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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题8.4 直线、平面平行的判定与性质(讲).doc


2017 年高考数学讲练测【新课标版】 【讲】

【课前小测摸底细】 1.直线 a∥平面 α,则 a 平行于平面 α 内的( A.一条确定的直线 C.无穷多条平行的直线 D.任意一条直线 【答案】C 【解析】显然若直线 a∥平面 α,则 a 一定平行于经过 a 的平面与 α 相交的某条直线 l,同 时,平面 α 内与 l 平行的直线也都与直线 a 平行,故选 C. 2【陕西省镇安中学 2016 届高三月考】关于直线 l , m 及平面? , ? ,下列说法中正确的是 ( ) B.若 l ∥ ? , ) B.所有的直线

A.若 l ∥ ? , ? ? ? ? m, 则l ∥ m C.若 l 则m

m

∥ ? ,则 l ∥ m D. 若 l ∥? , l ∥ m ,

? ? , l ∥ ? ,则? ? ?

??

【答案】C

3.若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α,则直线 b 与平面 α 的位置关系是( A.b?α B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α 【答案】D

)

【解析】 当 b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α 时,均满足直线 a⊥b,且直线 a ∥平面 α 的情况, 故选 D. 4.【基础经典题】α、β、γ 是三个平面,a、b 是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b?β;

②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β=a,b?γ,且________,则 a∥b”为真命题,则 可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号). 【答案】 :①③

5. 【选自 2016 高考新课标Ⅲ文数】 如图, 四棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABCD , AD ? BC ,

AB ? AD ? AC ? 3 , PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2MD , N 为 PC 的
中点.

(I)证明 MN ? 平面 PAB ; 【答案】 (Ⅰ)见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 取 PB 的中点 T , 然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形, 从而得到 MN ? AT ,由此结合线面平行的判断定理可证; (Ⅱ)由条件可知四面体

N ? BCM 的高,即点 N 到底面的距离为棱 PA 的一半,由此可顺利求得结果.
试题解析: (Ⅰ)由已知得 AM ? 中点知 TN // BC , TN ?

2 AD ? 2 ,取 BP 的中点 T ,连接 AT , TN ,由 N 为 PC 3
......3 分

1 BC ? 2 . 2

又 AD // BC ,故 TN ? AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN // AT . 因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB . ........6 分

【考点深度剖析】 空间中的平行关系在高考命题中, 主要与平面问题中的平行、 简单几何体的结构特征等问题 相结合,通过对图形或几何体的认识,考查线面平行、面面平行的判定与性质,考查转化思 想、空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力,以多面体为载体、以解答题形式呈现是主要 命题方式. 【经典例题精析】 考点一 直线与平面平行的判定与性质 【1-1】 【2016·长沙模拟】若直线 a⊥b,且直线 a∥平面α ,则直线 b 与平面α 的位置关系 是( A.b?α 【答案】D 【解析】可以构造草图来表示位置关系,经验证,当 b 与α 相交或 b?α 或 b∥α 时,均满足 直线 a⊥b,且直线 a∥平面α 的情况,故选 D. 【1-2】在四面体 ABCD 中,M、N 分别是面△ACD、△BCD 的重心,则四面体的四个面中 与 MN 平行的是__________. ) B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与α 相交或 b?α 或 b∥α

【答案】平面 ABC、平面 ABD

【1-3】已知 α,β,γ 是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有下列三个条件: ①a∥γ,b / / β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a / / γ.如果命题“α∩β=a,b / / γ,且________, 则 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( A.①或② C.①或③ 【答案】C 【解析】 由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行”可得,横线处可填入条件①或③,结合各选项知,选 C. 【1-4】如图所示,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 DC 的中点, N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 满足条件________ 时,有 MN∥平面 B1BDD1. B.②或③ D.只有② )

【答案】M 在线段 HF 上

【1-5】如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G, M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:MN∥AB; (2)求证:CE∥面 PAD.

【答案】见解析.

证法二:如图(2),连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB,所以 AF=CD. 2 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 所以 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD.

因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. 【课本回眸】 直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a∥α,a?β,α∩β =b a∥b 定理 性质

条件 结论

a∩α=? a∥α

a?α,b?α,a∥b b∥α

a∥α a∩α=?

【方法规律技巧】 判断或证明线面平行的常用方法: 利用线面平行的定义,一般用反证法; 利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α),其关键是在平面内找(或作)一条直 线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述;) 利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); 利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 【新题变式探究】 【变式 1】 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别为棱 AB、 CC1 的中点, 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( )

A.不存在 C.有 2 条 【答案】D

B.有 1 条 D.有无数条

【解析】由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由平面的基本性质 3 知必有过该

点的公共直线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的直线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内, 由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行,故选 D. 【变式 2】若平面 α∥平面 β,点 A,C∈α,B,D∈β,则直线 AC∥BD 的充要条件是( A.AB∥CD C.AB 与 CD 相交 【答案】D 【解析】当 AC∥CD 时,A,B,C,D 一定共面;当 A,B,C,D 共面时,平面 ABCD∩α =AC,平面 ABCD∩β=BD,由 α∥β 得 AC∥BD,故选 D. 【变式 3】在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β 【答案】D ) B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α D.若 α∥β,a?α,则 a∥β B.AD∥CB D.A,B,C,D 共面 )

【变式 4】设 α,β 是两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,命题 p:若 α∥β,l?α, m?β,则 l∥m;命题 q:若 l∥α,m⊥l,m?β,则 α⊥β.下列命题为真命题的是( A.p∨q C.( ? p)∨q 【答案】C 【解析】分别在两个平行平面内的直线未必平行,故命题 p 是假命题;当 m⊥l,l∥α 时,m 不一定与 α 垂直,α⊥β 不一定成立,命题 q 也是假命题.( ? p)∨q 为真命题,故选 C. 综合点评:解决有关线面平行的基本问题的注意事项:(1)易忽视判定定理与性质定理的条 件,如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件;(2)结合题意构造或绘制图形, 结合图形作出判断;(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确. 考点二 平面与平面平行的判定与性质 【2-1】 【安徽卷】已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确 的是( ) B.p∧q D.p∧( ? q) )

(A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行

(C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【答案】D

【2-2】 【北京卷】设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ” 的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 条件 【答案】B

【解析】因为 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .若“ m ∥ ? ”,则平面 ? 、? 可 能相交也可能平行, 不能推出 ? //? , 反过来若 ? //? ,m ? 是“ ? ∥ ? ”的必要而不充分条件. 【2-3】 【2016·哈尔滨模拟】给出下列关于互不相同的直线 m,l,n 和平面α ,β 的四个命 题: ①若 m?α ,l∩α =A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α ,m∥α ,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α ; ③若 l∥α ,α ∥β ,m∥β ,则 l∥m; ④若 l?α ,m?α ,l∩m=A,l∥β ,m∥β ,则α ∥β . 其中为真命题的是( A.①③④ 【答案】C 【解析】①由条件知,l 与 m 符合异面直线的定义, ∴l 与 m 不共面,是真命题;②∵m、l 是异面直线,∴可构造 l′∥l,且与 m 相交于平面 β .则 l′∥α ,m∥α ,∴α ∥β .再由 n⊥l,得 n⊥l′,结合 n⊥m,∴n⊥β ,∴n⊥α , 是真命题; B.②③④ ) C.①②④ D.①②③

?, 则有 m ∥ ? , 则“ m ∥ ? ”

③l 与 m 可能平行、相交、异面,是假命题;由两平面平行的判定定理可知④是真命题.故 选 C. 【2-4】已知 m、n 是两条直线,α、β 是两个平面,给出下列命题:①若 n⊥α,n⊥β,则 α ∥β;②若平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β;③若 n、m 为异面直线, n?α,n∥β,m?β,m∥α,则 α∥β.其中正确命题的个数是( A.3 个 C.1 个 【答案】B B.2 个 D.0 个 )

【2-5】如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点. (1)当 A1D1 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? D1C1

AD (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值. DC

【答案】 (1)当

A1D1 =1 时,BC1∥平面 AB1D1.(2)1. D1C1 A1D1 =1. 连接 A1B,交 AB1 于点 O, D1C1

【解析】(1)如图所示,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时 连接 OD1.

由棱柱的性质知,四边形 A1ABB1 为平行四边形,∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点,∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1,∴BC1∥平面 AB1D1. A1D1 ∴当 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1

(2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面 A1BC1∩平面 BC1D=BC1,平面 A1BC1∩平面 AB1D1 =D1O 得 BC1∥D1O, ∴ A1D1 A1O = , D1C1 OB

A1D1 DC A1O DC AD 又由题可知 = , =1,∴ =1,即 =1. D1C1 AD OB AD DC

【课本回眸】 面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a?β,b?β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b α∥β,a?β a∥α 定理 性质

条件 结论

α∩β=? α∥β

【方法规律技巧】 证明两个平面平行的方法有: ①用定义,此类题目常用反证法来完成证明; ②用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”),通过线面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; ④借助“传递性”来完成. 面面平行问题常转化为线面平行, 而线面平行又可转化为线线平行, 需要注意转化思想的应 用.

【新题变式探究】 【变式 1】设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥ β 的一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 【答案】B 【解析】对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1∥m 可得 l1∥α,同理可得 l2∥α,又 l1 与 l2 相交,故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不一定能得 到 l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C,由于 m,n 不一定相 交,故是必要非充分条件;对于选项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥β,同选项 C,故不符合题意. 【变式 2】 【河北石家庄高三调研试题】设 ? 表示直线 ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题 中正确的是( ) B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? / /? 且 ? / / ? ,则 ? / / ? ). B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /? C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? 【答案】D

【解析】 A: 应该是 b / /? 或 b ? ? ; B: 如果是墙角的三个面就不符合题意; C: ? ?? ?m, 若 a / / m 时,满足 a / /? , a / / ? ,但是 ? / / ? 不正确,所以选 D. 【变式 3】 【稳派全国统一考试模拟信息卷】若 ? , ? 是两个相交平面,则“点 A 不在 ? 内, 也不在 ? 内”是“过点 A 有且只有一条直线与 ? 和 ? 都平行”的( A.充分不必要 要 【答案】C B.必要不充分 C.充要 )条件 D.既不充分也不必

【变式 4】 【选自 2016 年 4 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联考】如图,在四棱锥

P ? ABCD 中,PD ? 面 ABCD ,AB / / DC ,AB ? AD ,DC ? 6 ,AD ? 8 ,BC ? 10 ,
?PAD ? 45? , E 为 PA 的中点.
(1)求证: DE / / 面 PBC ;

【答案】(1)见解析. 【解析】

综合点评:判定面面平行的常用方法: (1)面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点; (2)面面平行的判定定理; (3)垂直于同一条直线的两平面平行; (4)平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行. 考点三 线面、面面平行的综合应用 【3-1】 【河北石家庄高三调研】设 ? 表示直线 ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确 的是( ) B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? / / ?

A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b / /?

C.若 a / /? 且 a / / ? ,则 ? / / ? 【答案】D

D.若 ? / /? 且 ? / / ? ,则 ? / / ?

【3-2】如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是________.

①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2; ④CB1 与 BD 为异面直线. 【答案】①②④

【3-3】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E,F,G 分别是 BC,DC, SC 的中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

【答案】见解析. 【解析】 (1)如图,连接 SB, ∵E,G 分别是 BC,SC 的中点,

∴EG∥SB.又∵SB?平面 BDD1B1, EG?平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD,∵F,G 分别是 DC,SC 的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1,且 EG?平面 EFG, FG?平面 EFG,EG∩FG=G,∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.

【3-4】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,点 M,N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点.

(1)求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1ABB1. 【答案】见解析.

【课本回眸】 1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a ? α,b ? α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a ? β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a ? α,b ? α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b ? α,a′∩b′=M′,a′,b′ ? β,a∥a′,b∥b′?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?α∥β. 【方法规律技巧】 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻 找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到 符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在. 【新题变式探究】 【变式 1】 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点,当点 Q 在( )位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO.

A.Q 与 C 重合

B.Q 与 C1 重合

C.Q 为 CC1 的三等分点 D.Q 为 CC1 的中点 【答案】D

【变式 2】如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=a.

(1)求证:AD⊥B1D; (2)求证:A1C∥平面 AB1D; 【答案】见解析.

【变式 3】如图,在四棱锥 PABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分 别为 BC、PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定 点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

【答案】见解析.

π 【变式 4】如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO⊥平面 COB,∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2, 6 BC= 2,D、E 分别为 AB、OB 的中点. (Ⅰ)求证:CO⊥平面 AOB; (Ⅱ)在线段 CB 上是否存在一点 F,使得平面 DEF∥平面 AOC,若存在,试确定 F 的位 置;若不存在,请说明理由.

【答案】见解析. 【解析】 (Ⅰ)因为 AO⊥平面 COB, 所以 AO⊥CO,AO⊥BO. 即△AOC 与△AOB 为直角三角形. π 又因为∠OAB=∠OAC= ,AB=AC=2, 6 所以 OB=OC=1. 由 OB2+OC2=1+1=2=BC2, 可知△BOC 为直角三角形. 所以 CO⊥BO. 又因为 AO∩BO=O,AO?平面 AOB,BO?平面 AOB, 所以 CO⊥平面 AOB.

综合点评:在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,其转 化关系为

在应用性质定理时, 其顺序恰好相反, 但也要注意, 转化的方向总是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化”. 【易错试题常警惕】 易错典例: 如图,已知 E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AA1 , CC1 上的中点. 求证:四边形 BED1 F 是平行四边形.

【错解】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,平面 A1 ADD1 // 平面 B1 BCC1 ,由两个平行平面 于第三个平面相交得交线平行,故 D1 E // FB , 同理 D1 F // EB , 故四边形 BED1 F 是平行四边形. 【错因】 主要错在盲目地在立体几何证明题中套用平面几何定理. 例题几何问题只有在化为 平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.

故四边形 BED1 F 是平行四边形.

温馨提醒: 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加,在添加辅助线、辅助面时一定要以 某一性质定理为依据,绝不能主观臆断. 3.解题中注意符号语言的规范应用. 【学科素养提升之思想方法篇】 化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法 1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,数学中一切问题的解决(当然包括解 题)都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了 函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种 思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、 构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂. 2. 转化包括等价转化和非等价转化,非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的, 这样的转化能保证转化的结 果仍为原问题所需要的结果, 非等价转化其过程则是充分的或必要的, 这样的转化能给人带 来思维的启迪,找到解决问题的突破口,非等价变形要对所得结论进行必要的修改. 非等价转化(强化转化和弱化转化)在思维上带有跳跃性,是难点,在压轴题的解答中常常 用到,一定要特别重视! 3.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题; (2)直观化原则:将抽象的问题转化为具体的直观的问题; (3)简单化原则:将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的 问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便与解决. (4)正难则反原则:若过正面问题难以解决,可考虑问题的反面,从问题的反面寻求突破 的途径; (5)低维度原则:将高维度问题转化成低维度问题. 4.转化与化归的基本类型 (1) 正与反、一般与特殊的转化; (2) 常量与变量的转化; (3) 数与形的转化;

(4) 数学各分支之间的转化; (5) 相等与不相等之间的转化; (6) 实际问题与数学模型的转化. 5.常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问 题; (3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化; (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题; (5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途 径; (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径; (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题; (8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通 过一般化的途径进行转化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的; (10)补集法: (正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合 A,而把包 含该问题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集获得原问题的解决. 立体几何中的转化与化归,主要利用直接转化法或坐标法,将空间问题转化成平面问题、将 几何问题转化成代数问题加以解决. 【典例】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点. (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD.

【答案】见解析.


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