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高中数学人教B版选修2-2同步练习: 2.1 第1课时合情推理


第二章
一、选择题

2.1

第 1 课时

1. 已知 a1=1, an+1>an, 且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0, 计算 a2, a3, 猜想 an=( A.n C.n3 [答案] B [解析] ∵a1=1,∴(a2-1)2-2(a2+1)+1=0, ∴a2(a2-4)=0,

又 an+1>an,∴a2=4,同理 a3=9. 猜测 an=n2.故选 B. 2.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,?的第 100 项的值是( A.13 C.15 [答案] B 13×?13+1? [解析] ∵1+2+3+4+5+?+13= =91,∴第 100 项的值是 14. 2 3.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质; ) B.14 D.16 ) B.n
2

)

D. n+3- n

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内 角和都是 180° ; ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸多边 形内角和是(n-2)· 180° . A.①② C.①②④ [答案] C [解析] ①是合情推理中的类比法,排除 D;②是归纳推理, 排除 B;④是归纳推理.故 选 C. 4.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an=2an-1+1,依次计算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的一个表达式是( A.n2-1 C.2n-1 [答案] C ) B.(n-1)2+1 D.2n 1+1


B.①③④ D.②④

[解析]

a2=2a1+1=2×1+1=3,

a3=2a2+1=2×3+1=7, a4=2a3+1=2×7+1=15,利用归纳推理,猜想 an=2n-1,故选 C. 5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) C.g(x) [答案] D [解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成 了奇函数,∴g(-x)=-g(x),选 D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理能力的考查. 6.我们把 4,9,16,25,?这些数称做正方形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个 正方形(如下图), B.-f(x) D.-g(x) )

则第 n-1 个正方形数是( A.n(n-1) C.n2 [答案] C

) B.n(n+1) D.(n+1)2

[解析] 第 n-1 个正方形数的数目点子可排成 n 行 n 列,即每边 n 个点子的正方形, ∴点数为 n2.故选 C. 7.根据给出的数塔猜测 123456×9+7 等于( )

1+9×2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 ? A.1111110 C.1111112 [答案] B 8.类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边; (2)中位线长等于底边的一半; B.1111111 D.1111113

(3)三内角平分线交于一点. 可得四面体的对应性质: (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的 ; 4 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点. 其中类比推理方法正确的有( A.(1) C.(1)(2)(3) [答案] C [解析] 以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推 理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.故选 C. 二、填空题 1 9.若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a、b、c,则三角形的面积 S= r(a+b+c),根 2 据类比思想,若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S1,S2,S3,S4,则四面体的体积 V=________. [答案] [解析] 都是 R, 1 ∴V= R(S1+S2+S3+S4). 3 10.如图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点间的“短线” 表示化学键,按图中结构,第 n 个图有________个原子,有________个化学键. 1 R(S +S2+S3+S4) 3 1 将球心与四面体连结,构成四个棱锥,棱锥底面积分别为 S1,S2,S3,S4,高 ) B.(1)(2) D.都不对

[答案]

4n+2 5n+1

[解析] 图①中有 6 个原子,6 个化学键;图②中增加了 4 个原子,5 个化学键;图③ 中又增加了 4 个原子,5 个化学键;设第 n 个图中原子个数为 an,化学键个数为 bn, 则 an=6+(n-1)×4=4n+2,bn=6+(n-1)×5=5n+1. 11.(2013· 陕西文,13)观察下列等式: (1+1)=2×1; (2+1)(2+2)=22×1×3; (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5; ??

照此规律,第 n 个等式可为________________________. [答案] (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1)

[解析] 观察规律,等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘,从 n+1 到 n+n,等式右端是 2n 与 等 差 数 列 {2n - 1} 前 n 项 的 乘 积 , 故 第 n 个 等 式 为 (n + 1)(n + 2)?(n + n) = 2n×1×3×?×(2n-1). 三、解答题 12.已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,有如下的性质: (1)通项 an=am+(n-m)· d(n>m,n,m∈N*) (2)若 m+n=p+q,其中,m、n、p、q∈N*,则 am+an=ap+aq. (3)若 m+n=2p,m,n,p∈N*,则 am+an=2ap. (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等差数列. 类比上述性质,在等比数列{bn}中,写出相类似的性质. [解析] 等比数列{bn}中,设公比为 q,前 n 项和为 Sn. (1)an=am· qn
-m

(n>m,n,m∈N*).

(2)若 m+n=p+q,其中 m,n,p,q∈N*, 则 am· an=ap· aq. (3)若 m+n=2p,其中,m,n,p∈N*,则 a2 an. p=am· (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(各项均不为零)构成等比数列.

一、选择题 π 1.设 0<θ< ,已知 a1=2cosθ,an+1= 2+an,则猜想 an=( 2 θ A.2cos n 2 θ C.2cos n+1 2 [答案] B [解析] ∵ a1 = 2cosθ , a2 = 2+2cosθ = 2 1+cosθ θ = 2cos , a3 = 2+2a2 = 2 2 θ B.2cos n-1 2 D.2sin θ 2n )

2

θ 1+cos 2 θ θ =2cos ??,猜想 an=2cos n-1.故选 B. 2 4 2 2.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列

哪些性质,你认为比较恰当的是(

)

①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;

③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. A.① C.①②③ [答案] C [解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角 B.①② D.③

(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对.故选 C. 3.把 3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成 一个正三角形(如下图),

试求第六个三角形数是( A.27 C.29 [答案] B

) B.28 D.30

n?n+1? [解析] 观察归纳可知第 n-1 个三角形数共有点数:1+2+3+4+?+n= 个, 2 7×?7+1? ∴第六个三角形数为 =28.故选 B. 2 4.(2013· 华池一中期中)平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和 为定值 A. C. 3 a,类比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( 2 4 a 3 5 a 4 B. D. 6 a 3 6 a 4 )

[答案] B [解析] 将正三角形一边上的高 3 6 a 类比到正四面体一个面上的高 a,由正三角形 2 3

“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”, 方法类比为“将四面 体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明. 二、填空题 5.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1?2,则它们的面积比为 1?4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长比为 1?2,则它们的体积比为________. [答案] 1?8

1 Sh V1 3 1 1 S1 h1 1 1 1 [解析] = = ·= × = . V2 1 S2 h2 4 2 8 S2h2 3 6.(2014· 三峡名校联盟联考)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个 不等式为__________________. ... 1 1 1 1 1 11 [答案] 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 [解析] 本题考查了归纳的思想方法. 观察可以发现, 第 n(n≥2)个不等式左端有 n+1 项, 分子为 1, 分母依次为 12、 22、 32、 ?、 1 1 1 (n+1)2;右端分母为 n+1,分子成等差数列,因此第 n 个不等式为 1+ 2+ 2+?+ 2 3 ?n+1?2 2n+1 < , n+1 所以第五个不等式为: 1 1 1 1 1 11 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 三、解答题 1 1 1 9 7.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立, A B C π 1 1 1 1 16 在四边形 ABCD 中,不等式 + + + ≥ 成立, A B C D 2π 1 1 1 1 1 25 在五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立,猜想在 n 边形 A1A2?An 中, A B C D E 3π 有怎样的不等式成立? 9 16 25 n2 [解析] 根据已知特殊的数值: 、 、 ,?,总结归纳出一般性的规律: (n≥3 π 2π 3π ?n-2?π 且 n∈N*). 1 1 1 n2 ∴在 n 边形 A1A2?An 中: + +?+ ≥ (n≥3 且 n∈N*). A1 A2 An ?n-2?π 3 8 . (2013· 西宁质检 ) 已知等式 sin210° + cos240° + sin10° cos40° = , sin26° + cos236° + 4 3 sin6° cos36° = .请写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含已知的等式,并证明结 4

论的正确性. 3 [解析] 等式为 sin2α+cos2(30° +α)+sinαcos(30° +α)= .证明如下: 4 sin2α+cos2(30° +α)+sinαcos(30° +α) = sin2α + 1+cos?60° +2a? cos?60° +2α? 1 + sinα(cos30° · cosα - sin30° · sinα) = + sin2α + + 2 2 2

3 1 1 11 3 3 1 1 1 3 sin2α- sin2α= +sin2α+ ( cos2α- sin2α)+ sin2α- sin2α= +sin2α+ cos2α- 4 2 2 22 2 4 2 2 4 4 sin2α+ 3 1 1 1 1 3 sin2α- sin2α= + sin2α+ (1-2sin2α)= . 4 2 2 2 4 4


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