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第5部分 第4讲


第五部分

第四讲

时间:40 分钟,满分:55 分 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将唯一正确答案的代号填在 题后的括号中. 1.sin15° cos75° +cos15° sin105° 等于( A.0 C. 3 2 ) 1 B. 2 D.1

解析 选 D.原式=sin15° co

s75° +cos15° sin75° =sin90° =1. 2.(2012· 辽宁卷)已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 sin2α=( A.-1 C. 2 2 B.- D.1 2 2 )

解析 选 A.因为 sinα-cosα= 2,所以(sinα-cosα)2=2,于是 sin2α=-1. 3 3.(2012· 全国卷)已知 α 为第二象限角,sinα= ,则 sin2α=( 5 24 A.- 25 12 C. 25 12 B.- 25 24 D. 25 )

4 解析 选 A.因为 α 为第二象限,所以 cosα<0,即 cosα=- 1-sin2α=- ,于是 sin2α 5 4 3 24 =2sinαcosα=2×(- )× =- ,选 A. 5 5 25 sin47° -sin17° cos30° 4.(2012· 重庆卷) =( cos17° A.- 1 C. 2 解析 选 C. sin47° -sin17° cos30° sin?30° +17° ?-sin17° cos30° = cos17° cos17° = sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° sin30° cos17° 1 = =sin30° = . cos17° cos17° 2 3 2 ) 1 B.- 2 D. 3 2

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,请将答案填写在题中的横线上. 5. 已知函数 y=acosx+b 的最大值是 1,最小值是-7,则 acosx+bsinx 的最大值是 ___________.
? ? ?-a+b=1 ?a+b=1 ? ? 解析 填 5.当 a<0 时, ), 解得 a=-4, b=-3; 当 a>0 时, ), ?a+b=-7 ?-a+b=-7 ? ?

解得 a=4,b=-3. 所以 acosx+bsinx= a2+b2sin(x+φ)的最大值为 5. 6.计算:tan83° -tan23° - 3tan83° · tan23° = ______ . 解析 填 3. 原式=tan(83° -23° )(1+tan83° · tan23° ) - 3tan83° tan23° = 3+ 3tan83° tan23° - 3tan83° tan23° = 3. 三、解答题:本大题共 2 小题,第 7、8 题分别为 12 分、13 分,共 25 分,解答应写出 文字说明和推演步骤. x π? ?π? 7.(2012· 广东卷)已知函数 f(x)=Acos? ?4+6?,x∈R,且 f?3?= 2. (1)求 A 的值; π? ? 4 ? 2 ? 8 30 ? (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?4α+3π?=-17,f?4β-3π?=5,求 cos(α+β)的值. 解析 π? ? π +π?=Acosπ= 2A= 2,解得 A=2. (1)f? = A cos ?3? ?12 6? 4 2

4 ? 30 15 ? π π? ? π? (2)f? ?4α+3π?=2cos?α+3+6?=2cos?α+2?=-2sinα=-17,即 sinα=17, 2 ? 8 4 ? π π? f? ?4β-3π?=2cos?β-6+6?=2cosβ=5,即 cosβ=5. π? 8 3 2 2 因为 α,β∈? ?0,2?,所以 cosα= 1-sin α=17,sinβ= 1-cos α=5, 8 4 15 3 13 于是 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × =- . 17 5 17 5 85 π 8.(2013· 中山期末)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的部分图象如下图所示,该图 2 象与 y 轴交于点 F(0,1),与 x 轴交于点 B,C,M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为 π.

(1)求函数 f(x)的解析式;

π 2 5 π π (2)若 f(α- )= ,α∈(0, ),求 cos(2α+ )的值. 6 5 2 4 解析 1 (1)因为 S△MBC= ×2×BC=BC=π, 2

2π 所以周期 T=2π= ,即 ω=1. ω 1 由 f(0)=2sinφ=1,得 sinφ= , 2 π π 又 0<φ< ,所以 φ= , 2 6 π 于是 f(x)=2sin(x+ ). 6 π 2 5 5 (2)由 f(α- )=2sinα= ,得 sinα= , 6 5 5 π 2 5 因为 α∈(0, ),所以 cosα= 1-sin2α= , 2 5 3 4 从而 cos2α=2cos2α-1= ,sin2α=2sinαcosα= , 5 5 π π π 3 2 4 2 2 于是 cos(2α+ )=cos2αcos -sin2αsin = × - × =- . 4 4 4 5 2 5 2 10


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