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2015-2016高考数学总复习:7-7 数学归纳法(共42张PPT)(精品课件)(新人教版理科)


第 7 课时 数学归纳法 2014?考纲下载 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 请注意! 1.归纳——猜想——证明仍是高考重点. 2.与函数、数列、不等式等知识结合,在知识的交汇处命 题是热点. 1.数学归纳法的适证对象 数学归纳法是用来证明关于 正整数 命题的一种方法,若 n0 是起始值,则 n0 是 使命题成立的最小正整数 . 2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时,其步骤如下: (1)当 n= n0 (n0=N*)时,验证命题成立: +) k , ( k ≥ n , k ∈ N (2)假设 n= 时命题成立, 推证 n= k+1 时 0 + n ≥ n , n ∈ N 0 命题也成立,从而推出对所有的 命题成立,其中 第一步是 归纳基础 ,第二步是 归纳递推 二者缺一不可. 1 1 1 127 1. 用数学归纳法证明不等式 1+2+4+?+ n-1> 64 (n∈N*) 2 成立,其初始值至少应取( A.7 C.9 答案 B ) B.8 D.10 1 1-2n 1 1 1 127 解析 1+2+4+?+ n-1= > 64 , 1 2 1-2 整理得 2n>128,解得 n>7. ∴初始值至少应取 8. 2. 满足 1×2+2×3+3×4+?+n(n+1)=3n2-3n+2 的自 然数 n 等于( A.1 C.1,2,3 答案 C ) B.1 或 2 D.1,2,3,4 3 .用数学归纳法证明: (n + 1) + (n + 2) +?+ (n + n) = n?3n+1? * ( n ∈ N )的第二步中,当 n=k+1 时等式左边与 n=k 时 2 的等式左边的差等于________. 答案 3k+2 解析 n=k+1 比 n=k 时左边变化的项为(2k+1)+(2k+2) -(k+1)=3k+2. 4.n 为正奇数时,求证:xn+yn 被 x+y 整除,当第二步假 设 n=2k-1 命题为真时,进而需证 n=________,命题为真. 答案 2k+1 例 1 1 1 1 用数学归纳法证明: + + +?+ 2×4 4×6 6×8 1 n = (其中 n∈N*). 2n?2n+2? 4?n+1? 1 1 【解析】 (1)当 n=1 时,等式左边= = , 2×4 8 1 1 等式右边= =8,∴等式成立. 4?1+1? (2)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立. 1 1 1 k 即 + +?+ = 成立,那么当 2×4 4×6 2k?2k+2? 4?k+1? 1 1 1 1 n=k+1 时, + + +?+ + 2×4 4×6 6×8 2k?2k+2? 1 2?k+1?[2?k+1?+2] 1 k = + 4?k+1? 4?k+1??k+2? k?k+2?+1 ?k+1?2 = = 4?k+1??k+2? 4?k+1??k+2? k+1 = , 4[?k+1?+1] 即 n=k+1 时等式成立. 由(1)、(2)可知,对任意 n∈N*等式均成立. 【答案】 略 探究 1 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关 键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有 多少项,项的多少与 n 的取值是否有关. 由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎 样的项. 思考题 1 0. 设数列 a1,a2,?,an,?中的每一项都不为 证明{an}为等差数列的充分必要条件是:

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