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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第一章 集合与常用逻辑用语(含解析)


一、重视教材习题的母题功能
你知道高考题是怎样命制的吗?看完本讲内容,洞晓了高考命题的 5 大常用手段,你就 明白了教材经典题目的重要性.你还会陷入“高考高于天,教材放一边”的备考误区吗? 编写本讲的目的, 我们旨在提醒您: 一轮复习要“抓纲靠本”, “纲”就是考纲, “本” 就是课本.要重拾起被遗忘忽视的课本,重温基础知识,重做典型题目,重视教材“母题” 的引领作用,发挥教材母题做一当十的功效. 在此,仅以 2014 年新课标全国卷两套试题为例进行说明,以佐证教材习题的重要性.

教材这样练 《人教 A 版· 必修 4》P119 B 组第 1 题第(4)小题. 已知 D,E,F 分别是△ABC ??? ? ??? 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA = ??? ? ??? ? 1 1 ??? ? 1 b,AB =c, 则① EF = c- b; ② BE =a+ b; 2 2 2 ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? 1 1 ③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0 中 2 2 正确的等式的个数为( ) A.1 B .2 C.3 D.4

高考这样变 (2014· 新课标全国卷 Ⅰ ) 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA, AB 的中点,则 EB + FC =( A. AD C. BC

???

??? ?

)

??? ?

? 1 ??? B. AD 2

??? ?

? 1 ??? D. BC 2

教材这样练 《人教 A 版· 选修 2-1》 P69 例 4. 斜率为 1 的直线 l 经过抛 物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛 物线相交于 A,B 两点,求线 段 AB 的长.

高考这样变 (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( A. 30 3 B.6 D.7 3 )

C.12

1

教材这样练 《人教 B 版· 必修 5》P30 练习 A. 写出下面数列{an}的前 5 项: 1 1.a1=2,an= an-1(n=2,3,4,?); 2 2.a1=3,an=an-1+2(n=2,3,4,?); 3.a1=1,an=an-1+ 1 (n=2,3,4,?). an-1

高考这样变 (2014· 新课标全国 卷Ⅱ)数列{an}满足 an+1 = 1 ,a =2, 则 a1 = 1-an 8

________.

教材这样练 《人教 A 版· 必修 5》P14 例 5. 如图, 一辆汽车在一条水平的公路 上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧 远处一山顶 D 在西偏北 15° 的方向上, 行驶 5 km 后到达 B 处,测得此山顶在 西偏北 25° 的方向上,仰角为 8° ,求此 山的高度 CD(精确到 1 m).

高考这样变 (2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图, 为测量山高 MN,选择 A 和另一座 山的山顶 C 为测量观测点. 从A点 测得 M 点的仰角∠MAN=60° ,C 点的仰角∠ CAB = 45° 以及∠ MAC =75° ;从 C 点测得∠MCA=60° , 已知山高 BC=100 m,则山高 MN =________m.

教材这样练 《人教 A 版· 必修 1》 P39B 组第 3 题. 已知函数 f(x)是偶函数, 而 且在(0,+∞)上是减函数,判 断 f(x)在(-∞,0)上是增函数 还是减函数, 并证明你的判断.

高考这样变 (2014· 新课标全国卷Ⅱ)已 知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调 递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________.

2

总之,教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的,它蕴藏着丰富的思想方法和研究 资源.不少试题所涉及的思想方法,都源于教材.高考数学一轮复习中,要做到对教材中的 经典题目能够熟练地求解,掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵.研读教材、 汲取营养,充分发挥例题、习题潜在的功能,发挥教材“母本”的作用. 为减少考生翻阅教材、 查找典型题目之苦, 充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势, 我们在人教 A 版、人教 B 版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目,做为课前 自检基础知识使用,就是充分发挥教材母题的引领带动作用. 二、重视经典题目的发散思维 本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展,其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和 多领悟.如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题,那么这一讲是教给学生“怎么做”的 问题.在平时的复习备考中,做海量试题必不可少,但绝非上策.应当充分发挥典型试题的 带动作用和举一反三的功能,注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成.多 题一解有利于培养学生的求同思维,一题多解有利于培养学生的求异思维,一题多变有利于 培养学生思维的灵活性与深刻性. 多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中,发挥主观能动性,多思考,多总 结,而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展,多发散,帮学生举一反三、悟通练透. 本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试:

(一)经典“题根”的发散

茫茫题海,寻根是岸.木有本,水有源,题有根.在平时的训练中,可将一些经典的题 目做为“题根”,在题目发散中,要学会演变题目条件、背景,变换设问,在不断变换的过 程中,将此类问题厘清弄透,从一个个小问题中获取大知识,让其“枝繁叶茂”、“生机盎 然”,从而彻底打通各知识点间的关节.

示例:利用基本不等式求最值

3

本题的条件变为:已知 a>0,b 若本题条件变为: 已知 a>0, b>0, a+2b=3, 2 1 则 + 的最小值为________. a b 1 >0,c>0,且 a+b+c=1,则 a 1 1 + + 的最小值为________. b c

本题的条件和结论互 换,即:已知 a>0,b 1 1 >0, + =4, 则 a+b a b 的最小值为________.

1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最 a b 小值为________. [解析] ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴ + = + =2+ + a b a b a b ≥2+2 ba 1 1 · =4,即 + 的最小值为 4,当且 ab a b

已知各项为正数的 等比数列{an}满足 a7 =a6+2a5, 若存在两 项 am , an, 使得 am· an 1 4 =2 2a1,则 + 的 m n 最小值为________.

1 仅当 a=b= 时等号成立. 2 [答案] 4

1? 本题的条件不变,则? ?1+a?

?1+1?的最小值为________. ? b?

利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值:求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大 值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立. (2)知积求和的最值:明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等 式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常 采用“变量替换”或“常数 1”的替换,构造不等式求解. (4)利用基本不等式求最值时应注意:①非零的各数(或式)均为正;②和或积 为定值;③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺 一不可.

(二)考查角度的发散

高考中的一些热门考点,虽知年年必考,但学生往往却在这类考点上失分,究其原因, 主要是此类考点考查灵活、角度多变.为将这类考点练深练透,有必要对这类考点进行多维 探究.备考不留死角,高考不留遗憾!

角度二:比较两个函数值或两个自变量的大小 2.已知函数 f(x)=log2x+ ∞),则( ) B . f(x1)<0 , D . f(x1)>0 ,
4

1 ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+ 1-x

A.f(x1)<0,f(x2)<0

f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0

f(x2)>0

? 角度一、角度二是 对函数单调性直接 应用的考查 ? 角度一:求函数的 值域或最值 1.函数 f(x)= 错误! 的 最 大 值 为 ________. 示例:函数单调性的应用 高 考 对函 数单 调 性的 考查多以选择题、填空题的 形式出现,有时也应用于解 答题中的某一问中. 函数单调性的应用,归 纳起来常见的命题角度有: (1) 求函数的值域或最 值; (2) 比较两个函数值或 两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4) 利用单调性求参数 的取值范围或值. 角度三:解函数不等式 3 . f(x) 是定义在 (0, +∞) 上 的单调增函数,满足

f(xy)
= f(x)+ f(y),f(3) =1, 当 f(x) +f(x-8)≤2 时,x 的取 值 范围是( )

A.(8,+∞) C.[8,9] ? 利用函数单调性转变为不等 式,体现知识间的交汇

角度四:利用单调性求参数的取值范围或值 ?a-2?x,x≥2, ? ? 4.已知函数 f(x)=??1?x ? ? -1,x<2 ? ??2?

由单调性求参数范 围体现函数单调性 的深化 ?

满足对任意的实数

f?x1?-f?x2? x1≠x2,都有 <0 成立,则实数 a 的取值范围 x1-x2
为( )

13? ? A.(-∞,2) B.?-∞, ? 8? ?

?13 ? C.(-∞,2] D.? ,2? ?8 ?

[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数

5

的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符 号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调 区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a, b]上是单调的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.

6

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节

集__合

对应学生用书P5

基础盘查一 元素与集合 (一)循纲忆知 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. (二)小题查验 1.判断正误 (1)一个集合中可以找到两个相同的元素( ) )

(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( (3)a 在集合 A 中,可用符号表示为 a? A( (4)零不属于自然数集( ) (4)? )

答案:(1)? (2)√ (3)?

2.(人教 A 版教材练习)选择适当的方法表示下列集合: (1)由小于 8 的所有素数组成的集合; (2)不等式 4x-5<3 的解集. 答案:(1){2,3,5,7} (2){x|x<2} 基础盘查二 集合间的基本关系 (一)循纲忆知 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

7

2.在具体情境中,了解全集与空集的含义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若 A=B,则 A? B( ) )

(2)若 A?B,则 A? B 且 A≠B( (3)N ?N?Z(
*

) )

(4)空集是任何集合的子集,两元素集合是三元素集合的子集( 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)?

2.(人教 A 版教材例题改编)集合{a,b}的所有子集为________________. 答案:{a},{b},{a,b},? 基础盘查三 集合的基本运算 (一)循纲忆知 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 3.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. (二)小题查验 1.判断正误 (1)若 A∩B=A∩C,则 B=C( ) )

(2)集合 A 与集合 A 在全集 U 中的补集没有公共元素( (3)并集定义中的“或”能改为“和”( )

(4)A∩B 是由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合( 答案:(1)? (2)√ (3)? (4)√

)

2. (人教 A 版教材习题改编)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5}, B={1,3,5,7}, 则 A∩(?UB)=________. 答案:{2,4} 3.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则?R(A∪B)=________________. 答案:{x|x≤2 或 x≥10}

对应学生用书P6

考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
8

1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合中元素与集合的关系: 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和?. (3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn 图. 2.常见数集及其表示符号 自然数集用 N 表示,正整数集用 N 或 N+表示,整数集用 Z 表示,有理数集用 Q 表示,实 数集用 R 表示. [提醒] 解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因 为不满足“互异性”而导致解题错误. [题组练透] 1.(2015?洛阳统考)已知集合 A={1,2,4},则集合 B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的 个数为( A.3 C.8 ) B. 6 D. 9
*

解析: 选 D 集合 B 中元素有(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (2,4), (4,1), (4,2), (4,4),共 9 个.
2 2 015 2.现有三个实数的集合,既可以表示为?a, ,1?,也可以表示为{a ,a+b,0},则 a

? ?

b a

? ?

+b

2 015

=________.

解析:由已知,得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a =1,即 a=1 或 a=-1,又根据集 合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a 答案:-1 3.已知集合 A={m+2,2m +m},若 3∈A,则 m 的值为________. 解析:因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m +m=3. 当 m+2=3,即 m=1 时,2m +m=3, 此时集合 A 中有重复元素 3, 所以 m=1 不符合题意,舍去; 3 2 当 2m +m=3 时,解得 m=- 或 m=1(舍去), 2 3 1 此时当 m=- 时,m+2= ≠3 符合题意. 2 2 3 所以 m=- . 2
2 2 2 2 015

b a

2

+b

2 015

=(-1)

2 015

=-1.

9

3 答案:- 2 [类题通法] 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求 出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2. 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等, 分几种情况列出 方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A? B(或 B? A); (2)真子集:若集合 A? B,但存在元素 x∈B,且 x?A,则 A?B(或 B?A); (3)性质:??A;A? A;A? B,B? C? A? C. (4)集合相等:若 A? B,且 B? A,则 A=B. [提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身. [典题例析] 1.已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A? C ? B 的集合 C 的个数为( A.1 C.3 ) B. 2 D. 4
2

解析:选 D 用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数. 由 x -3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2.已知集合 A={x|x -2 015x+2 014<0},B={x|x<m},若 A? B,则实数 m 的取值 范围是________. 解析:由 x -2 015x+2 014<0, 解得 1<x<2 014,故 A={x|1<x<2 014}. 而 B={x|x<m},由于 A? B,如图所示,则 m≥2 014.
2 2 2

答案:[2 014,+∞) [类题通法] (1)已知两集合的关系求参数时, 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系, 进而转化 为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且经常要对参 数进行讨论.注意区间端点的取舍.
10

(2)当题目中有条件 B? A 时,不要忽略 B=?的情况! [演练冲关] 1. (2015?中原名校联盟一模)设 A={1,4,2x}, 若 B={1, x }, 若 B? A, 则 x=________. 解析:由 B? A,则 x =4 或 x =2x.当 x =4 时,x=±2,但 x=2 时,2x=4,这与集合 元素的互异性相矛盾;当 x =2x 时,x=0 或 x=2,但 x=2 时,2x=4,这与集合元素的互 异性相矛盾.综上所述,x=-2 或 x=0. 答案:0 或-2 2.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范 围是________. 解析:当 B=?时,有 m+1≥2m-1, 则 m≤2. 当 B≠?时,若 B? A,如图.
2 2 2 2 2

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 答案:(-∞,4] 考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1.集合的并、交、补运算: 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}; 补集:?UA={x|x∈U,且 x?A};U 为全集,?UA 表示集合 A 相对于全集 U 的补集. 2.集合的运算性质 (1)A∪B=A?B? A,A∩B=A?A? B; (2)A∩A=A,A∩?=?; (3)A∪A=A,A∪?=A; (4)A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A. [提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用 数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. [一题多变] [典型母题]

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已知集合 A={y|y=x -2x,x∈R},B={y|y=-x +2x+6,x∈R},则 A∩B = . [解析] y=x -2x=?x-1? -1≥-1,
2 2

2

2

y=-x2+2x+6=-?x-1?2+7≤7,
∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7}, 故 A∩B={y|-1≤y≤7}. [答案] {y|-1≤y≤7}

[题点发散 1] 若集合 A 变为 A={x|y=x -2x,x∈R},其他条件不变,求 A∩B. 解:因 A 中元素是函数自变量,则 A=R, 而 B={y|y≤7},则 A∩B={y|y≤7}. [题点发散 2] 若集合 A、B 中元素都为整数,求 A∩B. 解:A∩B? {y|-1≤y≤7},又因为 y∈Z, 故 A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}. [题点发散 3] 若集合 A、B 不变,试求?RA∪?RB. 解:∵A={y|y≥-1},B={y|y≤7}, ∴?RA={y|y<-1},?RB={y|y>7}, 故?RA∪?RB={y|y<-1 或 y>7}. [题点发散 4] 若集合 A、B 变为:A={(x,y)|y=x -2x,x∈R},B={(x,y)|y=-
2

2

x2+2x+6,x∈R},求 A∩B.
解:由?
?y=x -2x, ? ? ?y=-x +2x+6
2 2

? x -2x-3=0,

2

解得 x=3 或 x=-1. 于是,?
?x=3, ? ?y=3 ?

或?

?x=-1, ? ?y=3, ?

故 A∩B={(3,3),(-1,3)}. [类题通法] 解集合运算问题应注意以下三点: (1)看元素组成. 集合是由元素组成的, 从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问 题的关键. (2)对集合化简.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简 单明了、易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图. 考点四 集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研)
12

[典题例析] 1.如图所示的 Venn 图中,A,B 是非空集合,定义集合 A?B 为阴 影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y= 2x-x },B={y|y=3 ,
2

x

x>0},则 A?B 为(
A.{x|0<x<2}

) B.{x|1<x≤2} D.{x|0≤x≤1 或 x>2}

C.{x|0≤x≤1 或 x≥2}

解析:选 D 因为 A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2}, 所以 A?B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1 或 x>2},故选 D. 2.已知数集 A={a1,a2,?,an}(1≤a1<a2<?<an,n≥2)具有性质 P:对任意的 i,

aj j(1≤i≤j≤n),aiaj 与 两数中至少有一个属于 A,则称集合 A 为“权集”,则( ai
A.{1,3,4}为“权集” B.{1,2,3,6}为“权集” C.“权集”中元素可以有 0 D.“权集”中一定有元素 1 解析:选 B

)

4 由 于 3?4 与 均 不 属 于 数 集 {1,3,4} , 故 A 不 正 确 , 由 于 3

6 6 1 2 3 6 1?2,1?3,1?6,2?3, , , , , , 都属于数集{1,2,3,6},故 B 正确,由“权集”的 2 3 1 2 3 6 定义可知 需有意义,故不能有 0,同时不一定有 1,C,D 错误,选 B. [类题通法] 解决集合创新型问题的方法 (1)紧扣新定义:首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够 应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合 问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在 关键之处用好集合的性质. [演练冲关]
? ? 1 1 1.若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0, ,2,3?的所有非空 2 x ? ?

aj ai

子集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 C.7

) B. 3 D.31

1 解析:选 B 具有伙伴关系的元素组是-1; ,2, 2
13

所以具有伙伴关系的集合有 3 个:
?1 ? ? 1 ? {-1},? ,2?,?-1, ,2?. 2 ? ?2 ? ?

2.对于任意两个正整数 m,n,定义运算(用⊕表示运算符号):当 m,n 都是正偶数或都 是正奇数时,m⊕n=m+n;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m?n.例如 4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3?4=12.在上述定义中,集合 M={(a,b)|a⊕b= 12,a,b∈N }的元素有________个. 解析:m,n 同奇同偶时有 11 组:(1,11),(2,10),?,(11,1);m,n 一奇一偶时有 4 组:(1,12),(12,1),(3,4),(4,3),所以集合 M 的元素共有 15 个. 答案:15
*

对应A本课时跟踪检测?一?

一、选择题
? ? 3 ∈Z?,则集合 A 中的元素个数为 1.(2015?广州测试)已知集合 A=?x|x∈Z,且 2-x ? ?

(

) A.2 C.4 解析: 选C ∵ B. 3 D. 5 3 ∈Z, ∴2-x 的取值有-3, -1,1,3, 又∵x∈Z, ∴x 值分别为 5,3,1, 2-x

-1, 故集合 A 中的元素个数为 4,故选 C. 2.(2014?江西高考)设全集为 R,集合 A={x|x -9<0},B={x|-1<x≤5},则 A∩(?
R 2

B)=(

) B.(-3,-1) D.(-3,3)
2

A.(-3,0) C.(-3,-1] 解析:选 C

由题意知,A={x|x -9<0}={x|-3<x<3},∵B={x|-1<x≤5},∴

?RB={x|x≤-1 或 x>5}. ∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1 或 x>5}={x|-3<x≤-1}. 3.已知集合 A={x|y= 1-x },B={x|x=m ,m∈A},则( A.A?B C.A? B
2 2 2

)

B.B?A D.B? A
2

解析:选 B 由题意知 A={x|y= 1-x },∴A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x=m ,m∈

A}={x|0≤x≤1},∴B?A,故选 B.
14

4. 设函数 f(x)=lg(1-x ), 集合 A={x|y=f(x)}, B={y|y=f(x)}, 则图中阴影部分表示的集合为( A.[-1,0] C.(-∞,-1)∪[0,1) ) B.(-1,0) D.(-∞,-1]∪(0,1)
2 2

2

解析: 选 D 因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x >0}={x|-1<x<1}, 则 u=1-x ∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0},

A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],
故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选 D. 5.(2015?西安一模)设集合 A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足 M ? (A∩B)的集合 M 的个数是( A.0 C.2 ) B. 1 D. 3

解析:选 C 由题中集合可知,集合 A 表示直线 x+y=1 上的点,集合 B 表示直线 x-y =3 上的点,联立?
?x+y=1, ? ? ?x-y=3

可得 A∩B={(2,-1)},M 为 A∩B 的子集,可知 M 可能为

{(2,-1)},?,所以满足 M? (A∩B)的集合 M 的个数是 2,故选 C. 6.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k] ={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数 a,b 属于同 一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( A.1 C.3 ) B. 2 D. 4

解析:选 C 因为 2 014=402?5+4,又因为[4]={5n+4|n∈Z},所以 2 014∈[4], 故①正确;因为-3=5?(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确;因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余数为 0,1,2,3,4,所以③正确;若 a,b 属于同一‘类’,则有 a=5n1+k,b=5n2 +k, 所以 a-b=5(n1-n2)∈[0], 反过来, 如果 a-b∈[0], 也可以得到 a, b 属于同一“类”, 故④正确.故有 3 个结论正确. 二、填空题 7.已知 A={0,m,2},B={x|x -4x=0},若 A=B,则 m=________. 解析:由题知 B={0,-2,2},A={0,m,2},若 A=B,则 m=-2. 答案:-2 8.(2014?重庆高考)设全集 U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则(?UA)∩B=________.
15
3

解析:由题意,得 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故?UA={4,6,7,9,10},所以(?UA)∩B ={7,9}. 答案:{7,9}
? ? ?4 2 9. (2015?昆明二模)若集合 A={x|x -9x<0, x∈N*}, B=?y? ? ?

?y

∈N ,y∈N ?, 则 A∩B
? ?

*

*

? ?

中元素的个数为________. 解 析 : 解 不 等 式 x - 9x < 0 可 得 0 < x < 9 , 所 以 A = {x|0 < x < 9 , x ∈ N } = 4 * * {1,2,3,4,5,6,7,8},又 ∈N ,y∈N ,所以 y 可以为 1,2,4,所以 B={1,2,4},所以 A∩B
2 *

y

=B,A∩B 中元素的个数为 3. 答案:3 10.(2015?南充调研)已知集合 A={x|4≤2 ≤16},B=[a,b],若 A? B,则实数 a-b 的取值范围是________. 解析:集合 A={x|4≤2 ≤16}={x|2 ≤2 ≤2 }={x|2≤x≤4}=[2,4],因为 A? B,所 以 a≤2,b≥4,所以 a-b≤2-4=-2,即实数 a-b 的取值范围是(-∞,-2]. 答案:(-∞,-2] 三、解答题 11.已知集合 A={-4,2a-1,a },B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. 解:(1)∵9∈(A∩B),∴2a-1=9 或 a =9, ∴a=5 或 a=3 或 a=-3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}; 当 a=3 时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性; 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 所以 a=5 或 a=-3. (2)由(1)可知,当 a=5 时,A∩B={-4,9},不合题意, 当 a=-3 时,A∩B={9}. 所以 a=-3. 12.(2015?福州一模)已知集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|2m<x<1-m}. (1)当 m=-1 时,求 A∪B; (2)若 A? B,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-2<x<2},
2 2

x

x

2

x

4

16

则 A∪B={x|-2<x<3}. 1-m>2m, ? ? (2)由 A? B 知?2m≤1, ? ?1-m≥3,

解得 m≤-2,

即实数 m 的取值范围为(-∞,-2]. (3)由 A∩B=?,得 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 ? ?m< , 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时,需? 3 3 ? ?1-m≤1 1 1 得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上知 m≥0,即实数 m 的取值范围为[0,+∞). 1 ? ?m< , 或? 3 ? ?2m≥3,

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

对应学生用书P8

基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的 相互关系. (二)小题查验 1.判断正误 (1)“x +2x-3<0”是命题( (2)“sin 45°=1”是真命题(
2

) ) ) )

(3)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”(

(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( 答案:(1)? (2)? (3)? (4)√

2.(人教 A 版教材习题)已知命题:若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实数根.则其逆否命
17

2

题为____________________________________. 答案:若方程 x +x-m=0 无实根,则 m≤0 基础盘查二 充分条件与必要条件 (一)循纲忆知 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件( ) )
2

(2)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立( (3)q 不是 p 的必要条件时,“p? / q”成立( 答案:(1)√ (2)√ (3)√ 2.(人教 A 版教材练习)在下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x =3x+4,q:x= 3x+4; (2)p:x-3=0,q:(x-3)(x-4)=0; (3)p:b -4ac≥0(a≠0),q:ax +bx+c=0(a≠0)有实根. 答案:(1)必要 (2)充分 (3)充要
2 2 2

)

对应学生用书P8

考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. [提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前 提不动. [题组练透] 1.命题“若 x +3x-4=0,则 x=4”的逆否命题及其真假性为(
2

)
18

A.“若 x=4,则 x +3x-4=0”为真命题 B.“若 x≠4,则 x +3x-4≠0”为真命题 C.“若 x≠4,则 x +3x-4≠0”为假命题 D.“若 x=4,则 x +3x-4=0”为假命题 解析:选 C 根据逆否命题的定义可以排除 A,D,因为 x +3x-4=0,所以 x=4 或-1, 故选 C. 2.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 解析:对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x)=logax 在其定义域内是增函 数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命 题的逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M, 则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案:②④ [类题通法] 1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即 得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否 命题. 2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断. 考点二 充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.充分条件与必要条件的相关概念 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p? q,但 q? / p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)如果 p? q,且 q? p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q? p,且 p? / q,则 p 是 q 的必要不充分条件; (5)如果 p? / q,且 q? / p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 2.从集合角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 A={p(x)},B={q(x)},则关于
19
2 2 2 2

2

充分条件、必要条件又可以叙述为: (1)若 A? B,则 p 是 q 的充分条件; (2)若 A? B,则 p 是 q 的必要条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件; (5)若 A?B,则 p 是 q 的必要不充分条件; (6)若 A?

B 且 A?B,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件.

[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p? q”?“q?p”. (2)传递性: 若 p 是 q 的充分(必要)条件, q 是 r 的充分(必要)条件, 则 p 是 r 的充分(必 要)条件,即“p? q 且 q? r”? “p? r”(“p?q 且 q?r”? “p?r”). [典题例析] 1. (2014?浙江高考)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC, BD, 则“四边形 ABCD 为菱形” 是“AC⊥BD”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:选 A 当四边形 ABCD 为菱形时,必有对角线互相垂直,即 AC⊥BD.当四边形 ABCD 中 AC⊥BD 时, 四边形 ABCD 不一定是菱形, 还需要 AC 与 BD 互相平分. 综上知, “四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 2.给定两个命题 p,q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 由 q? 綈 p 且綈 p? / q 可得 p? 綈 q 且綈 q? / p,所以 p 是綈 q 的充分不必要 条件. [类题通法] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法各适 用于不同的类型,定义法适用于定义、定理判断性问题,而集合法多适用于命题中涉及字母 的范围的推断问题,等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否 命题来判断. [提醒] 区别 A 是 B 的充分不必要条件(A? B 且 B? /A)与 A 的充分不必要条件是 B(B? A 且 A? /B)两者的不同. [演练冲关] 1.若 p:|x|=x,q:x +x≥0.则 p 是 q 的( A.充分不必要条件
2

)

B.必要不充分条件
20

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 A p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,

q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0 或 x≤-1}=B,
∵A?B, ∴p 是 q 的充分不必要条件. π 2.(2015?石家庄第一次模拟)若命题 p:φ = +kπ ,k∈Z,命题 q:f(x)=sin(ω x 2 +φ )(ω ≠0)是偶函数,则 p 是 q 的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

π 解析:选 A 当 φ = +kπ ,k∈Z 时,f(x)=±cos ω x 是偶函数,所以 p 是 q 的充 2 π 分条件;若函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω ≠0)是偶函数,则 sin φ =±1,即 φ = +kπ , 2

k∈Z,所以 p 是 q 的必要条件,故 p 是 q 的充要条件,故选 A.
考点三 充分必要条件的应用(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 已知 P={x|x -8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的 必要条件,求 m 的取值范围. [解] 由 x -8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S? P. 1-m≤1+m, ? ? 则?1-m≥-2, ? ?1+m≤10,
2 2

∴0≤m≤3.

所以当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3].

[题点发散 1] 本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解:若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
?1-m=-2, ? ∴? ? ?1+m=10,

∴?

?m=3, ? ? ?m=9,

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. [题点发散 2] 本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

21

解:由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P? S 且 S ? / P. ∴[-2,10]?[1-m,1+m].
? ?1-m≤-2, ∴? ? ?1+m>10 ? ?1-m<-2, 或? ? ?1+m≥10.

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). [类题通法] 利用充要条件求参数的值或范围,关键是合理转化条件,准确地将每个条件对应的参数 的范围求出来,然后转化为集合的运算,一定要注意区间端点值的检验.其思维方式是: (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p? q 且 q? / p; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p? / q,且 q? p; (3)若 p 是 q 的充要条件,则 p?q.

对应B本课时跟踪检测?二?

一、选择题 1.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 B M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},所以 N?M,故 a∈M 是 a∈N 的必要不充 分条件. 2.(2014?陕西高考)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命 题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 B.假,假,真 D.假,假,假 )

解析:选 B 原命题正确,所以逆否命题正确.模相等的两复数不一定互为共轭复数, 同时因为逆命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.故选 B. π 3.命题“若△ABC 有一内角为 ,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( 3 A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 )

22

解析:选 D 原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列,则△

ABC 有一内角为 ”,它是真命题.
4.(2014?湖北高考)设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC 是

π 3

A∩B≠?”的(

)

A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 解析:选 C 若存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC,则可以推出 A∩B=?;若 A∩B=?,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C,同时满足 A? C,B? ?UC.

故“存在集合 C 使得 A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的充要条件. 5.命题“任意 x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 C.a≥5
2 2

)

B.a≤4 D.a≤5

解析:选 C 命题“任意 x∈[1,2],x -a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4.故其充分 不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为 C. 6.在命题 p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为

f(p),已知命题 p:“若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则 a1b2- a2b1=0”.那么 f(p)等于(
A.1 C.3 ) B. 2 D. 4

解析:选 B 原命题 p 显然是真命题,故其逆否命题也是真命题.而其逆命题是:若 a1b2 -a2b1=0,则两条直线 l1 与 l2 平行,这是假命题,因为当 a1b2-a2b1=0 时,还有可能 l1 与

l2 重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故 f(p)=2.
二、填空题 7.在命题“若 m>-n,则 m >n ”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是 ________. 解析:原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,则否命题也是假 命题.故假命题的个数为 3. 答案:3 8.已知 p(x):x +2x-m>0,若 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围
23
2 2 2

为________. 解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,解得 m≥3;又 p(2)是真命题,所以 4+4 -m>0,解得 m<8.故实数 m 的取值范围是[3,8). 答案:[3,8) 9.下列命题: ①若 ac >bc ,则 a>b; ②若 sin α =sin β ,则 α =β ; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 解析:对于①,ac >bc ,c >0,∴a>b 正确; 对于②,sin 30°=sin 150°? / 30°=150°,所以②错误; 对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a? a=0 且 A1C2≠A2C1,所以③正确; ④显然正确. 答案:①③④ 10.已知 α :x≥a,β :|x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范 围为________. 解析:α :x≥a,可看作集合 A={x|x≥a}, ∵β :|x-1|<1,∴0<x<2, ∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}. 又∵α 是 β 的必要不充分条件, ∴B?A,∴a≤0. 答案:(-∞,0] 三、解答题 11.写出命题“若 a≥0,则方程 x +x-a=0 有实根”的逆命题,否命题和逆否命题, 并判断它们的真假. 解:逆命题:“若方程 x +x-a=0 有实根,则 a≥0”. 否命题:“若 a<0,则方程 x +x-a=0 无实根.” 逆否命题:“若方程 x +x-a=0 无实根,则 a<0”. 其中,原命题的逆命题和否命题是假命题,逆否命题是真命题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ? 3 ?3 ? 2 12.已知集合 A=?y?y=x - x+1,x∈? ,2? 2 ?4 ? ? ?
“x∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围.

? ?,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是 ?

24

3 ? 3?2 7 2 解:y=x - x+1=?x- ? + , 2 ? 4? 16 7 ?3 ? ∵x∈? ,2?,∴ ≤y≤2, 4 16 ? ?
? ? ?7 ∴A=?y? ≤y≤2 ? ? ?16
2

? ? ?. ? ?
2

由 x+m ≥1,得 x≥1-m , ∴B={x|x≥1-m }. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 7 2 ∴A? B,∴1-m ≤ , 16 3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3? ?3 ? ? 故实数 m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 4? ?4 ? ?
2

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

对应学生用书P10

基础盘查一 简单的逻辑联结词 (一)循纲忆知 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题( (2)若 p∧q 为真,则 p 为真或 q 为真( ) ) )

(3)p∧q 为假的充要条件是 p,q 至少有一个为假( 答案:(1)√ (2)? (3)√ 2.(人教 A 版教材练习改编)判断下列命题的真假: (1)矩形的对角线互相垂直且平分. (2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直. 答案:(1)假命题 (2)假命题

基础盘查二 全称命题和特称命题 (一)循纲忆知
25

1.理解全称量词与存在量词的意义. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. (二)小题查验 1.判断正误 (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词( ) )

(2)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词( (3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词( (4)? x0∈M,p(x0)与? x∈M,綈 p(x)的真假性相反( 答案:(1)? (2)? (3)√ (4)√ ) )

2.(人教 A 版教材例题改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为 ________________________. 答案:存在两个等边三角形,它们不相似 3.(2015?淄博实验中学模拟)设命题 p:? a>0,a≠1,函数 f(x)=a -x-a 有零点, 则綈 p:______________________. 解析:全称命题的否定,把全称量词写成存在量词,同时把结论否定.故綈 p:? a>0,
x

a≠1,函数 f(x)=ax-x-a 没有零点.
答案:? a>0,a≠1,函数 f(x)=a -x-a 没有零点
x

对应学生用书P10 考点一 全称命题与特称命题的真假判断(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] (1)全称命题:含有全称量词(所有、一切、任意、全部、每一个等)的命题,叫做全称命 题;“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:? x∈M,p(x). (2)特称命题:含有存在量词(存在一个、至少一个、有些、某些等)的命题,叫做特称命 题;“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为:? x0∈M,p(x0). [题组练透] 1.(2015?皖南八校联考)下列命题中,真命题是( A.存在 x0∈R,sin
2 0

)

x

2

+cos

2 0

x

1 = 2 2

B.任意 x∈(0,π ),sin x>cos x C.任意 x∈(0,+∞),x +1>x D.存在 x0∈R,x0+x0=-1 解析:选 C 对于 A 选项:? x∈R,sin +cos =1,故 A 为假命题;对于 B 选项:存 2 2
2 2 2

x

2

x

26

π 1 3 ? 1? 在 x= , sin x= , cos x= , sin x<cos x, 故 B 为假命题; 对于 C 选项: x2+1-x=?x- ? 6 2 2 ? 2?
2

3 ? 1?2 3 2 + >0 恒成立,C 为真命题;对于 D 选项:x +x+1=?x+ ? + >0 恒成立,不存在 x0∈R, 4 ? 2? 4
2

使 x0+x0=-1 成立,故 D 为假命题. 2.设非空集合 A,B 满足 A? B,则以下表述正确的是( A.? x0∈A,x0∈B C.? x0∈B,x0?A B.? x∈A,x∈B D.? x∈B,x∈A )

解析:选 B 根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得 B 正确. [类题通法] 全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 全称命题 真假 真 假 真 假 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真

特称命题

[提醒] 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否 定的真假. 考点二 含有一个量词的命题的否定(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M,綈 p(x0) ? x∈M,綈 p(x)

[题组练透] 1.(2014?天津高考)已知命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1,则綈 p 为( A.? x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.? x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.? x>0,总有(x+1)e ≤1 D.? x≤0,总有(x+1)e ≤1 解析: 选 B “? x>0, 总有(x+1)e >1”的否定是“? x0>0, 使得(x0+1)ex0≤1”. 故 选 B. 2.写出下列命题的否定并判断其真假:
x x x x

)

27

(1)p:不论 m 取何实数值,方程 x +mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:? x0∈N,x0-2x0+1≤0. 解:(1)綈 p:存在一个实数 m0,使方程 x +m0x-1=0 没有实数根. 因为该方程的判别式 Δ =m0+4>0 恒成立, 故綈 p 为假命题. (2)綈 p:所有的三角形的三条边不全相等. 显然綈 p 为假命题. (3)綈 p:有的菱形的对角线不垂直. 显然綈 p 为假命题. (4)綈 p:? x∈N,x -2x+1>0. 显然当 x=1 时,x -2x+1>0 不成立, 故綈 p 是假命题.
2 2 2 2 2

2

[类题通法] 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时, 一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论, 而一般命题的否定只需直接否定结论即可. [提醒] 对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的隐含的量词,改写成含量词的完整形 式,再写出命题的否定. 考点三 含有逻辑联结词的命题的真假判断(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 确定 p∧q,p∨q,綈 p 真假的方法:

p∧q→见假即假,p∨q→见真即真,p 与綈 p→真假相反.
[典题例析] (2014?湖南高考)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x >y .在命 题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ )
2 2

解析:选 C 当 x>y 时,-x<-y,故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题. 当 x>y 时,x >y 不一定成立,故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题. 由真值表知,①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(綈 q)为真命题;④(綈 p)∨q 为假命题.故选 C.
28
2 2

[类题通法] 若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假,其步骤如下: (1)判断复合命题的结构; (2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假; (3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法,作出判断即可. [演练冲关] (2015?唐山统考)已知命题 p: ? x∈R, x <x ; 命题 q: ? x0∈R, sin x0-cos x0=- 2. 则下列命题中为真命题的是( A.p∧q C.p∧綈 q
3 4 3 4

) B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q

解析:选 B 若 x <x ,则 x<0 或 x>1,∴命题 p 为假命题;若 sin x-cos x= 2 π 3π 7π ? π? sin?x- ?=- 2,则 x- = +2kπ (k∈Z),即 x= +2kπ (k∈Z),∴命题 q 为真 4? 4 2 4 ? 命题,∴綈 p∧q 为真命题. 考点四 利用复合命题的真假求参数范围(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 已知命题 p:关于 x 的不等式 a >1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题 q:函数 y= lg(ax -x+a)的定义域为 R,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. [解] 由关于 x 的不等式 a >1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知 0<a<1; 由函数 y=lg(ax -x+a)的定义域为 R, 知不等式 ax -x+a>0 的解集为 R, 则?
? ?a>0, ?Δ =1-4a <0, ?
2 2 2 2

x

x

1 解得 a> . 2

因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 所以 p 和 q 一真一假,即“p 假 q 真”或“p 真 q 假”,

a≤0或a≥1, ? ? 故? 1 a> ? ? 2
1 解得 a≥1 或 0<a≤ , 2

0<a<1, ? ? 或? 1 a≤ , ? ? 2

? 1? 故实数 a 的取值范围是?0, ?∪[1,+∞). ? 2?

29

[题点发散 1] 本例条件不变,若 p∧q 为真,则 a 的取值范围为________. 解析:由 p∧q 为真知 p,q 都为真.

?1 ? ∴a 的取值范围为? ,1?. ?2 ? ?1 ? 答案:? ,1? ?2 ?
[题点发散 2] 在本例条件下,若命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真,求实数 a 的取值范围. 解:由命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真知 p 假,q 真,

p 假,a≤0 或 a≥1;q 真,a> .
∴实数 a 的取值范围为[1,+∞). [题点发散 3] 若本例条件变为:已知命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ”;命题 q:“? x0 ∈R,使得 x0+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 解:若命题“p∧q”是真命题,那么命题 p,q 都是真命题. 由? x∈[0,1],a≥e ,得 a≥e; 由? x0∈R,使 x0+4x0+a=0, 知 Δ =16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 则实数 a 的取值范围为[e,4]. [类题通法] 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
2 2

1 2

x

x

对应A本课时跟踪检测?三?

一、选择题 1 1.已知命题 p:? x0∈R,sin x0< x0,则綈 p 为( 2 1 A.? x0∈R,sin x0= x0 2 1 C.? x0∈R,sin x0≥ x0 2 )

1 B.? x∈R,sin x< x 2 1 D.? x∈R,sin x≥ x 2

1 解析:选 D 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈 p:? x∈R,sin x≥ x. 2 2.(2014?重庆高考)已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;
30

q:x=1 是方程 x+2=0 的根.
则下列命题为真命题的是( A.p∧綈 q C.綈 p∧綈 q ) B.綈 p∧q D.p∧q

解析:选 A 由题意知命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,故綈 p 是假命题,綈 q 是真 命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知 p∧綈 q 是真命题.故选 A. 3.若命题“? x0∈R,x0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,3] C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
2 2

)

B.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
2

解析:选 D 因为命题“? x0∈R,x0+(a-1)x0+1<0”等价于 x0+(a-1)x0+1=0 有 两个不等的实根,所以 Δ =(a-1) -4>0,即 a -2a-3>0,解得 a<-1 或 a>3,故选 D. 4.已知命题 p:? x0∈R,x0-2>lg x0;命题 q:? x∈R,x +x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题;④命题“p∨綈 q”是假命题. 其中所有正确结论的序号为( A.②③ C.①③④ ) B.①④ D.①②③
2 2 2

解析:选 D 对于命题 p,取 x0=10,则有 10-2>lg 10,即 8>1,故命题 p 为真命题; 对于命题 q,方程 x +x+1=0,Δ =1-4?1<0,故方程无解,即? x∈R,x +x+1>0, 所以命题 q 为真命题. 综上“p∧q”是真命题, “p∧綈 q”是假命题, “綈 p∨q”是真命题, “p∨綈 q”是真命题,即正确的结论为①②③. 5.下列命题中错误的个数为( )
2 2

①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题; ②“x>5”是“x -4x-5>0”的充分不必要条件; ③命题 p:? x0∈R,x0+x0-1<0,则綈 p:? x∈R,x +x-1≥0; ④命题“若 x -3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x - 3x+2≠0”. A.1 C.3 B. 2 D. 4
2 2 2 2 2

解析:选 B 对于①,若 p∨q 为真命题,则 p,q 至少有一个为真,即可能有一个为假, 所以 p∧q 不一定为真命题,所以①错误;对于②,由 x -4x-5>0 可得 x>5 或 x<-1, 所以“x>5”是“x -4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据特称命题 的否定为全称命题,可知③正确;对于④,命题“若 x -3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆
31
2 2 2

否命题为“若 x≠1 且 x≠2,则 x -3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为 2, 故选 B. 6.(2015?太原模拟)已知命题 p:? x0∈R,ex0-mx0=0,q:? x∈R,x +mx+1≥0, 若 p∨(綈 q)为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.R )
2

2

B.[0,2] D. ?

解析:选 B 若 p∨(綈 q)为假命题,则 p 假 q 真.命题 p 为假命题时,有 0≤m<e;命 题 q 为真命题时,有 Δ =m -4≤0,即-2≤m≤2.所以当 p∨(綈 q)为假命题时,m 的取值范 围是 0≤m≤2. 二、填空题 7.命题 p 的否定是“对所有正数 x, ________________________. 解析:因为 p 是綈 p 的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可. 答案:? x0∈(0,+∞), x0≤x0+1 8.若“x∈[2,5]或 x∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题,则 x 的取值范围是________.
? ?x<2或x>5, 解析:根据题意得? ?1≤x≤4, ?
2

x > x + 1” , 则 命 题 p 可 写 为

解得 1≤x<2,故 x∈[1,2).

答案:[1,2) 9.若命题“? x∈R,ax -ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 a=0 时,不等式显然成立;
? ?a<0, 当 a≠0 时,由题意知? 2 ?Δ =a +8a≤0, ?
2

得-8≤a<0.

综上,-8≤a≤0. 答案:[-8,0] 10.下列结论: 1 2 ①若命题 p:? x0∈R,tan x0=2;命题 q:? x∈R,x -x+ >0.则命题“p∧(綈 q)” 2 是假命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③“设 a,b∈R,若 ab≥2,则 a +b >4”的否命题为:“设 a,b∈R,若 ab<2,则 a +b ≤4”. 其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上) 解析:在①中,命题 p 是真命题,命题 q 也是真命题,故“p∧(綈 q)”是假命题是正确
2 2 2 2

a b

32

的.在②中 l1⊥l2?a+3b=0,所以②不正确.在③中“设 a,b∈R,若 ab≥2,则 a +b >4” 的否命题为:“设 a,b∈R,若 ab<2,则 a +b ≤4”正确. 答案:①③ 三、解答题 11.已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x +
2 2 2 2

2

2

ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,求实数 a 的取值范围.
解:命题 p 等价于 Δ =a -16≥0,即 a≤-4 或 a≥4; 命题 q 等价于- ≤3,即 a≥-12. 4 由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假. 若 p 真 q 假,则 a<-12; 若 p 假 q 真,则-4<a<4. 故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). 12.设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0.
?x -x-6≤0, ? q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?
2 2 2 2

a

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解:由 x -4ax+3a <0,a>0 得 a<x<3a, 即 p 为真命题时,a<x<3a,
?x -x-6≤0, ? 由? 2 ?x +2x-8>0, ?
2 2 2

?-2≤x≤3, ? 得? ?x>2或x<-4, ?

即 2<x≤3,即 q 为真命题时 2<x≤3. (1)a=1 时,p:1<x<3. 由 p∧q 为真知 p、q 均为真命题,

?1<x<3, 则? ?2<x≤3,

得 2<x<3,

所以实数 x 的取值范围为(2,3). (2)设 A={x|a<x<3a},B={x|2<x≤3}, 由题意知 p 是 q 的必要不充分条件, 所以 B?A,
?0<a≤2, ? 有? ? ?3a>3,

∴1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围为(1,2].
33

见课时跟踪检测A本

命题点一 集合及其运算 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014?四川高考)已知集合 A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B= ( ) A.{-1,0} C.{-2,-1,0,1} B.{0,1} D.{-1,0,1,2}

解析:选 D 化简集合 A 得 A={x|-1≤x≤2},因为集合 B 为整数集,所以 A∩B={- 1,0,1,2}. 2.(2014?辽宁高考)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)= ( ) A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

解析:选 D ∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0 或 x≥1}. ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}. 3.(2013?大纲卷)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( A.3 C.5 ) B. 4 D. 6

解析:选 B 由集合中元素的互异性,可知集合 M={5,6,7,8},所以集合 M 中共有 4 个 元素. 4. (2014?福建高考)若集合{a, b, c, d}={1,2,3,4}, 且下列四个关系: ①a=1; ②b≠1; ③ c = 2 ;④ d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a , b , c , d) 的个数是 ________. 解析:若①正确,则②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都 不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确, 则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数 组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是 6. 答案:6
34

命题点二 充要条件 难度:中、低

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题

1.(2014?北京高考)设 a,b 是实数,则“a>b”是“a >b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

2

)

2 2 2 2 解析:选 D 设 a=1,b=-2,则有 a>b,但 a <b ,故 a>b? /a >b ;设 a=-2,b

=1,显然 a >b ,但 a<b,即 a >b ? /a>b.故“a>b”是“a >b ”的既不充分也不必要条
2 2 2 2 2 2

件. 2.(2014?北京高考)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 D {an}为递增数列,则 a1>0 时,q>1;a1<0 时,0<q<1.q>1 时,若 a1< 0,则{an}为递减数列.故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选 D. 3.(2014?新课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=

x0 是 f(x)的极值点,则(

)

A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析:选 C 当 f′(x0)=0 时,x=x0 不一定是 f(x)的极值点,比如,y=x 在 x=0 时,
3

f′(0)=0,但在 x=0 的左右两侧 f′(x)的符号相同,因而 x=0 不是 y=x3 的极值点.
由极值的定义知,x=x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)=0.综上知,p 是 q 的必要条件, 但不是充分条件. 4. (2014?福建高考)直线 l: y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1” 1 是“△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

解析:选 A 若 k=1,则直线 l:y=x+1 与圆相交于(0,1),(-1,0)两点,所以△OAB

35

1 1 1 1 的面积 S△OAB= ?1?1= ,所以“k=1”? “△OAB 的面积为 ”;若△OAB 的面积为 ,则 k 2 2 2 2 1 1 =±1,所以“△OAB 的面积为 ”? / “k=1”,所以“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充 2 2 分而不必要条件,故选 A. 5.(2013?安徽高考)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递 增”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 当 a=0 时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax -x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递 增,如图(1)所示;
2

当 a>0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax -x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后 减再增,不符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需 a≤0. 即“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.

2

命题点三 四种命题及其关系 难度:低

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2013?陕西高考)设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z ≥0,则 z 是实数 B.若 z <0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z ≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z <0
2 2 2 2

)

解析:选 C 实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a -b +2abi,由 z ≥0,得? 项 C 为假,选项 D 为真.
2 2 2

2

?ab=0, ? ? ?a -b ≥0,
2 2

则 b=0,故选项 A 为真,同理选项 B 为真;选

36

π 2.(2012?湖南高考)命题“若 α = ,则 tan α =1”的逆否命题是( 4 π A.若 α ≠ ,则 tan α ≠1 4 π C.若 tan α ≠1,则 α ≠ 4 π B.若 α = ,则 tan α ≠1 4 D.若 tan α ≠1,则 α = π 4

)

解析:选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若 π π α = ,则 tan α =1”的逆否命题是“若 tan α ≠1,则 α ≠ ”. 4 4 命题点四 含有逻辑联结词的命题 难度:中、低 命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1. (2014?辽宁高考)设 a, b, c 是非零向量, 已知命题 p: 若 a?b=0, b?c=0, 则 a?c =0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q C.(綈 p)∧(綈 q) B.p∧q D.p∨(綈 q) )

??? ? ???? ???? 解析:选 A 如图,若 a= A b= AB ,c= B1B ,则 a?c≠0, 1A ,
命题 p 为假命题;显然命题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题.故选 A. 2.(2013?湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降 落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范 围”可表示为( ) B.p∨(綈 q) D.p∨q

A.(綈 p)∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q)

解析:选 A 綈 p:甲没有降落在指定范围;綈 q:乙没有降落在指定范围,至少有一位 学员没有降落在指定范围,即綈 p 或綈 q 发生.故选 A. 命题点五 全称量词和存在量词 难度:低 命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题

1.(2014?湖北高考)命题“? x∈R,x ≠x”的否定是( A.? x?R,x ≠x C.? x?R,x ≠x
2 2

2

)

B.? x∈R,x =x D.? x∈R,x =x
2 2

2

解析:选 D 全称命题的否定是特称命题:? x∈R,x =x,选 D. 2.(2012?辽宁高考)已知命题 p:? x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]?(x2-x1)≥0,则綈 p 是( )
37

A.? x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 B.? x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 C.? x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 D.? x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 解析:选 C 全称命题的否定是特称命题,故选 C.

38


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