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专题1第1讲 集合与常用逻辑用语


专题一 集合、函数与导数

1.集合的概念及运算 (1)集合中元素的三个特性:①确定性;②互异性; ③无序性.有关集合的运算,特别需要注意的是 元素的互异性,其方法是将所得结果代入问题中 检验. (2)特别要注意用描述法表示集合时,集合中元素 的意义取决于它的“代表元素”的特征.如 A={x|y=x2}表示的是函数的定义域;B={y|y=x2}表 示的是函

数y=x2的值域;C={(x,y)|y=x2}表示的是 函数y=x2的图象.

? 3? 注意元素与集合、集合与集合的关系的区别.
①元素与集合之间的关系是“属于”与“不属于”, 符号“?”与“?”只能用于表示元素与集合之间的 关系,不能用于表示集合与集合的关系. ②集合与集合之间的关系常用符号有“? 、? ?”等. ? ?、 ③注意空集的特殊性:空集是任何一个集合的子集, 是任何一个非空集合的真子集. ④由n个元素组成的集合有2n 个子集,有 ? 2n ? 1? 个 真子集,有 ? 2n ? 2 ? 个非空真子集.

2.常用逻辑用语 (1)命题的判断与命题真假的判断: ①判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断 其真假. ②命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结 论,只有将条件与结论分清,才有可能正确地判 断其真假. (2)四种命题及其关系: ①互为逆否命题的两个命题等价,即同真同假. ②“否命题”与“命题的否定”的区别.

对于 ? p,当且仅当p为真时,它是假命题;当且 仅当p为假时,它是真命题.“否命题”与“命题 的否定”不是同一概念.“否命题”是对原命题 “若p则q”既否定其条件,又否定其结论;而“命 题的否定”,即“非p”,只是否定命题中的结 论. (3)充分条件和必要条件: 充要条件的判断,重在从定义出发,利用命题 “若p则q”的真假进行区分.在具体解题中,一定 ?q ?p 要注意分清谁是条件,谁是结论,有时也可以通 过对其逆否命题“若 则 ”的真假来判别.

(4)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词: ①简单命题与复合命题的真假判断. 只有p、q全假时,p∨q为假,其余为真;只有p、q ? p的真假与p的真假 全真时,p∧q为真,其余为假, 相反. ②全称量词与存在量词. 常见的全称量词有:“所有的”“任意一个”“一 切”“每一个”“任给”;常见的存在量词有: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一 个”“某个”“有的”.同一个全称命题、存在性 命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表达方 法,在实际应用中注意灵活选择.

一、集合及其运算 例1?1?已知集合S ? {3,a}, 2 T ? {x | x ? 3x ? 0,x ? Z },S ? T ? ?1?,P ? S ? T, 那么集合P的子集的个数是(    ) A. 32 B. 16 C. 8 D. 4

解析: ?1?因为T ? {x | 0 ? x ? 3,x ? Z} ? ?1,2?, 又S ? T ? ?1?,所以a ? 1,故P ? S ? T ? ?1,2,3?, 因此集合P的子集的个数为2 ? 8,故选C.
3

一、集合及其运算 例1? 2 ? (2011? 常德三模)已知集合A ? ? x | x 2 ? 2x ? 0?, B ? { y | y ? 2 x,x ? 0},R是实数集, 则(?R B) ? A等于(    ) A. (??, 0) C. ( ??, 0] D. ? 0,1? ?0,1? B.

解析: 0) ? (2, ? ?),B ? (1, ? ?), ? 2 ? A ? (??, 所以(?R B) ? A ? (??,, 0) 选B.

【点评】必要时可借助韦恩图 和数轴等帮助运算.

二、命题与逻辑联结词 例2 ?1? (2011? 株洲县三模)下列四个命题为命题 “函数y ? f ? x ? ( x ? M )是偶函数”的否定的是(    ) A.?x ? M ,f ? ? x ? ? f ? x ? B.?x ? M ,f ? ? x ? ? f ? x ? C.?x ? M ,f ? ? x ? ? f ? x ? D.?x ? M ,f ? ? x ? ? f ? x ?
答案: A

【点评】奇偶函数的概念要清楚;全称命题与特 称命题的否定,应改变量词属性,并否定结论.

? a,命题Q:对任何x ? R, 2 都有x ? 4ax ? 1 ? 0.已知P ? Q为假,P ? Q为 真,则a的取值范围是 __________.
2

? 2? 设命题P:a

解析:命题P:a 2 ? a成立,则0 ? a ? 1. 命题Q:?x ? R,x 2 ? 4ax ? 1 ? 0成立, 1 1 2 则? ? 16a ? 4 ? 0 ? ? ? a ? . 2 2 命题P与Q中有且仅有一个成立, ?a ? 0或a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? 则? 1 1 或? 1 1 a ? ? 或a ? ? ?a? ? ? ? 2 2 ? 2 2 1 1 ? ? a ? 1或 ? ? a ? 0. 2 2 1 1 故a的取值范围是(? , 0] ? ( , 1). 2 2

【点评】掌握好复合命题真假条件,正确 转化相应不等关系求解.

三、充分条件与必要条件 例3 ?1? (2011? 株洲市调研“ ) 直线a //平面b”是 “直线a至少平行于平面b内的一条直线”的(    ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【点评】掌握充要条件的判断与求充要条件, 必须正确理解互相推出的含义.“p ? q”是 指“若p则q”与“若q则p”均为真命题.

则命题p是命题q的 __________ 条件.

? 2 ?已知命题p:x ? y ? 5,命题q:x ? 2且y ? 3,
解析: 当x ? y ? 5时,可选取x ? 2,y ? 4, 故此时x ? 2且y ? 3不成立. 同样,当x ? 2且y ? 3时,可取x ? 1,y ? 4, 则x ? y ? 5,故此时x ? y ? 5也不成立. 因此,命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

【点评】 ?1? 说明判断一个命题不成立, 常常可通过反例证明;

? 2 ? 此类条件与结论均为否定形式的命
题,亦可用其逆否命题的判断来说明, 但应注意“x ? 2且y ? 3”的否定是 “x ? 2或y ? 3”.

备选题

1 1 系集合.集合M ? {?1,0,,, 1, 2,3}的所有非空 3 2 子集中,具有伙伴关系的集合个数为 _______ .

?1? 若x ? A,则 ? A,就称A是伙伴关

? 2 ?已知函数f ? x ? ? 4sinxcosx ? 2 ? ? 条件p: ? x ? ,若q: f ? x? ? m

3cos2x ? 1.给定 ? 2,且p是q的充

4 2 分条件,则m的取值范围是 __________ .

1 解析: ?1? 若x ? A,则 ? A,就称A为伙伴关系 x 1 1 集合,故??1?, { , 2}{3 , ,}都是伙伴关系集合, ?1?, 2 3 故这样的非空子集的个数为24 ? 1 ? 15.

? 2 ? f ? x ? ? 2sin2x ? 2
? ?

3cos2x ? 1 ? 4sin(2x ? ) ? 1. 3

?

由p: ? x ? ,得3 ? f ? x ? ? 5. 4 2 又q: f ? x ? ? m ? 2,得m ? 2 ? f ? x ? ? m ? 2. ?m ? 2 ? 3 因为p是q的充分条件,所以 ? , ?m ? 2 ? 5 解得3 ? m ? 5.故m的取值范围为?m | 3 ? m ? 5?.

1.解答与集合有关的问题时,一是要注意“元素” 的三个特征,弄清“元素”的实质;二是要分清 集合间的关系,要注意空集的特殊性,同时注意 三种语言,即自然语言,图形语言,集合语言之 间的关系,能充分利用韦恩图、数轴、函数图象 相结合的作用. 2.含有逻辑联结词的命题要理解其含义,写命题 的否定和否命题时要分清条件和结论,要注意它 们的区别.对含有一个量词的命题的否定,不但 其量词要转换,而且对量词后面的结论要作出否 定.

3.判断充要条件,必要条件一定要用好“?”, 同时注意数形结合、分类讨论、等价转化思想 方法的应用,注意命题与其逆否命题的等价 性.


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