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3.2均值不等式学案2


高二数学组

必修 5 学案

3.2 均值不等式(2)
【创设情境】 例:①一个矩形的面积为 100,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?并求出最短周长; ②已知矩形的周长为 36,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的面积最大?并求出最大面积.

【概念形成】 对于任意的两个正实数 x, y : 如

果 xy 为常数,则 x ? y 有最小值;如果 x ? y 为常数,则 xy 有最大值。 【典例分析】
a 一、形如 y ? x ? (a ? 0) 函数最值(或值域) : x a 例 1.探索函数 y ? x ? (a ? 0) 的性质和图象,并求出该函数的最值及取得最值时相应的 x 值。 x

例 2.求出下列函数的最值及取最值时相应的 x 值: (1) y ? lg x ? log x 10 ( x ? 1)

? (2) y ? tan ? ? cot ? ,(0 ? ? ? ) 2

2 (3) y ? x ? 2

x2 ? 1

(4) y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

-1-

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例 2.若 x ? ?1 ,则 x 为何值时函数 f ( x) ? x ?

1 有最小值,最小值为多少? x ?1

变式: (1).求函数 f ( x) ?
?2 x2 ? x ? 3 ( x ? 0) 的最大值,以及此时的 x 值. x

(2).求函数 f ( x) ?

x ?1 ( x ? 1) 的最大值,以及此时的 x 值. x ?x?4
2

(3).求函数 f ( x) ?

2x ? 3 3 ( x ? ) 的最大值,以及此时的 x 值. 2 4 x2 ? 4 x ? 1

【巩固提高】 1. f ( x) ?
x2 ( x ? 0) 的最大值是_____________,相应的 x ? _______________ x4 ? 2

4 2. y ? 2 ? ? x( x ? 0) 的最大值是_____________,相应的 x ? _________________ x

3.函数 y ? x ? 4.已知 0 ? ? ?

3 ( x ? 2) 的最小值是________________,相应的 x ? ________________ x?2

?
2

,函数 f (? ) ?

(sin 2? ? 2)2 的最小值是_____________,相应的 ? =_____________. sin 2?

1 1 5.已知 a, b ? R ? , 且 a ? b ? 1 ,则 ? 的最小值是____________,相应的 a ? _______ b ? ______ a b

6.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 3 y ? 1, 则 1 ? 2 的最小值是____________,相应的 x ? ______ y ? ________
x y
-2-


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