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高考冲刺训练卷数列汇编一


高考冲刺训练卷数列汇编一
1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A、1 B、2 C、3 D、4 2.已知 ? a n ? 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? ? 8 ,则 a 1 ? a 1 0 ? ( A. 7 B. 5 C. ? ? D. ? ? ) )

a a 3. 已知 {

a n } 是等差数列, 1 ? a 2 ? 4 , 7 ? a 8 ? 2 8 , 则该数列前 10 项和 S 1 0 等于 (

A.64 B.100 C.110 D.120 4.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 5.已知等比数列 ? a n ? 中 a 2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是() (A) ? ? ? , ? 1 ? (C) ? 3 , ? ? ? (B) ? ? ? , 0 ? ? ? 1, ? ? ? (D) ? ? ? , ? 1 ? ? ? 3 , ? ? ?
1 n ) ,则 a n ?

6.在数列 { a n } 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? ln (1 ? A. 2 ? ln n B. 2 ? ( n ? 1) ln n

C. 2 ? n ln n
? 1

D. 1 ? n ? ln n
? ? 的前 100 项和为 ?

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 ? A、
100 101

? a n a n ?1

B、

99 101

C、

99 100

D、

101 100

8.已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ?

1 3
n ?1

?n ?

N * ? ,则 lim a n ?
n? ?

. , S4
? 3a4 ? 2

9.设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若 S 2

? 3a2 ? 2



则 q=______________. 10.设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=_________
2 11.已知等比数列{an}为递增数列,且 a 5 ? a 1 0 , 2 ( a n ? a n ? 2 ) ? 5 a n ? 1 ,则数列{an}

的通项公式 an =______________。 12.设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 1 0 , S 5 ? 1 5 ,则 a 4 的最大值为____。
2 2 3 ? 13.若数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 1 0 n ( n ? 1,,, ) ,则此数列的通项公式为

;数列 ? n a n ? 中数值最小的项是第
n
*

项.

14.设 N=2 (n∈N ,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号为 1,2,…,N 的 N 个 位置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺
试卷第 1 页,总 2 页

序依次放入对应的前

N 2

和后

N 2 N 2

个位置,得到排列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为 个数,并对每段作 C 变换,得到 p 2 ;当 2≤i≤n-2 时,

C 变换,将 P1 分成两段,每段 将 Pi 分成 2 段,每段
i

N 2
i

个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1 ,例如,当 N=8 时,

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置.

15.(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和满足 S 1 ? 1 ,且
6 S n ? ( a n ? 1 )( a n ? 2 ), n ? N
*

(1)求{ a n }的通项公式;(5 分) ( 2 ) 设 数 列 { bn } 满 足
3 T n ? 1 ? log

a n (2
*

bn

? 1) ? 1

, 并 记 Tn 为 { bn } 的 前 n 项 和 , 求 证 :

2

( a n ? 3 ), n ? N

.

(7 分)
R

16. (本小题满分 12 分)已知数列 { a n } , { b n } 与函数 f ( x ) , g ( x ) , x ?
a n ? bn

满足条件:

, f ( bn ) ? g ( b n ?1 ) ( n ? N * ) .

(I)若 f ( x ) ≥ tx ? 1, t ? 0 , t ? 2 , g ( x ) ? 2 x , f ( b ) ? g ( b ) , lim a n 存在,求 x 的
n? ?

取值范围; (II)若函数 y ? f ( x ) 为 R 上的增函数, g ( x ) ? f 意n ?
N *
?1

(x)

,b

? 1 , f (1) ? 1

,证明对任

, lim a n (用 t 表示) .
n? ?

17. (本小题共 13 分)数列 ? a n ? 中,a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? c n ( c 是常数,n 且 a 1, a 2, a 3 成公比不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ? a n ? 的通项公式.

? 1,,, 2 3 ?

) ,

试卷第 2 页,总 2 页

参考答案 1.B 【解析】
? a1 ? a 5 ? 1 0 ,

? 2 a1 ? 4 d ? 1 0 , ?? ? a 4 ? a1 ? 3 d ? 7

解得 d ? 2 【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式 a n ? a 1 ? ? n ? 1 ? d ,考查计算求解能力 2.D 【 解 析 】 因 为 {a n } 为 等 比 数 列 , 所 以 a 5 a 6 ? a 4 a 7 ? ? 8 , 又 a 4 ? a 7 ? 2 , 所 以
a 4 ? 4, a 7 ? ? 2
a 1 ? a 10 ? ? 7

或 a 4 ? ? 2, a 7 ? 4 . 若 a 4 ? 4, a 7 ? ? 2 , 解 得 a 1 ? ? 8, a 10 ? 1 ,

;若 a 4 ? ? 2, a 7 ? 4 ,解得 a 10 ? ? 8, a 1 ? 1 ,仍有 a 1 ? a 10 ? ? 7 ,综上选

D. 3.B 【解析】设公差为 d,则由已知得 ?
? 2 a1 ? d ? 4 ?d ? 2 ? ? ? a1 ? 1 ? 2 a1 ? 1 3 d ? 2 8

而 S 1 0 ? 1 0 a 1 ? 4 5 d ? 1 0 ? 9 0 ? 1 0 0 ,故选 B. 4.B 【解析】因为数列 { a n } 为等差数列,所以 S 1 1 ?
1 1( a 1 ? a 1 1 ) 2 11? 16 2 ? 88 ,

,根据等差数列的性质,若

p ? q ? m ? n ,则 a p ? a q ? a m ? a n ,得 a 1 ? a 1 1 ? a 4 ? a 8 ? 1 6 ,所以 S 1 1 ?

故选 B 考点定位: 本题是等差数列问题, 意在考查学生对于等差数列的通项公式和求和公式的理解 和对等差数列的性质的运用能力 5.D 【解析】 【解 1】∵等比数列 ? a n ? 中 a 2 ? 1 ∴当公比为 1 时, a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 , S 3 ? 3 ; 当公比为 ? 1 时, a 1 ? ? 1, a 2 ? 1, a 3 ? ? 1 , S 3 ? ? 1 从而淘汰(A) (B) (C) 故选 D; 【解 2】∵等比数列 ? a n ? 中 a 2 ? 1 ∴ S 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 2 ? 1 ? q ?
? ? 1 ? 1 ? ? 1? q ? q ? q

试卷第 3 页,总 8 页

∴当公比 q ? 0 时, S 3 ? 1 ? q ?

1 q

? 1? 2

q?

1 q

? 3;

当公比 q ? 0 时, S 3 ? 1 ? ? ? q ?
?

?

1 ? ? ? 1? 2 q ?

? 1 ? ?q ?? ? ? ? ?1 ? q ?

∴ S 3 ? ? ? ? , ? 1? ? ? 3, ? ? ?

故选 D;

【考点】此题重点考察等比数列前 n 项和的意义,等比数列的通项公式,以及均值不等式的 应用; 【突破】特殊数列入手淘汰;重视等比数列的通项公式, n 项和, 前 以及均值不等式的应用, 特别是均值不等式使用的条件; 6.A 【解析】 a 2 ? a 1 ? ln (1 ? ) , a 3 ? a 2 ? ln (1 ?
1 ? a n ? a 1 ? ln ( 2 1 )( 3 2 )( 4 3 )? ( n n ?1 1 1 2 ) ,…, a n ? a n ? 1 ? ln (1 ? 1 n ?1 )

) ? 2 ? ln n 。

7.A 【 解 析 】 由 a 5 ? 5 , S 5 ? 15 , 得 a 1 ? 1 , d ? 1 , 所 以 a n ? 1 ? ( n ? 1 ) ? n , 所 以
1 a n a n ?1 ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1





1 a1a 2

??

1 a 100 a 101

?

1 1

?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 100

?

1 101

?1?

1 101

?

100 101

,选 A.

8.

7 6

【解析】 a n ? ( a n ? a n ? 1 ) ? ( a n ? 1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1 ?
1

1 3
n

? 3

1
n ?1

?? ?

1 3
2

?1

所以 lim a n ? 1 ? 3
n? ?

2

1?

1 3

?

7 6

.

9.

3 2

【解析】将 S 2 即?

? 3a2 ? 2

, S4

? 3a4 ? 2

两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子.
? a1 q
3

? a1 ? a1 q ? 3 a1 q ? 2 ? a1 ? a1 q ? a1 q
3 2
2

? a1 q

3

? 3 a1 q ? 2
3

, 两式作差得:a 1 q 2

? 3 a1 q ( q

2

? 1)

, 即:2 q 2

? q ?3 ? 0



解之得: q

?

or q ? ?1

(舍去)

10.35 【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想
试卷第 4 页,总 8 页

(解法一)因为数列 { a n } , { b n } 都是等差数列,所以数列 ? a n ? b n ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a 5 ? b 5 ? ? ? a 1 ? b1 ? ? 2 ? a 3 ? b 3 ? ,即 ? a 5 ? b 5 ? ? 7 ? 2 ? 2 1 ,解得
a 5 ? b5 ? 3 5 .

(解法二)设数列 { a n } , { b n } 的公差分别为 d 1 , d 2 , 因为 a 3 ? b 3 ? ( a 1 ? 2 d 1 ) ? ( b1 ? 2 d 2 ) ? ( a 1 ? b1 ) ? 2 ( d 1 ? d 2 ) ? 7 ? 2 ( d 1 ? d 2 ) ? 2 1 , 所以 d 1 ? d 2 ? 7 .所以 a 5 ? b 5 ? ( a 3 ? b 3 ) ? 2 ( d 1 ? d 2 ) ? 3 5 . 【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等 差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公 式,前 n 项和,等差中项的性质等. 11. 2 n 【 解 析 】 设 数 列 { a n } 的 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 则 a12 q 8 ? a1 q 9 , 所 以 a1 ? q , 由
2 ( a n ? a n ? 2 ) ? 5 a n ? 1 得 2 q ? 5 q ? 2 ? 0 解得 q ? 2 或 q ?
2

1 2

,因为数列 { a n } 为递增数列,所

以 q ? 2 , a 1 ? 2 ,所以 a n ? 2 n 考点定位:本题考查等比数列,意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力 12.4 【解析】∵等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 1 0 , S 5 ? 1 5
4?3 ? S ? 4 a1 ? d ? 10 ? 4 2 ∴? ? ? S ? 5a ? 5 ? 4 d ? 15 1 ? 5 ? 2

? 2a ? 3d ? 5 即? 1 ? a1 ? 2 d ? 3

5 ? 3d 5 ? 3d ? ? 3d ? ? a 4 ? a1 ? 3 d ? ∴? 2 2 ? a ? a ? 3d ? ? a ? 2d ? ? d ? 3 ? d 1 1 ? 4
d ?1



5 ? 3d 2

? a4 ? 3 ? d

,5 ?

3d ? 6 ? 2 d



∴ a4 ? 3 ? d ? 3 ? 1 ? 4

故 a 4 的最大值为 4 ,应填 4

【点评】此题重点考察等差数列的通项公式,前 n 项和公式,以及不等式的变形求范围; 【突破】利用等差数列的前 n 项和公式变形不等式,利用消元思想确定 d 或 a 1 的范围解答本 题的关键; 13. 2 n ? 1 1 ;3
2 2 3 ? 【解析】数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 1 0 n ( n ? 1,,, ) ,数列为等差数列,数列的通项

2 公式为 a n ? S n ? S n ? 1 = 2 n ? 1 1 ,数列 ? n a n ? 的通项公式为 n a n ? 2 n ? 1 1 n ,其中数值最小

试卷第 5 页,总 8 页

的项应是最靠近对称轴 n ?

11 4

的项,即 n=3,第 3 项是数列 ? n a n ? 中数值最小的项。

14. (1)6; (2) 3 ? 2 n ? 4 ? 1 1 【解析】 (1)当 N=16 时,
P0 ? x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ? x 1 6

,可设为 (1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , ? , 1 6 ) , ,即为 (1, 3, 5 , 7 , 9 , ? 2 , 4 , 6 , 8 , ? ,1 6 ) , ,即 (1, 5 , 9 , 1 3, 3, 7 , 1 1, 1 5 , 2 , 6 , ? , 1 6 ) , x7 位于 P2 中的第 6

P1 ? x 1 x 3 x 5 x 7 ? x 1 5 x 2 x 4 x 6 ? x 1 6

P2 ? x 1 x 5 x 9 x 1 3 x 3 x 7 x 1 1 x 1 5 x 2 x 6 ? x 1 6

个位置,; (2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2 n ? 4 ? 1 1 个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 15. (1) ? a n ? 的通项为 a n ? 3 n ? 1 (2)证明见解析 【解析】解:由 a 1 ? S 1 ?
a1 ? 2

1 6

( a 1 ? 1) ( a 1 ? 2 )

,解得 a 1 ? 1 或 a 1 ? 2 ,由假设 a 1 ? S 1 ? 1 ,因此


1 6 ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 2 ) ? 1 6 ( a n ? 1)( a n ? 2 ) ,

又由 a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ?

得 ( a n ?1 ? a n ) ( a n ?1 ? a n ? 3 ) ? 0 , 即 a n ? 1 ? a n ? 3 ? 0 或 a n ? 1 ? ? a n ,因 a n ? 0 ,故 a n ? 1 ? ? a n 不成立,舍去. 因此 a n ? 1 ? a n ? 3 ,从而 ? a n ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 ? a n ? 的通项为 a n ? 3 n ? 1 . (II)证法一:由 a n ( 2 b
? 1) ? 1 可解得 b n ? lo g 2 ? 1 ?

? ?

n

1 ? 3n ? ? lo g 2 a2 ? 3n ? 1



从而 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? lo g 2 ? ? ?? ?
? 2 5

? 3 6

? ? 3n ? 1 ? 3n



3n ? 2 ? 3 6 因此 3 T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3 ) ? lo g 2 ? ? ?? ? . ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ? 2 5
f (n ?1 ) 3n ? 2 ? 3 6 , 则 ? ?? ? ? ? f (n ) 3n ? 1 ? 3n ? 2 ? 2 5
3

3

令 f (n) ? ?

3 n ? 3? n 3 2 ? ? ?? 3 n ? 3 n 2? 5 ?

(3 n3)? ? ? ? 2) ? (3 n 5)(3? n

3

2

?

2



因 (3 n ? 3 ) 3 ? (3 n ? 5 )(3 n ? 2 ) 2 ? 9 n ? 7 ? 0 ,故 f ( n ? 1) ? f ( n ) .
试卷第 6 页,总 8 页

特别地 f ( n ) ≥ f (1) ?

27 20

? 1 ,从而 3 T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3 ) ? lo g 2 f ( n ) ? 0



即 3 T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3 ) . 证法二:同证法一求得 b n 及 T n , 由二项式定理知,当 c
? 0

时,不等式 (1 ? c ) 3 ? 1 ? 3 c 成立.
3 3 3

1 ? ? 1? 1 ? ? ? 由此不等式有 3 T n ? 1 ? lo g 2 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 2? ? 5? 3n ? 1 ? ? ?
3 ?? 3? 3 ? ? ? ? lo g 2 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 2 ?? 5? 3n ? 1 ? ? ?

5 8 3n ? 2 ? lo g 2 2 · · ? · · ? lo g 2 (3 n ? 2 ) ? lo g 2 ( a n ? 3 ) 2 5 3n ? 1



证法三:同证法一求得 b n 及 T n . 令 A n ? · · ?·
2 5 3 6 4 7 3n ? 1 , Bn ? · · ? · 3n ? 1 3 6 3n 3n

, C n ? · · ?·
4 7

5 8

3n ? 2 3n ? 1





3n 3n ? 1

?

3n ? 1 3n

?

3n ? 2 3n ? 1

.因此 A n2 ? A n B n C n ?
3

3n+2 2



从而 3 T n ? 1 ? lo g 2 2 ?

3n ? ? 3 6 3 ? ?? ? ? ? lo g 2 2 A n 3n ? 1 ? ? 2 5

? lo g 2 2 A n B n C n ? lo g 2 (3 n ? 2 ) ? lo g 2 ( a n ? 3 )



证法四:同证法一求得 b n 及 T n . 下面用数学归纳法证明: 3 T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3 ) . 当n
?1

时, 3 T1 ? 1 ? lo g 2

27 4

, lo g 2 ( a 1 ? 3 ) ? lo g 2 5 ,

因此 3 T1 ? 1 ? lo g 2 ( a 1 ? 3 ) ,结论成立. 假设结论当 n 则当 n
? k ?1

? k

时成立,即 3 T k ? 1 ? lo g 2 ( a k ? 3 ) .

时,

3 T k ? 1 ? 1 ? lo g 2 ( a k ? 1 ? 3 ) ? 3 T k ? 1 ? 3 b k ? 1 ? lo g 2 ( a k ? 1 ? 3 )

? lo g 2 ( a k ? 3 ) ? lo g 2 ( a k ? 1 ? 3 ) ? 3 b k ? 1

? lo g 2

(3 k ? 3 )

3 2

(3 k ? 5 )(3 k ? 2 )

试卷第 7 页,总 8 页

因 (3 k ? 3 ) 3 ? (3 k ? 5 )(3 k ? 2 ) 2 ? 9 k ? 7 ? 0 .故 lo g 2 从而 3 T k ? 1 ? 1 ? lo g 2 ( a k ? 1 ? 3 ) .这就是说,当 n

(3 k ? 3 )

3 2

(3 k ? 5 )(3 k ? 2 )

? 0.

? k ?1

时结论也成立.

综上 3 T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3 ) 对任何 n ? N + 成立. 16. (I)-2<t<2 且 t
? 0 . lim a n ?
n? ?

2 2 ? t

.

(II)对任意的 ( n ? N *) , a n ? 1 < a n 【解析】解法一:由题设知 ?
? ? a n ? 1 ? tbn ? 1 ? 1 a n ? 2 b n ?1 ,

得 a n ?1 ?

t 2

a n ?1 , 又 已 知 t ? 2 , 可 得

a n ?1 ?

2 t ? 2

?

t 2

(a n ?

2 t ? 2

).
2 ? ? ? 0 , 所以 ? a n ? ? 2 t ? 2? ? t



f ( b ) ? g ( b ), t ? 2 , t ? 0 , 可知 a 1 ?

2 t ? 2

? tb ?

t t ? 2

? 0,

是等比

其首项为 tb ?
2 ? ( tb ? t

t t ? 2

, 公比为
n ?1,

t 2

.于是
t t ? 2 )( t 2
? 0.

an ?

t ? 2

t ? 2

)(

t 2
t 2

)

即 a n ? ( tb ?

)

n ?1

?

t t ? 2

.

又 liman 存在,可得 0< |
lim a n ?
n? ?

| <1,所以-2<t<2

且t

2 2 ? t

.
? 2 . 可得

解法二.由题设知 tbn+1=2bn+1,且 t
b n ?1 ? 1 t ? 2 ? t 2 (b n ? 1 t ? 2 ).

由 f ( b ) ? g ( b ), t ? 2 , t ? 0 , 可知 b ?
t 2
bn ? 1 t ? 2 ? (b ? 1 t ? 2 )( t 2 )
n ?1

1 t ? 2

? 0,

1 1 ? ? , ? 0 ,所以 ? b n ? ? 是首项为 b ? 2 t ? 2 t ? 2? ?
t



的等比数列.
,即 b n ? (b ? 1 t ? 2 )( t 2 )
n ?1

?

1 t ? 2

.

由 a n ? 2 b n ? 1 可知,若 lim a n 存在,则 lim b n 存在.于是可得 0< |
n? ?
n? ?

t 2

| <1,所以-1<t ? 0

.

lim a n =2 lim b n ?
n? ?
n? ?

2 2 ? t

.

解法三:由题设知 tbn+1=2bn+1,即
b n ?1 ? t 2 bn ? 1 2 ,①

试卷第 8 页,总 8 页

于是有
bn?2 ? t 2 b n ?1 ? 1 2 ,②

②-①得 b n ? 2 ? b n ? 1 ?
c n ?1 ? t 2 cn.

t 2

( b n ? 1 ? b n ), 令 c n ? b n ? 1 ? b n , 得

由 f ( b ) ? g ( b ), t ? 2 , t ? 0 可知 c 1 ? b 2 ? b 1 ? 公比为
t 2
1? ( b n ?1 ? ( c 1 ? c 2 ? ? ? ? c n ) ? b1 ? 1?
t 2 2 ? t

(t ? 2 )b ? 1 2

? 0,

t 2

所以 ?c n ? 是首项为 b ? 0,

的等比数列,于是
t 2 t 2
4 [1 ? ( ) ]
n

)

n

( b 2 ? b1 ) ? b .

a n ? 2 b n ?1 ?

(b2-b1)+2b.
t 2 | <1,所以-2<t<2

又 lim a n 存在,可得 0< |
n? ?

且t

? 0.

lim a n ?
n? ?

4 2 ? t

( b 2 ? b1 ) ? 2 b ?

2 2 ? t

.

说明:数列 ?a n ? 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一,其他过程和结果参照以标准. (Ⅱ)证明:因为 g ( x )
? f
?1

( x ), 所以 a n ? g ( b n ? 1 ) ? f

?1(

b n ? 1 ), 即 b n ? 1 ? f ( a n )

.

下面用数学归纳法证明 a n ? 1 < an ( n ? N *) . (1)当 n=1 时,由 f(x)为增函数,且 f (1 ) <1,得
a 1 ? f ( b 1 ) ? f (1 ) <1
b 2 ? f ( a 1 ) ? f (1 ) <1

a 2 ? f ( b 2 ) < f (1 ) ? a 1 ,

即 a 2 < a 1 ,结论成立. (2)假设 n=k 时结论成立,即 a k ? 1 < a k .由 f(x)为增函数,得
f ( a k ? 1 ) <f a k

即b

k ?2

< b k ? 1 进而得

f ( a k ? 1 ) <f( b k ? 1 )即 a k ? 2 < a k ? 1 .

这就是说当 n=k+1 时,结论也成立.
试卷第 9 页,总 8 页

根据(1)和(2)可知,对任意的 ( n ? N *) , a n ? 1 < a n . 17. (I) c (II) a n
? 0
2

或c

? 2

? n

? n ? 2 ( n ? 1,, ) 2 ?



【解析】解: (I) a 1 ? 2 , a 2 ? 2 ? c , a 3 ? 2 ? 3 c , 因为 a 1 , a 2 , a 3 成等比数列, 所以 ( 2 ? c ) 2 ? 2 ( 2 ? 3 c ) , 解得 c 当c
? 0

或c

? 2


? 2

? 0

时, a 1 ? a 2 ? a 3 ,不符合题意舍去,故 c
2



(II)当 n ≥
a 2 ? a1 ? c

时,由于

, ,

a3 ? a2 ? 2c
??

a n ? a n ? 1 ? ( n ? 1) c


n ( n ? 1) 2
2

所以 a n ? a 1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)] c ? 又 a1 ? 2 , c 当n
?1
? 2

c .

,故 a n

? 2 ? n ( n ? 1) ? n

? n ? 2 ( n ? 2 ,, ) 3 ?



时,上式也成立,
? n
2

所以 a n

? n ? 2 ( n ? 1,, ) 2 ?



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