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2.3.4


2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标 1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的等价条件; 2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3.通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思 维能力. 重、难点 教学重点: 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解. 教学难点: 定比分点的理解和应用. 自主学习 1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有________________. (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有__________.即两向量的相应坐标成比例. → → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈__________时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈__________时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.

设 P(x,y)为线段 P1P2 上的一点,P1(x1,y1),P2(x2,y2). → → 当P1P=λPP2 (λ≠-1)时,求 P 点的坐标.

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对点讲练 平面向量共线的坐标运算 例 1 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是 同向还是反向?

回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断, 特别是 利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配. → → 变式训练 1 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是否共线?如果共 线,它们的方向相同还是相反?

平面向量的坐标运算 → → 例 2 已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP|=2|PB|,求点 P 的 坐标.

回顾归纳 在求有向线段分点坐标时, 不必过分强调公式记忆, 可以转化为向量问题后 解方程组求解,同时应注意分类讨论. → → 变式训练 2 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向,|AB|=2 13,求点 B 的坐 标.

利用共线向量求直线的交点 例3

如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

回顾归纳 本例中的两个方法, 在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面
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给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法. 而且更为重要的是给我 们提供了求直线与直线交点的向量方案. → 变式训练 3 平面上有 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB 上,且AC= 1→ → 1→ BC,连接 DC,点 E 在 CD 上,且CE= ED,求 E 点坐标. 2 4

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. x2 y2 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三 点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思 想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 课时作业 一、选择题 → → 1.已知三点 A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,则 D 点坐标是( ) A.(1,0) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 2.若三点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x 的值为( )

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9 C. D.5 2 3.已知向量 m=(-7,2+k),n=(k+13,-6),且 m∥n,则 k 的值等于( ) A.1 B.-2 C.-16 D.1 或-16 4.已知 A、B、C 三点在一条直线上,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6, 则 C 点的纵坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 D.13 A.-1 B.3 二、填空题 5. 设向量 a=(1,2), b=(2,3). 若向量 λa+b 与向量 c=(-4, -7)共线, 则 λ=________. → → → 6.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果 A、B、C 三点共线,则实数 k=________. 7.已知点 A(-1,-3),B(1,1),直线 AB 与直线 x+y-5=0 交于点 C,则点 C 的坐标 为________. 三、解答题 → → → 8.已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),试求 λ 为何值时,点 P 在 第三象限内?

9.线段 AB 的端点坐标分别为 A(-1,1),B(-2,0),且|AC|= 2|CB|,当 A、B、C 三点 共线时,求 C 点的坐标.

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