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等差数列整理


等差数列知识整理
等差数列 定义 一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫等差数列 1、通项 基本 公式 3、等差中项 2、前 n 项和

1、 判定 方法 2、 3、 4、

{an } 为递增数列 ?
增减性

; ; ; 则 则

{an }

为递减数列 ? {an } 为常数列 ?

? 1、若 m+n=p+q(m,n,p,q ? N ), ? 特:若 m+n=2p(m,n,p, ? N ),
2、 a1

? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 是

数列;公差为



若 Sn , S2 n 等差(比) 数列的性 质

? Sn , ____________…成___________公_差为_______

3、若项数为 2n,则 S偶 ? S奇 4、若项数为 2n-1,

? ___________

S奇 ? __________, S偶 ? ___________
S奇 ? S偶 ? ________,
S2n?1 ? ________ .



S奇 ? ________, S偶

结论: 若 {an } 与 {bn } 均为等差数列,且前 n 项和分别为 S n 与 Tn , 则

am S ______ a ; m ? ? bm T______ bn

?

S ______ T______

1

典型例题: (一) 数列的概念
1、 已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数 λ 的最小值是________.

2.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中最大项的值是 1 A.107 B.108 C.108 D.109 8

(

)

3.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1· a2· a3…an=n2,则:a3+a5 等于( 25 A. 9 61 C. 16 25 B. 16 31 D. 15

)

4.已知数列{an}满足 an+1 6 A. 7

?0≤a < ?, ?2a 2? ? =? 1 ? ?2a -1 ? ?2≤a <1?.
n n n n

1

6 若 a1= ,则 a2 010 的值为( 7

)

5 3 1 B. C. D. 7 7 7 n- 98 思考:已知 an= ,则这个数列的前 30 项中最大项和最小项分别是( n- 99 A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30

)

(二)等差数列概念及等差中项
a 1. 一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则 等于 b 1 A. 4 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 3 ( ) ( )

2. 若 5,x,y,z,21 成等差数列,则 x+y+z 的值为 A.26 C.39 B.29 D.52

(三)通项公式
1、等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? 2. 若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求 a75 =
?1? 3.已知?a ?是等差数列,且 a4=6,a6=4,则 a10=______. ? n?

.

2

4.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是________.

(四)等差数列的性质 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64 ) ( )

2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值为( A.24 C.20 B.22 D.-8

1 3 在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- a8 的值为( ) 2 A.4 B.6 C.8 D.10 4.已知数列{an}为等差数列且 a1+a7+a13=4π,则 tan(a2+a12)的值为( ) A. 3 B.± 3 3 C.- D.- 3 3 5.设公差为-2 的等差数列{an},如果 a1+a4+a7+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99 等于( ) A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=________. 1 7.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 4 |m-n|=________.

(五)前 n 项和
1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a7+a11=6,则 S13 等于( A.24 B.25 C.26 D.27 2、在等差数列 {an } 中 S n ? 10 , S 2 n ? 30 ,则 S 3n ? )



3.若{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1>0,d<0,S4=S8,则 Sn>0 成立的最大自然 数 n 为( ) A.11 B.12 C.13 D.14
2 4、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn

3

5、设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 那么

Sn 3n ? 1 , ? Tn 4n ? 3

an ? ___________ bn

6、 (1)已知等差数列的前 10 项,奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则公差 d=_______ (2)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。

(3) 若 {an } 是等差数列, 首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 a2003 ? a2004 ? 0 , 成立的最大正整数 n 是

(4)在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a 10 | , S n 是其前 n 项和,则( A、 S1 , S2 B、 S1 , S2 C、 S1 , S2 D、 S1 , S2



S10 都小于 0, S11 , S12 都大于 0 S19 都小于 0, S20 , S21 都大于 0 S5 都小于 0, S6 , S7 都大于 0 S20 都小于 0, S21 , S22 都大于 0

(5) 【2014 高考北京版理第 12 题】若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? 时, {an } 的前 n 项和最大.

7.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a3· a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式 an; Sn (2)若数列{bn}是等差数列,且 bn= ,求非零常数 c. n+c

4


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