当前位置:首页 >> 数学 >>

史上最全的难题排列组合大全 (1)


史上最全的排列组合难题大总结
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 C3
1
1

然后排首位共有 C4

最后排其它位置共有 A4

/>3

1 1 3 由分步计数原理得 C4 C3 A4 ? 288

C4

1

A4

3

C3

1

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有 多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元
5 2 2 素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 ? 480 种不同的

排法

甲 乙

丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多 少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 种, 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素
4 中间包含首尾两个空位共有种 A 6 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有 A 5 5 A6

5

4

种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7 / A 3 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法, 其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理 方法
4 4
7 3

1

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 7 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 并从此位置把圆 形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 ! C D B
4
8 6

n

E F G H

A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 4 种,再排后 4
1 5 个位置上的特殊元素丙有 A 4 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 2 4 A 4 A5

2

1

5



前 排

后 排

一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 , 再分段研 究. 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不 能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装
2

2

2 4 入 4 个不同的盒内有 A 4 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5 A 4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题: 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任 务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位 数有多少个?
2 解: 把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法, 再排小集团内部共有 A 2 2 A 2 种排法, 2 2 由分步计数原理共有 A 2 2 A 2 A 2 种排法.

2

1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

3

练习题: 1 . 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 4幅油画 , 5幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一
5 4 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 A 2 2 A5 A 4
5 5 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 2 A5 A5 种

十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6 个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法 共有 C9 种分法。
6

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板, 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn?1 练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数
m?1

C94
3 C103

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C5 ,和为偶数的取
1 2 3 1 2 3 法共有 C5 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C5 C5 ? C5 C5 ? C5 ?9

3

1

2

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰. 练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
3

抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法?
2 2 2 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一 2 2 2 步 取 AB, 第 二 步 取 CD, 第 三 步 取 EF 该 分 法 记 为 (AB,CD,EF), 则 C6 C4 C2 中 还 有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3 种取法 ,而这些分法仅
2 2 2 3 是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 种分法。 C4 C2 / A 3

3

平均分成的组,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 组数)避免重复计数。 练习题:
5 4 2 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?( C13 ) C84C4 / A2

n

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安
2 2 2 2 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C4 C2 A 6 / A 2 ? 90 )

十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞 的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
2 2 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C3 C3 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员

1 1 2 C5 C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52C52 种,由分类计数原理共有
2 2 1 1 2 2 2 C3 C3 ? C5 C3C4 ? C5 C5 种。

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不 同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船 或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决 练习题: 某排共有 10 个座位, 若 4 人就坐, 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种? (120) 十五.实际操作穷举策略
4
3

例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要 求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如 果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号 球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C5 种
2 2

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果 练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡, 则四张贺年卡不同的 分配方式有多少种? (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种

1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积,
1 2 3 4 5 所有的偶因数为: C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5

练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线
4 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8 ?12 ? 58 ,每个四面体有

3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3 ? 58 ? 174 对异面直线 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 ,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解: 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列, 有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如 此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C1 种。 再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可 解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在 同一列的 3 人有 C5 C5 C3C2C1 选法。 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题
5
3 3 1 1 1 1 1 1

3

3

练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路径有多少
3 种?( C7 ? 35 )

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数?
5 4 3 2 1 解: N ? 2 A5 ? 2 A4 ? A3 ? A2 ? A1 ? 297

数字排序问题可用查字典法 , 查字典的法 应从高位向低位查 , 依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数 是 3140 十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中,则不同 N ? 10 的传球方式有______ 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i ? 1,2,3,4,5 )的不同坐法有 多少种? N ? 44 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均 有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

红 黄 兰

1 1 3

1 2 2

1 3 1

2 1 2

2 2 1

3 1 1

取法

1 1 C5 C4

1 2 C5 C4

1 3 C5 C4

1 C52 C3

C52 C32

3 1 C5 C2

一些复杂的分类选取题 ,要满足的条件比较多 , 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况 ,用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效 果. 二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复 的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 . 分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作 7 家“店”,五项冠 军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 种.
5

6

染色问题的计数方法
一、 区域染色问题
1. 根据乘法原理,对各个区域分步染色,这是处理这类问题的基本的方法。 例1 要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省(区)的地图染色(图 1) 每一省(区)一种颜色,只要求相邻的省(区)不同色,则不同染色的方法有多少种?

西 藏
分析 先给

青海 四川 云南
四川染色有 4 种方法,再给青海染色有 3 种

方法,接着给西藏染色有 2 种方法,最后给云南染色有 2 种方法,根据乘法原理,不同的染色 方法共有 4×3×2×2=48 种 2. 根据共用了多少种颜色分类讨论,分别计算出各种情形的种数,再用加法原理求出 不同年拾方法种数。 例 2 (2003 年全国高考题)如图 2,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻 区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?

2 3 4
分析 依题意至少要

1 5

图2

选用 3 种颜色。

(1)当选用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色,区域 3 与 5 必须同色,有 (2)当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色,则区域 3 与 5 不同色,有 则区域 2 与 4 不同色,有

A4 种。

3

A

4 4

种;若区域 3 与 5 同色,

A

4 4

种,故用四种颜色时共有 2
3

A
4 4

4 4

种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有

A4 +2 A

=24+2×24=72 种。

3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论, 从某两个不相邻区域同色与不同色入手, 分别计 算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同染色方法数。 例 3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内(图 3) ,每格涂一种颜 色,相邻的两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?

2 3 图3

1 4

7

(1)四格涂不同的颜色,方法数为

A

4 5



(2) 有且仅有两格涂相同的颜色, 即只有一组对角小方格涂相同颜色, 涂法种数为 2 (1)两组对角小方格涂相同颜色,涂法种数为 +

C A
5 1 5

1

2 4


2 4

A

2 5

。因此,所求的涂法种数为

A

4 5

+2

C A

A

2 5

=260 种

3.根据相间区域使用颜色的种类分类讨论 例 4 如图 4,一个六边形的 6 个区域 A、B、C、D、E、F,现给这 6 个区域着色,要求同一区

F A B E D C
域染同一种颜色,相邻的两个区域不得使用

图4

同一颜色,现有 4 种不同

的颜色可供选择,则有多少种不同的着色方法。 解: (1)当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时,有 4 种着色方法,此时,B、D、F 各有 3 种着色方法故有 4×3×3×3=108 种方法 (2)当相间区域 A、C、E 着两种不同颜色时,有 ×2 种着色方法,故共有

C A
3 3 4

2

2 4

种着色方法,此时 B、D、F 有 3×2

C A
3

2

2 4

×3×2×2=432 种着色方法。

(1)当相间区域 A、C、E 着三种不同颜色时,有 方法,此时共有

A

种着色方法,此时 B、D、F 各有 2 种着色

A

3 4

×2×2×2=192 种方法。

故总计有 108+432+192=732 种方法 二 点染色问题 点染色问题,要注意对各点依次染色,主要方法有: (1)根据共用了多少种颜色分类讨论; (2) 根据相对顶点是否同色分类讨论。 例 5 将一个四棱锥 S-ABCD 的每个顶点染上一种颜色, 并使 S 同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可供使用, 那么 不同的染色方法的总数是多少? 解法 1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染 顶点 D C S, 再从余下的四种颜色中任选两种染 A、 B、 C、 D 四点, , 此时 只能 A 与 C,B 与 D 分别同色,故有

C A
5

1

2 4

=60 种方
A B

法。 顶点 B颜 任选

(1)若恰用四种颜色,可先从五种颜色中任选一种染 S,再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B,由于 A、 色可以交换,故有

A

2 4

种染法;再从余下的两种颜色种

一种染 D 或 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有

C AC C
5 4 2

1

2

1

1 2

=240

8

中方法。 (1)若恰用五种颜色,有

A

5 5

=120 种染法。综上,满足题意的染色方法数为 60+240+120

=420 种。 解法 2 设想染色按 S-A-B-C-D 的顺序进行, 对 S S、A、B 染色,有 5×4×3=60 种染色方法。由于 C 点的 颜色 可能与 A 同色或不同色, 这影响到 D 点颜色的选取方法数, 故分 类讨论: C 与 A 同色时 (此时 C 对颜色的选取方法唯一) , D 与 A、 C、S D C 不同色,有 3 种选择;C 与 A 不同色时,C 有 2 种选择的 颜 色,D 有 2 种颜色可供选择,从而对 C、D 染色有 1×3+2 ×2 =7 种染色方法。 由乘法原理,总的染色方法数是 60×7=420 种 A B 评注 图中的连接状况是本质条件, 而是否空间图形则 无关 紧要,试看下面的两个问题,尽管与例 5 表述方式不同, 但具 有相同的数学模型,所以都可以转化为例 5 来解决。您不妨一试。 (1) 用五种颜色给图中的 5 个车站的候车牌 A、 B、C、 C D D、E 染色,要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不 同, 有 E 多少种不同的染色方法(图 6) (2) 如图 7 所示为一张有 5 个行政区划的地图, 今要 用 5 种颜色给地图着色,要求相邻的区域不同色,共 有多 A B 少种方案? 三、线段染色问题,要注意对各条线段依次讨论,主要方法有: (1) 根据共用了多少种颜色分类讨论; (2) 根据相对的线段是否同色分类讨论。 例5 用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形 ABCD 的四条边,每条边只染一种颜色, 且使相邻两边染不同的颜色,如果颜色可能反复使用,共有多少种不同的染色方法(图 8) 解法 1 (1)使用四种颜色有

A

4 4

种;
D C

(2)使用三种颜色染色,则必须将一组对边染成同 故有

色,

CC A
4 2

1

1

2 3

种;
A

(3) 使用两种颜色时,则两组对边必须分别同色,


B

A

2 4

种。

因此,所求的染色方法数为

A

4 4



CC A
4 2

1

1

2 3



A

2 4

=84 种

解法 2 染色按 AB-BC-CD-DA 的顺序进行,对 AB、BC 染色有 4×3=12 种染色方法。 由于 CD 的颜色可能与 AB 同色或不同色,这影响到 DA 颜色的选取方法数,故分类讨论: 当 CD 与 AB 同色时,这时 CD 对颜色的选取方法唯一,则 DA 有 3 种颜色可供选择;当 CD 与 AB 不同色时,CD 有 2 种可供选择的颜色,DA 有 2 种可供选择的颜色,从而对 CD、DA 染色有 1×3 +2×2=7 种染色方法。 由乘法原理,总的染色方法数为 12×7=84 种。利用相同的方法可解决例 7 例6 中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自 4 个单位,分别在图 9 中 4 个 区域内坐定。有 4 种不同的颜色服装,每个区域的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两个区 域的颜色不同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法
9

2 4

1 3
共有多少种?

例7 用六种颜色给正四面体 A-BCD 的每条棱染色,要求每条棱只能染一种颜色 且共顶点的棱染不同的颜色,问有多少种不同的染色方法(图 10) 分析 正四面体有三组对棱 AB 与 CD、AC 与 BD、AD 与 BC。满足题设条件的染色至少要用三种 颜色。 解 (1) 若恰用三种颜色染色, 则每组对棱必须染同一颜色, 而这三组间的颜色不同, 故有

A

3 6

种方法。 (2) 若恰用四种颜色染色, 则三组对棱中有两组对棱的组内对棱同色, 但组与组之间不同色, 故有

CA
2 3

4 6

种方法。

(3)若恰用五种颜色染色,则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色,故有 (4) 若恰用六种颜色染色,则有

CA
1 3

5 6

种方法。

A

6 6

种不同的方法。
A
3 6

综上,满足题意的总的染色方法数为

A



CA
1 3

5 6



A

6 6

=4080 种
B D

四 面染色问题 例 9 (1996 年全国高中数学联赛题) 从给定的六种不 同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的 6 个面染色, C 每两个具有公共棱的面染成不同的颜色, 则不同的染色方 案共有多少种? (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当翻转,使得两个正方体的上、下、 左、右、前、后 6 个面对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同) 分析 显然,至少需要三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原理分类、乘法原 理分步进行讨论。 解 根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。 (1) 用了六种颜色,确定某种颜色(例如红色)所染面为下底(根据题注,对此处的两种 不同染色方案,这里的“第一面”总是相同的) ,则上底颜色可有 5 种选择,在上、下底已染好 后,再确定其余 4 种颜色中的某一种所染面为左侧面,则其余 3 个面有 3!种染色方案,根据乘 法原理 n1=5×3!=30 种 (2) 用了五种颜色,选定五种颜色有

C

5 6

=6 种方法,必有两面同色(必为相对面) ,确定

为上、下底面,其颜色可有 5 种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面 的颜色,有 3 种选择(前后面可通过翻转交换)n2= (3) 用了四种颜色,仿上分析可得 n3=

C

5 6

×5×3=90

CC
6

4

2 4

=90

10

(4) 用了三种颜色,n4=

C

3 6

=20

故总的染色方案有 n=n1+ n2 +n3 +n4=230 种。

11


相关文章:
史上最全的难题排列组合大全 (1)
史上最全的难题排列组合大全 (1)_数学_高中教育_教育专区。史上最全的排列组合难题大总结一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成...
排列组合问题经典题型
排列组合问题经典题型_数学_高中教育_教育专区。排列组合问题经典题型与通用方法 ...例 24.(1)圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少...
排列组合难题
排列组合难题_数学_高中教育_教育专区。排列组合难题排列组合 1.分类计数原理(加法原理) 完成件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第...
排列组合常见问题分类及典例解析(排列组合方法大全)
排列组合常见问题分类及典例解析(排列组合方法大全)_数学_高中教育_教育专区。中小学 11 个性化教育专家 授课教案 学员姓名: 学员年级: 教学标题 教学目标 ...
排列组合难题集
暂无评价 18页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 排列组合难题集 隐藏>> 1.(2011?福州三中月考...
排列与组合最全最详细最经典练习题
排列组合 (一)排列 学习目标 (1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列; (2)了解排列排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列...
常见排列组合问题解题策略(1)
教学目标: 1.掌握有关排列组合问题的基本解法,提高...要求最多使用 3 种颜色且相邻的两 个格子颜色不同...2014年笑话大全之让你笑个够 儿童笑话大全爆笑 爆笑...
高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法[1]
288 C4 1 A4 3 C3 1 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主...
高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页 (1)
高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页 (1)_数学_高中教育_教育专区。高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型...
更多相关标签:
排列组合难题 | 高中排列组合难题 | 排列组合经典难题 | 排列组合 | 排列组合公式 | 排列组合计算器 | 排列组合计算公式 | 排列组合算法 |