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高屋建瓴 举一反三


高 屋建 瓴
江苏

举一反三
匡立柱

椭圆是高考的一个热点和难点, 同学们有必要对椭圆的练习作深度和广度的 思考和探索。 我仅就下面一道例题阐述不同的四种解法,希望同学们能丛这道题 的研究和探索中得到你自己独特的解决和处理椭圆问题的思想方法。
x2 y2 例题: 设椭圆 2 ? 2 ? 1, (a >b>0

)的左右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆上存 a b

在点 P ,使 ?F1 PF2 为钝角,求该椭圆离心率的取值范围。 ( 设?F1 PF2 ? ? )

PF ? PF2 ? F1 F2 解法一: , COS? ? 1 2PF1 ? PF2

2

2

2

y

<○

P

?
F1 F1 O F2 x

化简可得

4a 2 ? 4c 2 ? 2PF1 ? PF2 <○ 2PF1 ? PF2
4a 2 ? 4c 2 ? 2PF1 ? PF2 <○

化简可得

? PF ? PF ? 2 4a ? 4c < 2 PF1 ? PF2 ? 2? 1 ? ? 2a 2 ? ?
2 2

2

解得

? 2 ? ? e?? ? 2 ,1? ? ?

点评:解法一主要利用余弦定理和基本不等式以及椭圆的定义三项内容的合理综合运 用,从而达到解题的目的。

解法二:以 F1 F2 为直径作圆的方程,若圆与椭圆有多余一个的交点则 ?为钝角。

x2 ? y2 ? c2 ? a2 c2 ? b2 ? 2 2 2 >○ ?? x ? x y a2 ? b2 ? 2 ?1 ? 2 a b ?

?

?

化简可得

c2 > b2

解得

? 2 ? ? e?? ? 2 ,1? ? ?

点评:解法二充分发挥学生的空间想象能力以及对于圆中直径所对圆周角等于 90 度的 合理而恰当的运用,巧妙而简单的解决了问题。

解法三: COS? ? 当 PF1 ? PF2

PF1 ? PF2 ? F1 F2 4a 2 ? 4c 2 = ?1 2PF1 ? PF2 2PF1 ? PF2
, COS ? 值最小则角 ? 最大,只要 ? 为钝角就可以了。
2 2 2

2

2

2

可用勾股定理的推广:若 ? 为钝角, PF1 ? PF2 ? 2a 2 < F1 F2 ? 4c 2 解得
? 2 ? ? e?? ? 2 ,1? ? ?

解法四: COS? ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2PF1 ? PF2

2

2

2

<○

2 2 2 PF1 ? PF2 < F1 F2

利用椭圆焦半径公式 设 PF1 ? a ? ex0 ; PF2 ? a ? ex0

2 (a ? ex0 ) 2 + (a ? ex0 ) < 4c

2

所以 x0 ?

2c 2 ? a 2 e2



2c 2 ? a 2 >○ e2

所以

2c 2 > a 2

解得

? 2 ? ? e?? ? 2 ,1? ? ?

点评:解法三、解法四和解法一都有相同之处,都运用了余弦定理,不同之处对于角的 钝角证明处理上有所不同: 解法三更能体现学生对余弦定理的充分认识和综合利用, 达到意 想不到的效果; 解法四学生能对椭圆的第二定义有更加充分的理解和认识, 由第二定义从而 推倒出椭圆的焦半径公式,利用焦半径公式妥善解决问题。

对待每一道椭圆的题目, 如果我们总尝试从不同的方面观察和思考,我们可 能会得到各种不同的解法,长此以往,我们的解题能力不断提高,处理椭圆问题 也会得心应手。

邮编

222111 匡立柱

江苏省连云港市赣榆县海头高级中学


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