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第6讲倍角公式及辅助角公式及应用


第6讲

倍角公式、辅助角公式及应用

第6讲
【考试要求】

倍角公式、辅助角公式及应用

1、考查利用两角和差公式、二倍角公式及辅助角公式进行 三角函数式的化简与求值。

2、考查利用三角公式进行三角函数变换。

考点自测

1.计算 sin15°cos15° =___ 2.计算 cos222.5°-sin222.5° =___ 1 π α 3.已知 cosα= ,α∈( ,π),则 cos =___ 3 2 2 π 1 4. 已知α∈(0, ), sinα= ,则 tan2α =____ 2 3 5.函数 f(x)=sinx-cosx 的振幅是____ 初相是____

考点梳理 1.二倍角的正弦,余弦,正切公式 S2α sin2α=2sinαcosα C2α cos2α=cos2α-sin2α=2 cos2α-1=1-2 sin2α 2tanα T2α tan2α= 1- tan2α 2.公式的常见变形 1-cos2α 1+cos2α 2 2 sin α= cos α= 2 2 1+sin2α=( sinα+cosα)2 1-sin2α=( sinα-cosα)2 1-cos2α=2sin2α 1+cos2α=2cos2α 3.辅助角公式 asinx+bcosx= a +b sin(x+φ )
2 2

a (tanφ = ) b

考点训练 — 题组一
α 3 1.(2013 年江西卷)若 sin = ,则 cosα = 2 3 A.- 2 3 B. - 1 3 C. 1 3 D. 2 3

2.(2013 年课标全国卷)已知 sin2α = A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2

2 π ,则 cos2(α + )= 3 4 D. 2 3

π 3.(2013 年四川卷)设 sin2α =-sinα , α ∈( , π),则 tan2α =_____ 2

考点训练 — 题组一
α 3 1.(2013 年江西卷)若 sin = ,则 cosα = 2 3 2 A.- 3 1 B. - 3 1 C. 3 2 D. 3

2 π 2 2.(2013 年课标全国卷)已知 sin2α = ,则 cos (α + )= 3 4 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

π 3.(2013 年四川卷)设 sin2α =-sinα , α ∈( , π),则 tan2α =_____ 2 π 4.已知 0<α < <β<π , 2 (1) 求 sinα 的值。 α 1 2 tan = , cos(β-α)= 2 2 10 (2)求 β 的值。

π 4.已知 0<α < <β<π , 2 (1) 求 sinα 的值。

α 1 2 tan = , cos(β-α)= 2 10 2 ( 2)求β的值。 2tan π ∵0<α< , 2 4 sin α= 5

α 4 α 1 2 解:(1)∵tan = , ∴tan α= = 2 2 α 3 (1-tan2 ) 2

1 α α α 2· 2tan 2sin cos α 2 4 α α 2 2 2 另解(sin α=sin2· =2sin ·cos = = = = ) 2 2 2 5 1 2 2α 2α 2α sin +cos tan +1 ( ) +1 2 2 2 2 4 3 π (2)∵0<α< ,sin α= ,∴cos α= . 2 5 5 又 0<α<<β<π,∴0<β-α<π. 由 cos(β-α)= 2 7 2 π ,得 0<β-α<. ∴sin(β-α)= , 2 10 10

∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sin α = 7 2 3 2 4 2 × + × = 10 5 10 5 2 π <β< π 2 3π 得β= 4



小结一:
1 、对于给值求值问题,关键在于变角,使未知角变为已知 角,其手法通常是“配凑” ,如: α = (α +β ) -β ;β = α -β β =( α + 2 2 α +β α -β - ; 2 2 α +β ) …

)-(

2

2 、求角问题的一般步骤: (1 )求角的某一个三角函数值; 在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正 切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若 π 角的范围是(0 , ) ,选正、余弦皆可;若角的范围是(0, 2 π π π ) ,选余弦较好;若角的范围为(, ) ,选正弦好. 2 2 (2 )确定角的范围; (3 )根据角的范围写出所求的角.

考点训练 — 题组二
3 1、 (2013 年浙江卷)函数 f(x)=sinxcosx+ cos2x 的最 2 小正周期和振幅分别是( ) A π , 1 B π , 2 C 2π , 1 D 2π , 2 2、 (2013 年江西卷) 设 f(x)= 3、 (2013 年北京)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+
2

3sin3x+cos3x,若对任意

实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是_____

1 cos4x 2

(1)求 f(x)的最小正周期及最大值。 (2)若α ∈( π ,π ),且 f(α )= 2 2 ,求α 的值。 2

小结二:
在本题的解答中, 运用了二倍角的正弦,余弦 公式,还引入了辅助角公式,技巧性较强, 特 别 是 辅 助 角 公 式 asinx+bcosx= a +b sin(x+ φ )
2 2

a (tanφ = ), b

在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年 年运用到,考查到,应特别加以关注。

作业布置
P74 1、2、3、4、5


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