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对勾函数讲解与例题解析


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对勾函数
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数 f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。

的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要 注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如 f(x)=ax+错误!未找到引用源。 (接下来写作 f(x)=ax+b/x) 。 当 a≠0,b≠0 时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点, 对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a,b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y=ax 与双曲线 y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称“对勾函 数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号)

当 a,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成 的。 )

对勾函数的图像(ab 异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和 渐进线的位置有所改变罢了。
1

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接下来,为了研究方便,我们规定 a>0,b>0。之后当 a<0,b<0 时,根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当 x>0 时,错误!未找到引用源。 。 当 x<0 时,错误!未找到引用源。 。

即对勾函数的定点坐标: (三) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性 y

(五) 对勾函数的渐进线 O y=ax 由图像我们不难得到: X

(六)

对勾函数的奇偶性

:对勾函数在定义域内是奇函数,

二、均值不等式(基本不等式)
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。我们都知道, (a-b)^2≥0,展开就是 a^2-2ab+b^2≥0,有 a^2+b^2≥2ab,两边同时加上2ab,整理得到(a+b)^2≥4ab,同时开 根号,就得到了均值定理的公式:a+b≥2sqrt(ab) 。把 ax+b/x 套用这个公式,得到 ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab) , 这里有个规定:当且仅当 ax=b/x 时取到最小值,解出 x=sqrt(b/a) ,对应的 f(x)=2sqrt(ab) 。我们再来看看均值不等式, 它也可以写成这样: (a+b)/2≥sqrt(ab) ,前式大家都知道,是求平均数的公式。那么后面的式子呢?也是平均数的公 式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何 平均数。这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数 y ? x ? ?x ? 0? 最小值的解法
1 x
1. 均值不等式

? x ? 0 ,? y ? x ?
2. ? 法

1 1 。 ? 2 ,当且仅当 x ? ,即 x ? 1的时候不等式取到“=” ?当 x ? 1的时候, y min ? 2 x x

y ? x?

1 ? x 2 ? yx ? 1 ? 0 x
2

若 y 的最小值存在,则 ? ? y ? 4 ? 0 必需存在,即 y ? 2 或 y ? ?2 (舍)
2

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找到使 y ? 2 时,存在相应的 x 即可。通过观察当 x ? 1的时候, y min ? 2 3. 单调性定义 设 0 ? x1 ? x 2
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ?

x1 x 2 ?1 ? 1 1 1 ? ? ? ? x1 ? x 2 ??1 ? ? x x ? ? ? x1 ? x 2 ? x x ? x1 x 2 1 2 1 2 ? ?

当对于任意的 x1 ,x 2 ,只有 x1 ,x 2 ? ?0,1? 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,?此时 f ? x ? 单调递增; 当对于任意的 x1 ,x 2 ,只有 x1 ,x 2 ? ?1,?? ? 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,?此时 f ? x ? 单调递减。

?当 x ? 1取到最小值, y min ? f ?1? ? 2
4. 复合函数的单调性
y ? x? 1 ? 1 ? ?? x? ? ?2 ? x ? x? ?
2

t? x?

1 x

在 ?0,??? 单调递增, y ? t ? 2 在 ?? ?,0? 单调递减;在 ?0,??? 单调递增
2

又? x ? ?0,1? ? t ? ?? ?,0? x ? ?1,?? ? ? t ? ?0,??? 即当 x ? 1取到最小值, y min ? f ?1? ? 2

?原函数在 ?0,1? 上单调递减;在 ?1,?? ? 上单调递增

四、例题解析:
例 1、已知函数 ,

? x ?的值域. (2).x ? ? 2, 4? , 求f ? x ?的最小值. (3).x ? ? ?7, ?3? , 求f ? x ?的值域.
f
解:函数f (x) ? x ? 7 在 0, 7 , ? 7,0 递减 x 在 ? 7 , ? ? , ??, ? 7 ? 递增 ? ? (1).在x ? ?1, 2 ? 是减函数 ? f (2) ? f ( x ) ? f (1)

? x? ? x ?

7 x

(1).x ? ?1, 2? , 求f

?

?? ??

?



(2).分析知x ?

1 ? f ( x) ? 8 2

7 ? ? 2, 4? , f ( x)的最小值为f ( 7 )

?1 ? ? 值域为 ? , 8? ?2 ?

? f (x 练习:2.已知函数 )在x ?

(3).在x ? ? ?7, ?3? 是增函数 ? f ( ?7) ? f ( x) ? f ( ?3) 即-8 ? f ( x ) ? ?
f

? 2, 4? 最小值为2 7 ,求 f(x)的最小值,并求此时的 x 值.
16 3
x2 ? 5

16 ? ? ? x ? ? ?7, ?3? 值域为 ? ?8, 3 ? ? ?

? x? ?

x2 ? 4

3

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五、重点(窍门)
其实对勾函数的一般形式是: f(x)=ax+b/x(a>0) 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 值域为(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞) 当 x>0,有 x=根号 a,有最小值是2根号 a 当 x<0,有 x=-根号 a,有最大值是:-2根号 a 对勾函数的解析式为 y=x+a/x(其中 a>0) ,它的单调性讨论如下: 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2) (x1x2-a)/(x1x2) 下面分情况讨论 ⑴当 x1<x2<-根号 a 时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,所以函数在(-∞, -根号 a)上是增函数 ⑵当-根号 a<x1<x2<0时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,所以函数在(根号 a,0)上是减函数 ⑶当0<x1<x2<根号 a 时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,所以函数在(0, 根号 a)上是减函数 ⑷当根号 a<x1<x2时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,所以函数在(根号 a,+∞)上是增函数 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

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