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2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题


第二十届“希望杯”数学邀请赛高一试题(第 1 试)
一、选择题(每题 4 分,40 分) 1、已知集合 M ? {( x , y ) | 2 x ? 3 y ? 3}, N ? {( x , y ) || x ? 4 x ? y ? 3 ? 0} ,则集合 M ? N 中
2

元素的个数是( (A)0 (B)

1
x

) (C) 2

(D)无穷多 )

2、若函数 f(x)= 3 ? 5 ,则它的反函数的值域为( (A) (0, ? ? ) 3、Let 2 ? 2
x 2009

(B) (5, ? ? )
? 2 ?2
2009

(C) (8, ? ? )
2009

(D) ( ? ? , ? ? )
? 6 ?2
2009

? 3 ?2

? 4 ?2

2009

,the value of x is (



(A)2012

(B) 2013

(C)2014

(D)2015 )

4、已知平行四边形 A1 A2 A3 A4 顶点的坐标 Ai ( x i , y i )( i ? 1, 2, 3, 4) ,则 A4 的坐标为( (A) ( x1 ? x 2 ? x 3 , y1 ? y 2 ? y 3 ) (C) ( x1 ? x 2 ? x 3 , y1 ? y 2 ? y 3 ) 5、已知方程 f ( x ) ?
x ?1
2

(B) ( x 2 ? x 3 ? x1 , y 2 ? y 3 ? y1 ) (D) ( x1 ? x 3 ? x 2 , y1 ? y 3 ? y 2 )
x?2 x
2

1? x

? 0 的解集为 A,方程 g ( x ) ? lo g 2

? 0 的解集是 B,那么

f ( x ) ?g ( x ) 的解集是(

) (C) { ? 1, 2}
*

(A) { ? 1}

(B) { ? 1,1}

(D)空集 )

6、若数列 ( n ? 1) a n ? na n ? 1 ( n ? N ), a1 ? 0, 则 { a n } ( (A)是等比数列但不是等差数列 (C)是等差数列也是等比数列
x

(B) 是等差数列但不是等比数列 (D)不是等差数列也不是等比数列

) 6, x , ( , ( ) 则 7 、 已 知 f ( x ) ? x ? 1 , g ( x )? 2 ,h (x ? ? x ? 设 函 数 F ( x ) ? m i n {f ( ) g x )h x ,}
F ( x ) 的最大值为(

) (C)
7 2

(A)1

(B) 2

(D)4 )

8、等差数列前 p 项的和为 q,前 q 项的和为 p, ( p ? q ) 则前 p+q 项的和为( (A)p+q (B) p-q
sin x sin x ? co s x sin ,B ? sin x 3

(C) -p+q
x 3 ? co s x 3
-1-

(D) -p-q
3 4

9、若 A ?

, x ? (0, ? ) 且 x ?

? ,则(



(A)A>B

(B) A<B

(C) A=B

(D)A,B 的大小关系与 x 的取值有关。
n 为整数的数对 ( n , p ) (

10、n 是整数,p 是质数,则使

p?n ?



(A)不存在 (B) 只有一个 (C) 多于两个但不超过 10 个 (D)多于 10 个 二、A 组填空题(每题 4 分,40 分,13 题每空 2 分,17 题答对一个 2 分) 11、
1 1? 2 ? 1 2 ? 3 ?? ? 1 2007 ? 2008 ? 1 2008 ? 2009 ?

.

12 、 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , f ( 2 ) = 2 , 且 对 任 意 的 x ∈ R 都 有
f ( x ? 9 ) ? f ( x )? 9 ,f (? x 3?) f
2

x ?,则 f (2009) ? ( ) 3

.

13、Let the function is

f ( x ) ? ? x ? 4 x ,1 ? x ? 4 ,The maximum value of the function f ( x )

;the minimum value of the function f ( x ) is

.

14、科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设 I 为地震时的相对能量程度,则里氏震级量度 (r)可定义为 r=lgI。2008 年四川省汶川地区发生里氏 8.0 级地震,同 1976 年的唐山大地震 (里氏 7.8 级)比较,汶川地震的相对能量程度是唐山大地震的 倍。 15、函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, x ? R ) 是偶函数的充要条件是 ;

16、已知梯形 ABCD 中,AB=8,BC=4,CD=5,BC⊥AB,AB∥CD,动点 P 由 B 点出发,沿 BC、 CD、DA 运动到 A 点,若用 x 表示点 P 运动的路程,表示△ABP 的面积,则
f (x) =
lo g 6 ( x ? 6 x ? 7 )
2

;
? 2
lo g 6 1 3

17、方程 1 3

的解 x=



18、 players took part in round-robin touynament (i.e every player must play against every other Ten player exactly once). There were no draws in this tournament. Suppose that the first player won x1 games,the second player won x2 games , the third player won x3 games and so on .The value of x1+x2+? +x10 is= . B G 19 、 在 边 长 为 1 的 菱 形 ABCD 中 ( 如 右 图 ) , F C ??? ??? ? ? |EA|=3|ED|,|AF|=|FB|,|BC|=3|BG|, D A ?A B =m,则
? ? ?? ? ? ?? F E?F G=

A ;
?
4 ) ? sin 2 x 的 值 域

E

D

20 、 函 数 f ( x ) ? 2 sin ( x ?

为 ; 三、B 组填空题(每题 8 分,共 40 分,24 题答对一个 2 分) 21、对于方程 9 x ? 18 x ? 9 x ? 1 ? 0 ,给出以下四个命题:①在区间 ( ? 3,1) 上必有实根;②
3 2

在区间 (0, ? ? ) 上没有实根;③在区间 ( ? 2, 0) 上恰有 1 个实根;④在区间 ( ? 3, 0) 上存在 3 个
-2-

实根。其中正确的命题序号是



22、函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) cos y ,写出满足此条件的两个函数解析式:
f (x) =

, f (x) =


2 22 2
2

23、用 3 个 2(不加任何运算符号)可以组成形如 222, 22 , 2 , 2 可以组成类似形式的数
??? ? ???? ) 24、设 AB ? (2,3), AC ?(1, k

的四个数,那么用 4 个 2 ; ,若 B=90°,则

个,其中最大的是 ,在三角形 ABC 中,A=90°,则 k=

k= ;若 C=90°,则 k= . 25、设数列{an}的各项依次是 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?, 个 1,2 个 2,?,k 个 k,?)则 (1 数列的第 100 项等于 ;前 100 项之和等于 。

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 D 9 D 10 D

二、A 组选择题 题号 答案 11
7 41 ? 1

12 2009

13 4;0

14
10
0 .2

15
? ? k? ? ?
2 ,k ? Z

题号 答案

16
? ? 4 x(0 ? x ? 4 ) , ? ?1 6, ( 4 ? x ? 9 ) ?16 ? (1 4 ? x ), (9 ? x ? 1 4 ) ? 5

17 1 或者 5

18 45

19
? 5 24 m

20
[? 3 2 , 3]

三、B 组选择题 题号 答案 21 ①②④ 22 答案不唯一
f ( x ) ? sin x , f ( x ) ? 0 f ( x ) ? x co s y , f ( x ) ? co s x

23 8; 2
2
22

24
2 11 3 ? 13 ? ; ; 3 3 2

25 14;945

-3-


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