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平面向量的数量积-ppt


学习目标
?
? ? ? ? ?

1.了解平面向量的数量积的物理意义 2.掌握平面向量的数量积的概念 3.掌握平面向量的数量积的运算律 4.理解数量积的运算是不同于实数运算 的一种新的运算,注意它们的区别; 5.会用数量积的运算解决一些基本问题

b

1. 概 念:
(1)夹角: ?



a B b ?

? ? 非零向量a和b ,如图所示,

O A a ?AOB =? (0? ? ? ? 180?) 注:夹角是指从同一 ? ? 叫作a与b的夹角. 点出发的两个向量构 ? ? 成的较小的非负角记作 ? 1、? =0 时, a与b 同向; ?? ? ? ? a, b ? 2、? =180?时, a与b反向; ? ? ? ? ? 3、? =90 时, a与b垂直,记作a ? b.

b

2. 数量积:
(1)夹角: ? (2)数量积:

a B b ?

a ·b =| a || b |cos?

已知两个非零向量 a 和 b , 它们的夹角为? ,把数量 |a| · |b|cos?叫做a与b 的数量 积。(或内积) 记作:a · b

O

a

A

注意: 数量积:
?“

a ·b =| a || b |cos?

·”不能省略不写,也不能写为“×”,数 学中“ a × b”表示两个向量的向量积(或 外积) ?a ·b表示数量而不表示向量,与实数a ·b不 同, a+b 、 a-b表示向量;
?规定:

0 ·a=0,即零向量与任一向量垂直!

2. 几 何 意 义:
B b O B

数量积:

a ·b =| a || b |cos? B

θ
a

b
B1

θ
O
a

b

θ
a

A

B1

A

O

A

| b |cos ??0

| b |cos ??0

| b |cos ??0

O

B

A

B O

A

| b |cos ???b?

| b |cos ?= ??b?

数量积 a ·b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方 向上的投影| b |cos ?的乘积.

3.性 质:

a ·b =| a || b |cos?

设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单 位向量,?是a与e的夹角,则 ? a⊥b??= 2 ?cos?=0 (1) e ·a = a · e= | a |cos?. ?| a || b |cos?=0 (2)a⊥b? a ·b =0. ? a ·b =0

(3)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a· b=-|a||b|

特别地a ·a =a 2=| a |2或| a |=√a ·a .
a ·b (4)cos?= |a| |b|

(5)| a ·b |≤| a || b |.

向量a与b共线 ? | a ·b |=| a || b |

4.运算律
(1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( ? a ) ·b=?( a ·b )= a ·( ? b );

(3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c;

例1 辨析题:
1.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
2.(a ·b) c=a (b ·c).

3.若a2+b2=0,则a=b=0
4.若 |a ·b|≥|a| ·|b|, 则a∥b. 向量的数量积不 满足结合律和消 去律

?. 已知|a|=5,|b|=4, a和b的夹角为60°,求a· b.
a ·b=|a|· |b|cos ? =5×4×cos60° =10

变式练习:若θ=120 °呢? θ=90°呢?

Δ.

设|a|=12,|b|=9, a· b=-54√2 求a和b的夹角.
- 54 √2 a ·b = cos?= |a|· |b| 12×9 -√2 ∴ ?=135° cos? =

2

变式练习: 若a· b=54√3 呢?

*. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a· b <0, a· b =0时, △ ABC各是什么三角形?
当a ·b<0时, cos?<0,为钝角三角形 当a ·b=0时,为直角三角形

对功W=|F||s|cos?结构分析
抽 象

几何 意义

数形 结合

平面向量数量积的定义 → → a ·b=| a | | b | cos ? 公 式 变 形 特 殊 化

五条重要性质

五、作 业
1.书P106 练习1,2,3 2.思考题:你能用平面向量的数量积来表示三角 形的面积吗? B a C A

b


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