f(x) ?
3 的零点.[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 2

21. (本题满分 8 分)如图,有一块矩形空地,要在这块空地上辟一个内接四边形 为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知 AB=a(a>2) ,BC=2,且 AE=AH=CF=CG,设 AE=x,绿地面积为 y. G (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; D (Ⅱ)当 AE 为何值时,绿地面积最大?[来源:学*科*网]
H A E

C F

B

22. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) = log 4 (4 x + 1) ? (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由;

x . 2

(Ⅱ)若方程 f ( x) ? m = 0 有解,求 m 的取值范围; ( Ⅲ ) 若 函 数 g ( x) = log 4 [1 + 2 x + 3x + L + (n ? 1) x ? n x a ] , n ≥ 2, n ∈ N , 对 任 意
x ∈ (? ∝,1] 都有意义,求 a 的取值范围.

海南中学2010——2011学年第一学期期中考试

评分标准) 高一数学(评分标准)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中, 选择题 只有一项是符合题目要求的. ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 D A C A B C B C D D C B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题 13.函数 f ( x) =
4? x 的定义域为 x ?1
(? ∝,1) U (1, 4]

. .

14.若幂函数 f(x)的图像过点(2,8),则 f(3)=

27

15.函数 f(x)= ax+1 ? a 在区间[0,2]上的函数值恒大于 0,则 a 的取值范围是 -1<a<1 . 16.老师给出一个函数 y=f(x),甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个性 质.[来源:学&科&网] 甲:对于 x ∈ R,都有 f(1+x)=f(1 ? x); 乙:f(x)在( ? ∝ ,0]上是减函数; 丙:f(x)在(0,+ ∝ )上是增函数; 丁:f(0)不是函数的最小值. 现已知其中恰有三个说得正确,则这个函数可能是 y=|x-1| 或 2 y=a(x-1) +b,a>0 . (只需写出一个这样的函数即可) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 48 分) 解答题 17. (本题满分 6 分)化简、求值. (Ⅰ) a ? a ? a ;
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2

(Ⅱ) ln
1

e + 2?1+log2 3 .

17.解:(Ⅰ) a 2 ? a 2 ? a = (a 2 (a 2 ? a 2 ) 2 ) 2 = a 2 = a ; 分) 解 (3 (6 (Ⅱ) ln e + 2?1+ log 3 = + × 2log 3 = + = 2 . 分)
2 2

1 2

1 2

1 2

3 2

? x ? a <1 18. (本题满分 8 分)已知关于 x 不等式组 ? 的解集为 A ,集合 B = (1,3) , ?2 x ? a > 2 若 A ? B ,求 a 的取值范围.

? x < a +1 ? x ? a <1 ? a + 2 , 分) 18.解: 解 (1)由不等式组 ? 得? (2 ?2 x ? a > 2 ? x > 2 ?

当 a +1 ≤ 当 a +1 >

a+2 ,即 a ≤ 0 时 A = φ ,满足 A ? B ; 分) (4 2

?a +1 ≤ 3 a+2 ? ?a+2 ? ,即 a > 0 时 A = ? ,解得 , a + 1? , A ? B ,所以 ? a + 2 2 ? 2 ? ? 2 ≥1 ?

0 ≤ a ≤ 2 ,所以 0 < a ≤ 2 . 分) (7

综述上面情况, a 的取值范围是 a ≤ 2 . ………… 8 分
(注:如果漏空集未考虑, 扣 2 分)

4 19. (本题满分 8 分)探究函数 f ( x) = x + , x ∈ (0, + ∝) 的最小值,并确定相应的 x x 的值,列表如下: 1 1 3 8 x 1 2 4 8 16 … … 4 2 2 3 8. 5[ 来 25 25 源: 16.2 16.2 y 8.5 5 4 5 … … 5 5 学# 6 6 科# 网] 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点,完成下列问题: (Ⅰ)若 x1 x2 = 4 ,则 f ( x1 ) f ( x2 ) (请填写“>, =, <”号) ;若函数
4 上递增;[来源:学科网 ZXXK] f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0, 2)上递减,则在 x 4 (Ⅱ)当 x= 时, f ( x) = x + ,(x>0)的最小值为 ; x 4 (Ⅲ)试用定义证明 f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减. x

19、解:(Ⅰ) =,(2,+∞) (左端点可以闭) 解 (Ⅱ) x=2 时,ymin=4 4分
x1 = ( x1 ? x2 ) + 4x2 ? 4x1 = ( x1 ? x2 )( x1x2 ? 4) x1x2 x1x2

2分

(Ⅲ)设 0<x1<x2<2,则 f(x1)- f(x2)= ( x1 + 4 ) ? (x2 + 4 ) = ( x1 ? x2 ) + ( 4 ? 4 )
x2 x1 x2

6分

∵0<x1<x2<2 ∴x1-x2<0,0<x1x2<4 ∴x1x2-4<0 ∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x1)> f(x2) ∴f(x)在区间(0,2)上递减 8分
x ∈ [1,4] ?log 2 x . 2 ?( x ? 5) + 1 x ∈ (4,7]

20. (本题满分 8 分)已知函数 f ( x) = ?

(Ⅰ)在给定的直角坐标系内画出 f (x) 的图象; (Ⅱ)求函数 g(x)=f(x) ? 3 的零点. 2

20.解:(Ⅰ)图像如右上图所示,此题需突出(1,0),[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 解 (4,2), (5,1), (7,5)四个点,并保留作图痕迹; 分) (4
3 ,得 x = 2 2 (5 分) ; 2 3 2 (7 分) ; 当 4<x ≤ 7 时, ( x ? 5) 2 + 1 = ,得 x = 5 ± 2 2 3 2 2 故函数 g(x)=f(x) ? 的零点为 2 2,5 + ,5 ? (8 分) . 2 2 2

(Ⅱ)当 1 ≤ x ≤ 4 时, log 2 x =

21. (本题满分 8 分)如图,有一块矩形空地,要在 这块空地上辟一个内接四边形 为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知 AB=a(a>2) ,BC=2,且 AE=AH=CF=CG, 设 AE=x,绿地面积为 y. G D (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式, 并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)当 AE 为何值时,绿地面积最大?
H A E

C F

B

21.解: 解 (1)SΔAEH=SΔCFG= ?x > 0 ?a ? x > 0 ? 由? ?2 ? x ≥ 0 ?a > 2 ?

1 2 1 x ,SΔBEF=SΔDGH= (a-x)(2-x). ……1 分 2 2 ∴y=SABCD-2SΔAEH-2SΔBEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x. ……3 分

,得 0 < x ≤ 2

∴y=-2x2+(a+2)x,其定义域为 { x | 0 < x ≤ 2} . (2)当 分

……4 分 ……6

a+2 a+2 ( a + 2) 2 < 2 ,即 a<6 时,则 x= 时,y 取最大值 . 4 4 8

a+2 ≥2,即 a≥6 时,y=-2x2+(a+2)x,在 ( 0 ,2]上是增函数,则 x=2 时, 4 y 取最大值 2a-4 . ……8 分



综上所述:当 a<6 时,AE=

a+2 ( a + 2) 2 时,绿地面积取最大值 ;当 a≥6 时, 4 8

AE=2 时,绿地面积取最大值 2a-4.

22. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) = log 4 (4 x + 1) ?

x . 2

(Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m = 0 有解,求 m 的取值范围; ( Ⅲ ) 若 函 数 g ( x) = log 4 [1 + 2 x + 3x + L + (n ? 1) x ? n x a ] , n ≥ 2, n ∈ N , 对 任 意
x ∈ (? ∝,1] 都有意义,求 a 的取值范围.

22.解:(Ⅰ)f(x)是偶函数, 分) 解 (1 x 1 + 4x x x ∵ f (? x) = log 4 (4 + 1) + = log 4 x + = log 4 (4 x + 1) ? = f ( x) ; 分) (3 2 4 2 2
?x

(Ⅱ)∵ m = f ( x) = log 4 (4 x + 1) ? 又 2x +

x 1 = log 4 (4 x + 1) ? log 4 2 x = log 4 (2 x + x ) , 分) (4 2 2

1 1 2 1 = ( 2x ? ) + 2 ≥ 2 , 分)∴ m ≥ (5 x x 2 2 2



故要使方程 f ( x) ? m = 0 有解,m 的取值范围为 m ≥

1 . 分) (6 2 1 2 n ?1 x (Ⅲ)由 1 + 2 x + 3x + L + (n ? 1) x ? n x a > 0 知 a < ( ) x + ( ) x + L + ( ) 恒成立(7 分) n n n i 又∵ yi = ( ) x , i = 1, 2,L , n ? 1 都是减函数 n 1 x 2 x n ?1 x ∴ y = ( ) + ( ) +L + ( ) 也是减函数(8 分) n n n 1 2 3 n ?1 1 n ?1 ∴y 在 (? ∝,1] 上的最小值为 ymin = ( )1 + ( )1 + ( )1 + L + ( ) = >a n n n n 2 n ?1 ∴ a 的取值范围是 (? ∝, ). (10 分) 2


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