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数学理科参考答案


2 01 2 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 适 应 性 训 练

数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题 题号 1 答案 B 二.填空题 2 C 3 D 4 C 5 D
n ?1

6 D

7 B

8 D

9 D

>
10 A

n ?1 2 11. 1 ? 4 ? 9 ? ? ? (?1) n ? ? ?1?

(1 ? 2 ? ? ? n), n ? ? .

12 1 15. A

13.

2

14. ②③④ C

4?

B

3 2

? 0, 2 ?

三、解答题 16.解: 取 PD 的中点 F , (1) 连结 EF , AF , 因为 E 为 PC 中点, EF / / CD , ∴
1 且 EF ? CD ? 1 ,在梯形 ABCD 中, 2 AB / /CD, AB ? 1 ,∴ EF / / AB, EF ? AB,
P

F

E

四边形 ABEF 为平行四边形,∴ BE / / AF ,
BE ? 平面 PAD , AF ? 平面 PAD ,

D

C

A B ∴ BE / / 平面 PAD PD (2) 平面 PCD ? 平面 ABCD , ? CD , PD ? 平面 ABCD , PD ? AD ∴ ∴

在直角梯形 ABCD 中, BD ? BC ? 2, DC ? 2, ∴ ?CBD ? 90? , 即 DB ? BC . 又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC , 又 PD ? BD ? D ,∴ BC ? 平面 PBD . (3)如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0, 2,0), P(0,0,1) , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1,0), PC ? (0, 2, ?1), PQ ? ? PC, ? ? (0,1) , ??? ? ? ? Q(0, 2? ,1 ? ? ) ,设平面 QBD 的法向量为 n ? (a, b, c) , DB ? (1,1,0), ? ??? ? ? ???? ? n ? DB ? a ? b ? 0 2? ) ,∴ n ? (?1,1, DQ ? (0, 2?,1 ? ?) ,由 ? ? ???? ? ?1 ?n ? DQ ? 2?b ? (1 ? ? )c ? 0 ? ??? ? n ? BC 2 2 0 ∴ cos 45 ? ? ??? ? ,注意 ? ? (0,1) ?? ? 2 ?1。 ? ? 2 2? 2 n ? BC 2? 2?( ) ? ?1 17. 解: (Ⅰ)? a ? b ,∴ ? S n ? 2an ? 2 n?1 ? 0 , ? S n?1 ? 2an?1 ? 2 n?2 ? 0
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? ?

? an?1 ? 2an ? 2 n?1 ,?
(Ⅱ)

a n ?1 a n ?a ? ? n ? 1 ,? ? n ? 为等差数列 n ?1 n 2 2 ?2 ?

an ? ?2 ? (n ? 1) ? ?(n ? 1) ,?bn ? ? 2013 ? n? 2n , n 2

令bn?1 ? bn

? 2012 ? n? 2n?1 ? ? 2013 ? n? 2n ,
1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

?n ? 2011, bn的最大值为b2011 ? b2012 ? 22012 ,?n0 ? 2011或2012.
18. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?

故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

? (Ⅱ)由 f ? A? ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos(2 A ? ) ? 3 ? 3 ? 2 3 , 6 ? ? ? ? ?? ? 故 cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,又由 0 ? A ? 得 ? 2 A ? ? ? ? , 2 6 6 6 6? ?
故 2A ?

?
6

? ? , 解得 A ?

5? ? ? .又 B ? ,∴ C ? . 12 12 2

2 a 2 ? b2 ? c 2 ?a b? c ? ?? ? ? 2cos C ? 0. ∴ ? b a ? ab ab ?

19.解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 , ∴
a2 ? b2 ? 1



又椭圆截抛物线的准线 x ? ?1 所得弦长为 2 ,
2 ) ,∴ ∴ 得上交点为 (?1, 2

1 1 ? 22 ? 1 2 a b



1 由①代入②得 2b 4 ? b 2 ? 1 ? 0 ,解得 b 2 ? 1 或 b 2 ? ? (舍去) , 2

从而 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 ∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为
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x2 y 2 ? ?1 2 1

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(Ⅱ)∵ 倾斜角为 45? 的直线 l 过点 F , ∴ 直线 l 的方程为 y ? tan45? ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 , 由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为 F1 (?1,0) ,设 M ( x0 , y0 ) 与 F1 关于直线 l 对

? y0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ?1 ? 称,则得 ? 0 ? y 0 ? 0 ? x0 ? (?1) ? 1 ? 2 2 ?

?x ? 1 ,解得 ? 0 ,即 M (1,?2) , ? y 0 ? ?2

又 M (1,?2) 满足 y 2 ? 4 x ,故点 M 在抛物线上。所以抛物线 y 2 ? 4 x 上存在 一点 M (1,?2) ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称。 20.解:用 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”, i =1,2,3。
4 6 由题意得 P( A1 ) ? , P ? A1 A2 A3 ? ? 5 125 (Ⅰ)该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为 6 119 P ? 1 ? P ? A1 A2 A3 ? ? 1 ? ? 125 125

(Ⅱ) P ? A1 A2 A3 ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?1 ? P ? A2 ? ? ?1 ? P ? A3 ? ? ? 1 (1 ? p)(1 ? q) ? 6
5

125

及 P ? A1 A2 A3 ? ? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ?
2 3 p ? ,q ? . 5 5

4 24 pq ? 得 5 125

4 3 2 1 2 2 1 3 3 37 (2) P ?? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 4 2 2 4 3 3 1 2 3 58 P ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125

ξ

0
6 125

1

2

3
24 125

37 58 125 125 6 37 58 24 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ∴ E ?? ? ? 0 ? 125 125 125 125 5 9 ∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为 . 5

pi

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21. 解: (Ⅰ) f ( x)的定义域为 (0,?? ), f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0得x ? e1?a , 当 x ? (0, e1?a )时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数;

1 ? (ln x ? a) x2 ,

当 x ? (e1?a ,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数; ∴ f ( x)在x ? e1?a处取得极大值 f ( x)极大值 ? f (e1?a ) ? e a?1 , (Ⅱ)①当 e
1? a

,无极小值。

? e 时,即 a ? ?1时 ,
2

由(Ⅰ)知 f ( x)在(0, e1?a ) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数,
? f ( x) max ? f ? e1? a ? ? e a ?1 ………7 分

又当 x ? e ?a时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ?a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ?a , e 2 ] ∴ f ( x)与图象g ( x) ? 1的图象在 (0, e 2 ] 上有公共点, ? e a ?1 ? 1 解得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1 ②当 e1?a ? e 2即a ? ?1 时, f ( x)在(0, e 2 ] 上是增函数, ∴ f ( x)在(0, e 2 ]上的最大值为 f (e 2 ) ? 所以原问题等价于 又? a ? ?1 ∴无解 综上,实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? . (Ⅲ)令 a =1,由(Ⅰ)知,
ln x ? 1 ? 1( x ? 0),? ln x ? x ? 1, x
2?a e2

? e ??时?af ( x)f ?x0,当x,当(0? (0,]时a ]( x)f ?x0.当0.当(e? (e ?a], e 2 ] 时, f ( x) ? (0.e a?1 ) , x a e , 时, ( ) ? 0 ? x , e ?a e ? f 时 ( ) ? x ? x ?a , e 2

2?a ? 1, 解得 a ? e 2 ? 2. 2 e

? a1 ? 1 ,假设 ak ? 1(k ? N * ) ,
则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 ,故 an ? 1(n ? N * ) 从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1?1 ? an?1 ? 2(1 ? an ) ? ? ? 2n (1 ? a1 ) 即 1 ? an ? 2n ?an ? 2n ?1。

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