当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

初等方法新解一道竞赛题


?

4 6?  

中学数 学研 究 

2 0 1 5第 8期 

个 数 不一定 相 等) , 选 1 0 7个 盒 子 , 并在 这 些盒 子 中  
各 放 一个球 , 完 成 一次 操 作 , 证 明: 可 以通 过 有 限 多   次 操作 , 使 得所 有盒 子 中球 的个数

都 相 同.  

次操作 ,  盒子增加 了 1 3 1 个球 , 其余 的每个盒子增  
加了1 3 0个 球 , 若 我们 开 始 选定 的 A盒 子 的球 个 数 
最少, 通 过 有 限次操作 , 可使 所 有盒 子 中的球个 数 相  等.   评注: 本题是 裴 蜀 定 理推 论 在 组 合 数 论 中的 一  个应用, 其巧妙 解 决 了组合 中的操 作 问题.  

证明 : 因为2 0 0与 1 0 7互素, 故存在整数 M , / 3 , 使  得2 0 0 u+1 0 7 v=1 ( n=一1 3 0, V=2 4 3就是 其 中 一 
组) , 1 0 7   x   2 4 3 =2 0 0×1 3 0+1 , 将2 0 0个 盒子排 成 


圈, 从某 个盒 子 A开 始 , 按 固定 方 向顺序 进 行 2 4 3  

初 等 方 法 新 解 一 道 竞 赛 题 
江 苏 省 江 阴长 泾 中 学  ( 2 1 4 4 1 1 )   陈 小 莹 

江苏省 姜堰 中等专业 学校

( 2 2 5 5 0 0 )  陈  宇  

中c 为 斜边长 , 求 使 

赛 题  已 知  。 耋  三 角 形 的 三 边 长 , 其   一 2 C O S 2   +  。   + 2  
a  DC 

≥   成立 的 | i } 的最 大 

————  /

o  …

  l _ .  

1  

值( 第 四届 北 方数 学邀请 赛试 题 ) .   由文 [ 1 ]知 , 文[ 2 ] ‘ ‘ 利 用 导数 的知识 给 出 了两 
种证 明方 法 , 指 出不 能用 均 值 不 等 式 和幂 平 均不 等 
式求 _ ±  
ao c  

二  

法 一 : 设   =   - 尹, ( 0 。 ≤   < 4 5 。 ) 构 造 函 数  


的最 小值 , , 文[ 1 ]作 者 以均 值 不  。  


2c 。 s  

+ 

。  

+2  

等 式求 出 了  

aDc  

的最 小值.  





 

经过 探 求 , 笔者 发 现 , 主 要借助 三角及 函数 的单  调 性 和最值 , 可 以给 出该 题 又一 新 的初 等 解 法. 且 求  解过 程 同样 简 洁.  
解: 由题 设 可 知 , A +B = 9 0 。 . a=c s i n A, b=  
c s i n B, s i n   A +s i n   B =1 . 不 妨设 0 。<B≤ 4 5 。≤ A   <   <9 0 O   7 则0 。≤  
0  +b  +C 3  

√ 2





√ 2 c o s   ( 0 。 ≤   <4 5 。 ) , 设0 。 ≤  l<  2  

C O S X 一1  

<4 5 。 , 则  <c 。   <c 。 s   ≤1   0<  
… t 一1≤   一1   - )一 f ( x 2 )=  

:一  
2  

<4 5 。 . 则 
s i n 3 A 十s i n 3 B+1  


√  o s   2 )=   ( C O S X 2 一  

s i n As i n B 
s i n   A +s i nz B —s i n As i n B  + 1  
s i n As i n B 


C O S X 。 1 )+ )+—   ( —   = = _ — — — — — — — — — — — = ■ — —   — — — — ~< <0   一 , . . ’ .当0 .  当   一 。   e o s   1—1 ) (  c O S X 2—1 )   ’   一  

2 s i n  

c o s  


{ 1+  

c o s ( A  

一 s ( A  

] }+1  

÷ [ c 。 s ( A + 曰 ) 一 c 。 s ( A ~ 曰 ) ]  
[ 2一c 。   ( A—B ) ]+2  
 

≤  < 4 5 。 时, 函数  )   =  
增 加.  

一 √ _ c 0 s   单调  

。  

= = — — — — — — —   — — — — — —   : — — — — — — — — — — — — — — — . — — — —  — — . — — — — — — — — — — — 一

? ? ?  

c o s ( A—  、  

)  n=, ( 0 )  

一   =2+   她  

。 s  

( 3—2 c 。   z  
2c o s 2   A

)+2  

当且仅 当x=0即A =B =4 5 。 , 即直角三角形为等 
腰 直 角三 角形 时 , k的最 大值 为   =2十  
成 立.  

丁-B一1  

此 时等号 

2 0 1 5 年 第8期 
法二 : 由( 1 )去分 母整理 得 2 c 。 s 2   k ) c o s   A


中学数学研究 
一   ( 1  

? 4 7?  
等 号成 立. 从而( 3 )左边取 得 最大值 , 且 

± 



B ≤ 2

 



+  

( 2 ) ( 去分母 依据 条件 见 法  一1   -k )  ≤  
.  

等号 成 立. A -  ̄ 。  生 寻   一下 1 - k ) 。  =   … 一 2 ~ 一 2     即有 (
>   ≤ 


一) , 配 方得 (   。 s  

取  =2+   , 可化为2 C O S 2   丁-B+( A 2  
一( 4+   ):0, 解之 得  。   :  

  ) 。 。   ( 先固定变量J j } )  ( 3 ) , 当o 。 ≤  ÷   <4 5 。 时, 如   +
法 一 可 得  <   。 s   一   ≤  

p   A : 日 : 4 5 。 或   。  

: 一 半 < 一 1 <  

可 见(   。 s  


一1   -k )  的最 大值  )   要使 ( 3 )成 立 , 只 需 


舍去  .当且仅 当A =B:4 5 。 , 即直角三角形为  
等腰 直 角 三角 形 时 等号 成 立. 此时, k的最 大值 为 k  


为( L  )  或 (  
(  

2 +  

) 。  

显 然法 一较 之法 二 显 得 简便. 但 法 二 作 为 一 种 
方 法不 无可 取之 处.  

k  + 2 k+9  
4  

本 文之 解法 所 涉及 知 识及 方 法( 完全 区别 于 文  [ 1 ] ) , 全 是 普 通 高 中基 础 知 识 ( 含 选修 ) , 思路 也 无  特 别之 处 , 一般 高 中生完全 可 以看 懂.  

,  

【 (  ( +   )   ≤  

参 考文 献 
[ 1 ] 马 占山 , 王瑞 琴. 一道竞 赛题 的初 等证法 [ J ] . 中学数 学 
研究 ( 江西 ) 2 0 1 3 , 1 2 ( mO ) .  

[ 2 ] 王远征 . 一道数学竞赛题 的错 误解答 及订正 [ J ] . 数 学通 
讯2 0 1 1 ( 上半月 ) ( 1 1 , 1 2 ) .  

又当  

=  2  +  

时,  (  

)   ≤  



道 陈 省 身 杯 竞 赛 题 的 推 广 解 答 
山 东省邹城市第一 中学  ( 2 7 3 5 0 0 )   常媛媛 

第三届 陈省身杯数学奥林 匹克第 6题:  
已知实 数 a , b , c> 1 , 且 a+b+c=9 , 试证明:  
≤   七  +  .  

原 式 两 边 同 时 平 方 ,即证 明 : a b+ b c+c a一  
2 (   0 6+   6 c+   c 口 )≤ 9 .  

讨论 : ( 1 )当a b+b c+c a<9时 , 上述 不 等式 显 
然 成 立.  

贵刊 2 0 1 4年 第 l 2期 文“ 对 一 道 奥林 匹克 数 学 

竞赛 试题 的证 明及 思考 ”中, 把 这 个不 等 式 加 强为 :  
正 实数 a, b , C≥ k ,且 a + b + c = 9 ,试 证 明 :  

( 2 )当 a b+b c+c 0≥ 9时 , 由于 0 , b , c是对 称 
的, 所 以不妨假 设 a≥ b≥ c , 则 a≥ 3 , c≤ 3 , 当然 b  

■   ≤  +  + √  该文验证了k= ÷的  
正确性, 但是文末指 出最小的   值如何求解呢? 笔者  
试 图找 出最小 的 k值.  

与 3的关 系是 不确 定 的 , 但 是 此时却 满足 a b≥4, 给 
出如下 证 明.  

采 用反 证 法 : 若a b<4 , 因为 o≥ 3 , 所 以 b<  


相关文章:
一道竞赛题的探究创新与思维拓展
一道竞赛题的探究创新与思维拓展湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 问题Ⅰ:...解: (1)∠PBC=30° ;(2)如图 11,方法采用问题Ⅰ中五种解法均可以,∠PCB...
解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮
解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮_学科竞赛_小学教育_教育专区。高中数学总结 ...B ? C . 也即通过解方程组我们得到唯一一个稳定点 ? ?? ? ? ? ,, ?...
从一道数学竞赛题的妙解谈起
一道数学竞赛题的妙解谈起_学科竞赛_高中教育_教育专区。王凯成,教授,全国优秀教师,教育部第三批国培计划专家库专家,曾宪梓奖获得者,全国初等数学研究会理事会...
安多县代理发表职称论文发表-初中数学方程教学方法论文...
一道竞赛题解法的逻辑漏洞 13……应用题中的经济问题 14……初中数学解题中的...列方程解应用题思维受阻的因素浅析 38……中学数学图书归类管见 39……初等数学...
一道竞赛题的妙解
一道竞赛题的妙解 广西师范大学出版社出版的《奥赛金牌测试题》中有这样一题:...有什么好方法吗?我们可以从能量守恒的角 度分析,因为 M 在上升过程中,重力...
某数学竞赛共有20道题,答对一道题得5分,不答或答错一题...
某数学竞赛共有20道题,答对一道题得5分,不答或答错一不仅不给分,还要扣去3分,必须答对几道题才能得84分?正确答案及相关解析 正确答案 解:设答对的题数...
全国初等数学研究会第十届学术研讨会论文评奖结果公布_...
张睿升 题中有路探为径——记一次讲题比赛的经历 林琪 一道压轴题的探索和...闵华 反思在数学解学实践中的应用例谈 董诗林 把握问题核心 立足思想方法——...
解竞赛题的思想和方法
竞赛题的思想和方法_理学_高等教育_教育专区。解...这是一道三角函数求极值的问题,直接用代数法求解...此引出一个新的结论,而这个新的结论或者与所给的已知...
物理竞赛怎么学
中学阶段全部初等数学(包括解析几何) b)向量的合成...【内容】选用 500 道俄罗斯物理竞赛试题,对每题...了细致的分析,而且提供了不少独辟蹊径的解 题方法...
某同学在一次数学竞赛中得了93分,共30道题目,如果按照...
某同学在一次数学竞赛中得了93分,共30道题目,如果按照旧的评分方法他只能得到84分,(新的评分方法是答对一道得5分,不答得2分,答错得0分;旧的评分方法是以30...
更多相关标签:
数学竞赛初等数论 | 初等变换解矩阵方程 | 初等解析函数 | 初等数学解题方法研究 | 初等超越方程的解法 | 初等数论解题方法 | 某次数学竞赛共20道题 | 高中数学竞赛解题策略 |