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12月20日物理竞赛磁场电磁感应测试


一: (24 复 4) (25 分)图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x ? 0 的一侧,存 在匀强磁场,磁场方向垂直于 oxy 平面向里,磁感应强度的大小为 B。在 x ? 0 的一侧,一 边长分别为 l1 和 l 2 的刚性矩形超导线框位于桌面上,框内无电流,框的一对边与 x 轴平行。 线框的质量为 m,自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v0

进入磁场区域,试定量 地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度 v0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中始 终保持超导状态)

二: (21 复 7) (25 分)如图所示,有二平行金属导轨,相距 l,位于同一水平面内(图中纸 面) ,处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下(垂直纸面向里) .质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放在导轨上,与导轨垂直.初始时刻, 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处.假设导轨及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L.今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速 v0 .设导轨足够长, x0 也足 够大,在运动过程中,两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x0 ,因而可以 认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的.杆与导轨 之间摩擦可不计.求任意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时间 t 的变化关系. y c y a v0 O d b x

三: (23 复 5) (25 分)磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮 系统,利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是 驱动系统,在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作 周期性变化的磁场,磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) ? B0 cos(? t ? kx)
式中 B0 、? 、 k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向的分布是不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面, “×”表示磁场的方向垂 直 Oxy 平面指向纸里, “· ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。 “×”和“· ”的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有 一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l ,与 轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d,金属框的电阻为 R,不计金属框的电感。1.试求在时 刻 t,当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻金属框沿 x 轴正 方向移动的速度为 v 。 2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

四: (25 复 5) (25 分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子 组成,电子在电子束中均匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷 量为 ?e(e ? 0) , 质量为 m。 该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器, 其前端(即图中的右端)于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一 个小孔,使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之间加上了如图所示的周期性 变化的电压 VAB ( VAB ? VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最大值和最小值 分别为 V0 和-V0,周期为 T。若以 ? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压 处于最小值的时间间隔为 T- ? 。 已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器 到达电容器右边的所有的电子, 能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。 设电容器两极 板间的距离很小,电子穿过电容器所需要的时间可以忽略,且 mv2 ? 6eV0 ,不计电子之间 的相互作用及重力作 用。

1、满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? = T,tb= T。 2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻,在 0-2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间 形成的电流 I, 随离开右极板距离 x 的变化图线, 并在图上标出图线特征点的纵、 横坐标 (坐 标的数字保留到小数点后第二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小孔所在的位置,横坐标的单位 s ? 程)

eV0 。 (本题按画出的图评分,不须给出计算过 m

五: (22 复 5) (25 分)一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、外半径分别为 a1、a2,厚度可以
忽略.两个表面都带有电荷,电荷面密度 ? 随离开环心距离 r 变化的规律均为 ? ( r ) ?

?0
r2

, ? 0 为已知常

量.薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 ? 减速转动,t = 0 时刻的角速度为 ? 0 .将一 半径为 a0 (a0<<a1)、电阻为 R 并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置.试求在薄圆环减速运动过程 中导线圆环中的张力 F 与时间 t 的关系. 提示:半径为 r、通有电流 I 的圆线圈(环形电流) ,在圆心处产生的磁感应强度为 B ? k

I r

a1 a2

六: (29 决 5) (25 分) 如图所示,一半径为 R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置,可绕过圆

盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由转动.一半径为 a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上, 圆线圈与圆盘共轴. 在盘边缘处等间隔地固定 4 个质量均为 m 的带正电的金属小球, 每个小 球所带电荷量均为 q. 此装置处在一磁感应强度大小为 B0、 方向竖直向上的均匀强磁场中. 初 始时圆盘静止,圆线圈中通有恒定电流 I.方向沿顺时针方向(从上往下看).若切断圆线圈 中的电流,则圆盘将发生转动.求薄圆盘稳定转动后,圆盘在水平方向 对每个金属球小的作用力的大小.假设金属小球可视为质点,不计小圆 线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场. 已知固定在圆盘面上的半径为 a、通有电流 I 的圆线圈在圆盘面内、 距线圈圆心的距离为 r 处 (r>>a) 产生的磁场的磁感应强度的大小为 B= k m

2?a 2 I ,式中 km 为已知常量,当线圈中的电流沿顺时针方向时, r3

磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上.静电力常量为 ke.


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