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黑龙江省哈尔滨第一中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


哈一中 2014---2015 学年度上学期期中考试
高一数学
命题人:高一备课组 一.选择题(每道题 5 分,共 60 分) 1.集合A= x ? N ? 4 ? x ? 1 ? 4, 且x ? 1 的真子集的个数为 ( A.32 B.31 C.16 D.15. 2. 下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是 ( A. y ? ( x ) 2 3.下列关

系式中正确的是 B.y= 3 x 3 (
1 3

考试时间:120 分钟

?

?



) D.y=

C.y= x 2 )

x2 x

?1? ?1? ?1? A. ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?5? ?2?
2 1

2 3

2 3

? 1 ?3 ? 1 ?3 ? 1 ?3 B. ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?5? ? 1 ?3 ? 1 ?3 ? 1 ?3 D. ? ? ? ? ? ? ? ? ?5? ?2? ?2?

2 2 1

1

2

2

? 1 ?3 ? 1 ?3 ? 1 ?3 C. ? ? ? ? ? ? ? ? ?5? ?2? ?2?
11 4
)

2

4.设函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 3 ,则 f ? ?2? 等于( A. ?1 B. C.1 D. ?

11 4

5.函数 y=

e x ? e?x ( 2

A.是奇函数,它在 R 上是减函数 C.是奇函数,它在 R 上是增函数
x

B.是偶函数,它在 R 上是减函数 D.是偶函数,它在 R 上是增函数

6.已知函数 f ( x) ? a (0 ? a ? 1) ,对于下列命题: ①若 x ? 0, 则0 ? f ( x) ? 1 ;②若 x ? 1, 则f ( x) ? a ;③若 f ( x1 ) ? f ( x2 ),则x1 ? x2 其中正确的命题 A.有 3 个
2

(

) B.有 2 个

C.有 1 个

D.不存在 )

7. 函数 f ( x) ? ax ? 2(a ? 3) x ? 1 在区间 ?? 2,?? ? 上递减,则实数 a 的取值范围是(

A . ?? ?,?3?
8.函数 A.3 9.方程 2 A.2
?x 2

B . ?? 3,0?

C . ?? 3,0 ?

D . ?? 2,0?


f ( x) ? ax3 ? bx ? 1( x ? R) ,若 f (?m) ? 2 ,则 f (m) 的值为(
B.0 C.-1 ) D.4 C.1 D.-2

? x ? 3 的实数解的个数为(
B.3

10. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? x3 , x1 , x 2 , x3 ? R , x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 , 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 的值(

) C.等于 0 D.正负都有可能 ( )

A.一定小于 0 11.函数 y ?

B.一定大于 0

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是 x

? ?) 上为增函数,且 f (5) ? 0 ,则不等式 12.设奇函数 f ( x ) 在 (0,
的解集为( )

f ( x) ? f (? x) ?0 x

0) ? (5, ? ?) A. (?5, ? 5) ? (5, ? ?) C. (??,
二.填空题(每道题 5 分,共 20 分) 13. 函数 f(x)=

? 5) ? (0, 5) B. (??, 0) ? (0, 5) D. (?5,

x 2 ?1 的值域为 ___________ x 2 ?1
? x2 ? 2 x ? 5

14.

2 求y? 3

??

的单调递增区间为__________

? 2? x , x ? 1, 1 ? 15. 设函数 f ( x) ? ? 3 , 则满足 f ( x ) = 的x的值为______________ 4 ? ? x, x ? 1. ?2
16 . 对 于 实 数 x , 符 号 ?x ? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 例 如 ?? ? ? 3, ?? 1.08? ? ?2 , 定 义 函 数

f ( x) ? x ? ?x ? ,则下列命题中正确的是

(填序号)

①函数 f ( x) 的最大值为 1;②函数 f ( x) 的最小值为 0; ③函数 G ( x) ? f ( x) ?

1 与 x 轴有无数多个交点;④函数 f ( x) 是增函数 2

三.解答题(共 70 分)

17. (10 分) 求下列各式的值。 (1) (2 ) 2 ? (?9.6) ? (3 )
0

1 4

1

3 8

?

2 3

(2) log3 ? (1.5) ?2 ;

4

27 ? lg 25 ? lg 4 3

18. (12 分) 已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x 2 ? x ? 1 ? 4 , 设集合 C ? x x ? bx ? c ? 0 ,
2 2

?

?

?

?

?

?

且满足 ( A ? B) ? C ? ? , ? A ? B? ? C ? R ,求实数 b、c 的值.

19. (12 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 (1)求 f ( x) 的解析式 (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ?

x ?1

1 2

20. (12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值; (2)判断函数 f ( x ) 的单调性

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(3)若对任意的 x ? R ,不等式 f ( x2 ? 2x) ? f (2 x2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

21. (12 分)已知函数 f (1) 求 a, b ;

(x ) ? 2 x ? 2 ax ?b ,且 f (1) ? 5 , f (2) ? 17
2 4

(2) 判断 f ( x) 的奇偶性;试判断 f ( x) 在 (??, 0? 上的单调性,并证明

22. (12 分) 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , f (0) ? 0 , 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 .且对任意的 a , b ? R 有 f ?a ? b ? ? f ?a ? ? f ?b ? 。 (1)证明: f (0) ? 1 ; (2) 证明: f ? x ? 是 R 上的增函数;

(3)若 f ? x ? ? f 2 x ? x

?

2

? ? 1 ,求 x 的取值范围。

哈一中 2014---2015 学年度上学期期中考试答案
高一数学
命题人:高一备课组 考试时间:120 分钟 一.选择题(每道题 4 分,共 48 分) 1.D 2. B 3.D 4.A 5. C 6. A 7. C 8. B 9.A 10. A 11.D 二.填空题(每道题 4 分,共 16 分) 13. ?? ?, ? 1? ? (1,??) 14. (1,??) 12.D

5 15. 4
16. ②③ 三.解答题(每题 9 分,共 36 分)

9 27 ? 3 ?2 3 2? 3 ?3? 3 ?2 17.解: (1)原式= ( ) 2 ? 1 ? ( ) 3 ? ( ) ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 3 ? ( ) 4 8 2 2 2 2
=

1

2

1

2

3 3 3 1 ? 1 ? ( ) ?2 ? ( ) ?2 ? 2 2 2 2
3

…………5 分

1 ? 34 1 7 ? lg(25 ? 4) ? log 3 3 4 ? lg10 2 ? ? ? 2 ? (2)原式= log 3 4 4 3

…………10 分

18.解: 因为 A={x|-2≤x≤1},B={x|1<x≤3}, 所以 A∪B={x|-2≤x≤3}, 又因为(A∪B)∩C=?,(A∪B)∪C=R, 所以 C={x|x>3 或 x<-2}, 则不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>3 或 x<-2}, 即方程 x +bx+c=0 的两根分别为-2 和 3, 则 b=-(3-2)=-1,c=3×(-2)=-6.
2 2

?? 2 ? x ?1 (x ? 0) ? (1)f (x ) ? ?0(x ? 0) 19. ?2 x ?1 (x ? 0) ? (2)?? ?,0?

20..解: (1)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f ( x ) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 x 1? 2 1 1 ?? ? x (2)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ?1 2?2 2 2 ?1 x ? y ? 2 在 (??, ??) 上为增函数 1 1 ∴ f ( x) ? ? ? x 在 (??, ??) 上为减函数。 2 2 ?1 (3)解法一:因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 , 1 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3 x 1? 2 解法二:由(Ⅰ)知 f ( x) ? .又由题设条件得: 2 ? 2 x ?1 2 2 1 ? 2t ?2t 1 ? 22 t ? k ? ?0, 2 2 2 ? 2t ?2t ?1 2 ? 22t ?k ?1 2 2 2 2 即 : (22t ?k ?1 ? 2)(1 ? 2t ?2t ) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(1 ? 22t ?k ) ? 0 , 1?
整理得

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

f (? x) ? 2 ? x ? 2 x ? f ( x) ,所以 f ( x) 是偶函数……6 分
f ( x) 在 (??, 0? 是减函数…………8 分

证明:设 x1 ? x 2 ? 0 ,即 ?x ? x 2 ? x1 ? 0

?y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x2 ? 2 ? x2 ? (2 x1 ? 2 ? x1 ) ? 2 x2 ? 2 x1 ? 1

2 x1 ? 2 x2 2 x1 ? x2

? (2 x2 ? 2 x1 )(1 ?

2

)? x1 ? x 2

(2 x2 ? 2 x1 )(2 x1 ? x2 ? 1) ……10 分 2 x1 ? x2

? x1 ? x 2 ? 0 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ,? 2 x1 ? 2 x2

又?x1 ? x 2 ? 0 ? 0 ? 2 x1 ? x2 ? 1 ,? 2
?

x ? x21

?1 ? 0

(2 x2 ? 2 x1 )(2 x1 ? x2 ? 1) ? 0 ,即 ?y ? 0 2 x1 ? x2


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