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初等方法新解一道竞赛题


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4 6?  

中学数 学研 究 

2 0 1 5第 8期 

个 数 不一定 相 等) , 选 1 0 7个 盒 子 , 并在 这 些盒 子 中  
各 放 一个球 , 完 成 一次 操 作 , 证 明: 可 以通 过 有 限 多   次 操作 , 使 得所 有盒 子 中球 的个数

都 相 同.  

次操作 ,  盒子增加 了 1 3 1 个球 , 其余 的每个盒子增  
加了1 3 0个 球 , 若 我们 开 始 选定 的 A盒 子 的球 个 数 
最少, 通 过 有 限次操作 , 可使 所 有盒 子 中的球个 数 相  等.   评注: 本题是 裴 蜀 定 理推 论 在 组 合 数 论 中的 一  个应用, 其巧妙 解 决 了组合 中的操 作 问题.  

证明 : 因为2 0 0与 1 0 7互素, 故存在整数 M , / 3 , 使  得2 0 0 u+1 0 7 v=1 ( n=一1 3 0, V=2 4 3就是 其 中 一 
组) , 1 0 7   x   2 4 3 =2 0 0×1 3 0+1 , 将2 0 0个 盒子排 成 


圈, 从某 个盒 子 A开 始 , 按 固定 方 向顺序 进 行 2 4 3  

初 等 方 法 新 解 一 道 竞 赛 题 
江 苏 省 江 阴长 泾 中 学  ( 2 1 4 4 1 1 )   陈 小 莹 

江苏省 姜堰 中等专业 学校

( 2 2 5 5 0 0 )  陈  宇  

中c 为 斜边长 , 求 使 

赛 题  已 知  。 耋  三 角 形 的 三 边 长 , 其   一 2 C O S 2   +  。   + 2  
a  DC 

≥   成立 的 | i } 的最 大 

————  /

o  …

  l _ .  

1  

值( 第 四届 北 方数 学邀请 赛试 题 ) .   由文 [ 1 ]知 , 文[ 2 ] ‘ ‘ 利 用 导数 的知识 给 出 了两 
种证 明方 法 , 指 出不 能用 均 值 不 等 式 和幂 平 均不 等 
式求 _ ±  
ao c  

二  

法 一 : 设   =   - 尹, ( 0 。 ≤   < 4 5 。 ) 构 造 函 数  


的最 小值 , , 文[ 1 ]作 者 以均 值 不  。  


2c 。 s  

+ 

。  

+2  

等 式求 出 了  

aDc  

的最 小值.  





 

经过 探 求 , 笔者 发 现 , 主 要借助 三角及 函数 的单  调 性 和最值 , 可 以给 出该 题 又一 新 的初 等 解 法. 且 求  解过 程 同样 简 洁.  
解: 由题 设 可 知 , A +B = 9 0 。 . a=c s i n A, b=  
c s i n B, s i n   A +s i n   B =1 . 不 妨设 0 。<B≤ 4 5 。≤ A   <   <9 0 O   7 则0 。≤  
0  +b  +C 3  

√ 2





√ 2 c o s   ( 0 。 ≤   <4 5 。 ) , 设0 。 ≤  l<  2  

C O S X 一1  

<4 5 。 , 则  <c 。   <c 。 s   ≤1   0<  
… t 一1≤   一1   - )一 f ( x 2 )=  

:一  
2  

<4 5 。 . 则 
s i n 3 A 十s i n 3 B+1  


√  o s   2 )=   ( C O S X 2 一  

s i n As i n B 
s i n   A +s i nz B —s i n As i n B  + 1  
s i n As i n B 


C O S X 。 1 )+ )+—   ( —   = = _ — — — — — — — — — — — = ■ — —   — — — — ~< <0   一 , . . ’ .当0 .  当   一 。   e o s   1—1 ) (  c O S X 2—1 )   ’   一  

2 s i n  

c o s  


{ 1+  

c o s ( A  

一 s ( A  

] }+1  

÷ [ c 。 s ( A + 曰 ) 一 c 。 s ( A ~ 曰 ) ]  
[ 2一c 。   ( A—B ) ]+2  
 

≤  < 4 5 。 时, 函数  )   =  
增 加.  

一 √ _ c 0 s   单调  

。  

= = — — — — — — —   — — — — — —   : — — — — — — — — — — — — — — — . — — — —  — — . — — — — — — — — — — — 一

? ? ?  

c o s ( A—  、  

)  n=, ( 0 )  

一   =2+   她  

。 s  

( 3—2 c 。   z  
2c o s 2   A

)+2  

当且仅 当x=0即A =B =4 5 。 , 即直角三角形为等 
腰 直 角三 角形 时 , k的最 大值 为   =2十  
成 立.  

丁-B一1  

此 时等号 

2 0 1 5 年 第8期 
法二 : 由( 1 )去分 母整理 得 2 c 。 s 2   k ) c o s   A


中学数学研究 
一   ( 1  

? 4 7?  
等 号成 立. 从而( 3 )左边取 得 最大值 , 且 

± 



B ≤ 2

 



+  

( 2 ) ( 去分母 依据 条件 见 法  一1   -k )  ≤  
.  

等号 成 立. A -  ̄ 。  生 寻   一下 1 - k ) 。  =   … 一 2 ~ 一 2     即有 (
>   ≤ 


一) , 配 方得 (   。 s  

取  =2+   , 可化为2 C O S 2   丁-B+( A 2  
一( 4+   ):0, 解之 得  。   :  

  ) 。 。   ( 先固定变量J j } )  ( 3 ) , 当o 。 ≤  ÷   <4 5 。 时, 如   +
法 一 可 得  <   。 s   一   ≤  

p   A : 日 : 4 5 。 或   。  

: 一 半 < 一 1 <  

可 见(   。 s  


一1   -k )  的最 大值  )   要使 ( 3 )成 立 , 只 需 


舍去  .当且仅 当A =B:4 5 。 , 即直角三角形为  
等腰 直 角 三角 形 时 等号 成 立. 此时, k的最 大值 为 k  


为( L  )  或 (  
(  

2 +  

) 。  

显 然法 一较 之法 二 显 得 简便. 但 法 二 作 为 一 种 
方 法不 无可 取之 处.  

k  + 2 k+9  
4  

本 文之 解法 所 涉及 知 识及 方 法( 完全 区别 于 文  [ 1 ] ) , 全 是 普 通 高 中基 础 知 识 ( 含 选修 ) , 思路 也 无  特 别之 处 , 一般 高 中生完全 可 以看 懂.  

,  

【 (  ( +   )   ≤  

参 考文 献 
[ 1 ] 马 占山 , 王瑞 琴. 一道竞 赛题 的初 等证法 [ J ] . 中学数 学 
研究 ( 江西 ) 2 0 1 3 , 1 2 ( mO ) .  

[ 2 ] 王远征 . 一道数学竞赛题 的错 误解答 及订正 [ J ] . 数 学通 
讯2 0 1 1 ( 上半月 ) ( 1 1 , 1 2 ) .  

又当  

=  2  +  

时,  (  

)   ≤  



道 陈 省 身 杯 竞 赛 题 的 推 广 解 答 
山 东省邹城市第一 中学  ( 2 7 3 5 0 0 )   常媛媛 

第三届 陈省身杯数学奥林 匹克第 6题:  
已知实 数 a , b , c> 1 , 且 a+b+c=9 , 试证明:  
≤   七  +  .  

原 式 两 边 同 时 平 方 ,即证 明 : a b+ b c+c a一  
2 (   0 6+   6 c+   c 口 )≤ 9 .  

讨论 : ( 1 )当a b+b c+c a<9时 , 上述 不 等式 显 
然 成 立.  

贵刊 2 0 1 4年 第 l 2期 文“ 对 一 道 奥林 匹克 数 学 

竞赛 试题 的证 明及 思考 ”中, 把 这 个不 等 式 加 强为 :  
正 实数 a, b , C≥ k ,且 a + b + c = 9 ,试 证 明 :  

( 2 )当 a b+b c+c 0≥ 9时 , 由于 0 , b , c是对 称 
的, 所 以不妨假 设 a≥ b≥ c , 则 a≥ 3 , c≤ 3 , 当然 b  

■   ≤  +  + √  该文验证了k= ÷的  
正确性, 但是文末指 出最小的   值如何求解呢? 笔者  
试 图找 出最小 的 k值.  

与 3的关 系是 不确 定 的 , 但 是 此时却 满足 a b≥4, 给 
出如下 证 明.  

采 用反 证 法 : 若a b<4 , 因为 o≥ 3 , 所 以 b<  


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