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高考数学中求轨迹方程的常见方法


2014 年 8 月 23 日星期六 一、直接法:当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、 整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例 1 . 已知点 A(?2,0) 、 B (3,0). 动点 P( x, y) 满足 PA? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )
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br />高考数学中求轨迹方程的方法总结

解: PA ? (?2 ? x,? y), PB ? (3 ? x,? y) ,? PA? PB ? (?2 ? x)(3 ? x) ? y 2

? x 2 ? x ? 6 ? y 2 . 由条件, x 2 ? x ? 6 ? y 2 ? x 2 ,整理得 y 2 ? x ? 6 ,此即点 P 的轨迹方程,所
以 P 的轨迹为抛物线,选 D. 二、定义法:定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物 线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程. 例 2. 已知 ?ABC 中,? A 、? B 、?C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a, c, b 依次构成等差数列,且 a ? c ? b , AB ? 2 ,求顶点 C 的轨迹方程. A 解:如右图,以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标 系. 由题意, a, c, b 构成等差数列,? 2c ? a ? b , 即 | CA | ? | CB |? 2 | AB |? 4 , 又 CB ? CA , ? C 的 轨 迹 为 椭 圆的 左 半 部 分 . 在 此 椭圆 中, O B C y

x

a ? ? 2, c? ? 1 , b? ? 3 ,故 C 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 0, x ? ?2) . 4 3

三、代入法:当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示,再代入 到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即得到动点 P 的轨迹方程,称之代入法,也称相关点 法、转移法. 例 3. 如图,从双曲线 C : x ? y ? 1 上一点 Q 引直线
2 2

y P Q N O x

l : x ? y ? 2 的垂线,垂足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

解: 设 P( x, y),Q ( x1 , y1 ) , 则 N (2 x ? x1 ,2 y ? y1 ) .? N 在直线 l 上, ? 2x ? x1 ? 2 y ? y1 ? 2.

y ? y1 ? x1 ? 2 ① 又 PN ? l 得 . 又点 Q 在双曲 ? 1, 即 x ? y ? y1 ? x1 ? 0 . ②联解①②得 ? ? x ? x1 3 y ? x ? 2 ?
y1 ? ? ? 2
线 C 上,? (

?

3x ? y ? 2

3x ? y ? 2 2 3 y ? x ? 2 2 ) ?( ) ?1, 2 2
2 2

化简整理得: 2x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,此即动点 P 的轨迹方程. 四、几何法:几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质,发现动点的运动规律和要满 足的条件,从而得到动点的轨迹方程. 例 4. 已知点 A(?3,2) 、 B(1,?4) ,过 A 、 B 作两条互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,求 l1 和 l 2 的交点 M 的 轨迹方程. 解:由平面几何知识可知,当 ?ABM 为直角三角形时,点 M 的轨迹是以 AB 为直径的圆.此圆的圆 第 1 页 共 4 页

心即为 AB 的中点 (?1,?1) ,半径为 方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 13.

1 52 ,方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 13. 故 M 的轨迹 AB ? 2 2

五、参数法:参数法是指先引入一个中间变量(参数) ,使所求动点的横、纵坐标 x, y 间建立起联 系,然后再从所求式子中消去参数,得到 x, y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程. 例 5. 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0 ) 的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、OB , 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解: 设 M ( x, y ) , 直线 OA 的斜率为 k (k ? 0) , 则直线 OB 的斜率为 ?

1 .直线 OA 的方程为 y ? kx , k
? p

? x ? 2 ? pk 2 x? 2 ? y ? kx 2 p 2 p ? ? 2 ? ? k k ,即 A( , ) ,同理可得 B(2 pk ,?2 pk) .得 ? 由? 2 解得 ? , 2 k k p 2 p ? y ? 2 px ? ? 2p ? ? y? k

? ?

y?

k

? pk

消去 k ,得 y 2 ? p( x ? 2 p) ,此即点 M 的轨迹方程.

六、交轨法:求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲 线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法. 例 6. 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线 y P A1 O A2 N M x

x y ? 2 ? 1 于 M 、 N 两点, 2 a b

2

2

A1 , A2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与 A2 N 的交点 P 的轨迹方程,
并指出轨迹的形状.

解:设 P( x, y) 及 M ( x1 , y1 ), N ( x1 ,? y1 ) ,又 A1 (?a,0), A2 (a,0) ,可得直线 A1 M 的方程为

y?

y1 ? y1 ? y2 直线 A2 N 的方程为 y ? ( x ? a) ①; ( x ? a) ②.①×②得 y 2 ? 2 1 2 ( x 2 ? a 2 ) x1 ? a x1 ? a x1 ? a
x12 y12 b2 2 b2 2 2 2 2 ? ? 1 , ? ? y ? ( a ? x ) y ? ? (x ? a 2 ) , 化 简 得 , 代 入 ③ 得 1 1 a2 b2 a2 a2

③. 又?

x2 y2 ? ? 1 ,此即点 P 的轨迹方程. 当 a ? b 时,点 P 的轨迹是以原点为圆心、 a 为半径的圆; a2 b2
当 a ? b 时,点 P 的轨迹是椭圆. 七、待定系数法

x2 y2 ? ? 1 有共同渐进线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线的标准方程。 9 16 1 x2 y2 ? ? ? ,将点 (?3,2 3) 的坐标代入得: ? ? 解:双曲线方程可设为 4 9 16 2 2 x y ? ?1 故所求双曲线的方程为 9 4 4
例 7.求与双曲线 第 2 页 共 4 页

八、向量法: 例 8.设 F(1,0) ,M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 MN ? 2MP , PM ⊥ PF 。 (I)当点 P 在 y 轴上运动时,求 N 点的轨迹 C 的方程; (II)设 A( x1 ,y1 ) ,B( x 2 ,y 2 ) ,D( x 3 ,y 3 ) 是曲线 C 上的三点,且 AF 、BF 、 DF 成等差 数列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时,求 B 点的坐标。 ? ? ? ? 【解析】 (1)∵ MN ? 2 MP ,故 P 为 MN 中点, 又∵ PM ⊥ PF ,P 在 y 轴上,F 为(1,0) , y 故 M 在 x 轴的负方向上,设 N(x,y)则 M(-x,0) ,P(0, ) , (x>0) , 2 ? ? ? ? ? y ? y ∴ PM ? (? x, 又∵ PM ⊥ PF 故 PM ? ), PF ? (1, ? ), · PF ? 0 , 2 2 y2 即 ?x? ∴ y 2 ? 4 x( x ? 0)是轨迹C的方程 ?0 4

| DF| ? x3 ? 1 , , BF ? x2 ? 1 , (II) 抛物线 C 的准线方程是 x=-1, 由抛物线定义知 | AF |? x1 ? 1
| BF | 、 | DF | 成等差数列, ∵ | AF | 、 ? ? ?

?

?

?

∴ x1 ? 1 ? x3 ? 1 ? 2( x2 ? 1), ∴ x1 ? x3 ? 2x2
2 2 故 y1 ? y3 ? ( y1 ? y3 )( y1 ? y3 ) ? 4( x1 ? x3 ) ,

2 2 2 ? 4 x1,y2 ? 4 x2,y3 ? 4 x3 , 又 y1

∴ k AD ?

y1 ? y 3 4 ? x1 ? x3 y1 ? y 3

y1 ? y3 ( x ? 3) 4 y ? y3 y ? y3 x1 ? x3 ∴ 1 ?? 1 ( ? 3) 。 2 4 2

∴AD 的中垂线为 y ? ?

而 AD 中点 ( 即1 ? ?

x1 ? x3 y1 ? y3 , )在其中垂线上, 2 2

1 ( x2 ? 3), ∴ x2 ? 1, 2

2 由 y2 。 ? 4x2, ∴ y2 ? ±2 , ∴B 点坐标为(1,2)或(1,-2) 九、用点差法求轨迹方程(跟弦中点有关)

例 9. 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2

① ② ④

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由 题 意 知 x1 ? x2 , 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 ? x2 , 有

?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? ③

y1 ? y2 ? 0, x1 ? x2 y ? y2 将③④代入得 x ? 2 y 1 ? 0 .⑤ x1 ? x2

1 1 y ? y2 1 , y ? 代入⑤,得 1 ? ? ,故所求直线方程为: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥ 2 2 x1 ? x2 2 1 1 2 2 2 将 ⑥ 代 入 椭 圆 方 程 x ? 2 y ? 2 得 6 y ? 6 y ? ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符 合 题 意 , 4 4 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求. y ? y2 (2)将 1 (椭圆内部分) ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 4 y ? 0 . x1 ? x2 y ? y2 y ? 1 2 2 (3)将 1 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部分) ? x1 ? x2 x ? 2
(1)将 x ? 第 3 页 共 4 页

十、韦达定理法:有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构 造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程. 2 例 10. 过抛物线 y=x 的顶点 O,任作两条互相垂直的弦 OA,OB, 若分别以 OA,OB 为直径作圆, 求两 圆的另一交点 C 的轨迹方程.
2 ), ( t , t 2 ) , 则由 OA⊥OB 得 t t =-1 解:设 A,B 两点的坐标分别为 ( t1 , t1 1 2 2 2

因为以 OA 为直径的圆方程为 同理以 OB 为直径的圆方程为

y ?t2 y 1 ? ? ?1 ? x 2 ? y 2 ? t x ? t 2 y ? 0 ① 1 1 x ? t1 x x 2 ? y 2 ? t2 x ? t 2 y ? 0 ② 2
2 2 2

而点 C(x,y)满足①② ,由①②知 t1,t2 是关于 t 的二次方程 yt + xt- x - y = 0 的两根,根据 t1t2= -1 及韦达定理得 ? 1 ? t1t 2 ? ?
x2 ? y2 2 2 , 即有 x + y - y =0(y≠0)这就是 C 点的轨迹方程. y

十一、极坐标法: 某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立极坐系 较为方便地求得轨迹方程. 例 11.已知椭圆
x2 y2 x y ? ? 1 与直线 L: ? ? 1 , P 为直线 L 24 16 12 8

上的任一点,OP 交椭圆于点 R, 2 Q 是 OP 上一点,且满足 |OP||OQ|=|OR| 求动点 Q 的轨迹方程并 O 指出轨迹的曲线. 解 以原点为极点,ox 轴正方向为极轴建立极坐标系 则椭圆的极坐标方程为 标方程
? 2 cos2 ?
24 ?

R Q L

P

? 2 sin2 ?
16

? 1 ,直线 L 的极坐

? cos?
12

?

? sin?
8

2 ? ? 1 ,则 | OR | 2 ? ? R
2

设点 Q(ρ ,θ ), 由|OQ||OP|=|OR| 得

48 24 , | OP |? ? P ? 2 2 2 cos ? ? 3 sin? 2 cos ? ? 3 sin ? 24 48 ?? ? 2 cos? ? 3 sin? 2 cos2 ? ? 3 sin2 ?

2 2 整理得 2? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin2 ? ? 4? cos? ? 6? sin? 即 2x +3y =4x+6y(x,y 不同为 0) ( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 故 Q 点的轨迹方程为 ? ? 1 (x,y 不同为 0),其轨迹是去掉原点的一个椭圆. 5 5 2 3 十二、切点弦方程的求法 2 例 12.过抛物线 y =4x 外一点 P(-1,-2)作抛物线两切线,切点分别为 M、N,求直线 MN 的方程。 解:设 M(x1 y1)N(x2 y2)则过 M、N 的切线方程为 y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2) 由于过 M、N 的切线都经过 P(-1、-2)则-2y1=2(x1-1) -2y2=2(x2-1) ∴直线 MN 的方程为-2y=2(x-1)即 x+y-1=0

结论一:(圆的切点弦方程) 过圆 x2+y2= r2(r>0),外一点 P(a,b)作圆的两切线,切点为 M、N,则直线 MN 的方程为:ax+by=r2 (若圆心 C 不在原点,以 PC 为直径圆与原圆相减)

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)外一点 P(x0,y0)作椭圆的两 a2 b2 x x y y 切线,切点为 M、N 则直线 MN 的方程为: 02 ? 02 ? 1 a b
结论二:(椭圆的切点弦方程) 过椭圆

结论三:(抛物线的切点弦方程) 过抛物线 y2=2px(p>0)外一点 P(x0,y0)作两切线,切点为 M、N,则直线 MN 的方程为 yy0=p(x+x0)

x2 y2 ? ? 1 外一点 P(x0 ,y0)作双曲线两切线,切 a2 b2 x x y y 点分别为 M、N 则直线 MN 的方程为: 02 ? 02 ? 1 a b
结论四:(双曲线的切点弦方程) 过双曲线 第 4 页 共 4 页


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