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高考数学知识点之导数


高考数学知识点之导数
考试内容: 导数的背景. 导数的概念. 多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项

式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

一、常考题型
考点一、导数的运算 例 1 求下列函数的导数:

(1) y=(2x2-1)(3x+1) (2) y ? x 2 sinx (3) y ?
ln x x

(4) y=log2(x2+1) (5) y= cos(2 x ? )+23 x
3

?

(6) y ? e2 x?1 +sin3 2x

? ?ln(1 ? x), ? 变式训练 1:设 f ( x) ? ?0, ?1 ? ?x

x?0 x?0 x?0
求 f ? ? x?

例2

已知曲线 y ?

1 3 4 x ? 3 3

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求曲线斜率为 4 的切线方程。

变式训练 2: (1)曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 6 x ? 10 的切线中,求斜率最小的切线方程. (2)已知曲线 y=x2-1 与 y=3-x3 在 x=x0 处的切线互相垂直,求 x0.

考点二、求单调区间 例 1.求函数 f ? x ? ? x ?
3

x2 ? 2 x ? 5 的单调区间。 2

变式训练 1:求函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调区间.
2

变式训练 2: (11 湖南文)设函数 f ( x) ? x ? 求函数 f ( x ) 的单调区间;
.u.c. o.m

1 ? a ln x(a ? R) x

考点三、用单调性求参数 例 1 . 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x ? (a ? 4) x 在 (1, ??) 上是增函数, 求实数 a 的取值范围. 2

变式训练 1:已知函数 y ?

1 3 bx ? bx 2 ? ? 2b ? 2 ? x ? 4 在 R 上是减函数,则 b 的范围是 3

例3

函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b(a, b ? R) 在 (?1,1) 上不单调, 求 a 的范围。
3 2

考点四、证明不等式 例 1. (2010 安徽 )设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ? R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1。
x 2

变式训练 1:当 x>0 时,证明不等式

x?

x2 ? ln(1 ? x) 2

考点五、函数的极值 例1. 求函数 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3

变式训练:1:求函数 f ( x) ? ? x 3 ? 12x 的极值

(*)例 2.设 x=1 与 x=2 是函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ? x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值. (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

(*)变式训练 2. 已知 ( f x) =ax3+bx2+cx (a≠0) 在 x=±1 时取得极值, 且( f 1) =-1, 试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.

(1)

考点六、函数的最值

(*)例 1.(2010 宁波质检)已知函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x . 2 2 3 x 的图象的下方. 3

(1)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值. (2)求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g ( x) ?

考点七、综合应用 (**)例 1 .函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x .(1)若 f ( x ) 在 [1, ??) 上是增函数,求 a 的范围; (2) 若 x ? ? 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在[1,a]上的最大值; (3)在(2)的条件下,是否存在 实数 b, 使得函数 g ( x) ? bx 的图象与 f ( x ) 的图象恰有 3 个交点?若存在求出范围; 不存在 说明理由。

1 3

(*)变式训练 1 设 f ( x) ? ax ? bx ? cx 的极小值为-8,其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点
3 2

2 (?2,0), ( ,0) ,如图所示。 3
(1)求 f ( x) 的解析式;

(2)若对 x ? [?3,3]都有f ( x) ? m 2 ? 14m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

二、当堂检测
1. ( 2006 北 京 ) 在 下 列 四 个 函 数 中 , 满 足 性 质 : “ 对 于 (1,2) 上 的 任 意 x1, x2 ( x1 ? x2 ), f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?| x2 ? x1 | 恒成立”的只有 ( A. f ? x ? ? ) D. f ? x ? ? x2

1 x

B. f ? x ? ?| x | C. f ? x ? ? 2x

2.已知命题 p :函数 y ? f ? x ? 的导函数是常数函数;命题 q :函数 y ? f ? x ? 是一次函数, 则命题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3、 (安 徽 省 2 0 1 1 联 考 ) 已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) , 且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? x2 , 则 f ?(1) ? ( A. ? 1
3

) B. ? 2
2

C. 1 (

D. 2 )

4、函数 f (x) ? x ? 3x ? 1是减函数的区间为 A.

(2, ??)

B.

(??, 2)

C.

(??, 0) D.

(0, 2)


5、若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是( A. ( ,?? )

1 3

B. (??, ]

1 3

C. [ ,?? )

1 3

D. (??, )

1 3

6、函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ?( x ) 在(a,b)内的图象如图(1)所示,则 函 数 f(x) 在 开 区 间 (a,b) 内 有 极 小 值 点

( A.1 个 B.2 个

(1) C.3 个

(2) D.4 个

7、已知 f(x)的定义域为 R,f(x)的导函数 f ?( x ) 的图象如图(2)所示,则( ) A.f(x)在 x=1 处取得极小值 B.f(x)在 x=1 处取得极大值 C.f(x)是 R 上的增函数 D.f(x)是(-∞,1)上的减函数, (1,+∞)上的增函数 8、直线 y ? a 与函数 y ? x3 ? 3x 的图象有相异三个交点,则 a 的取值范围是( A.(-2, 2) B.(-2, 0) C.(0,2) D.(2, ?? ) )

三、基础过关
1.(2008.辽宁)设 P 为曲线 C: y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的 取值范围是 [0, A. [ ?1, ? ]

?
4

] ,则点 P 横坐标的取值范围是(
C. [0,1]

) D. [

1 2

B. [-1,0]

1 ,1 ] 2

2.已知点 p 在曲线 y ?

4 上, ? 为曲线在点 p 处的切线的倾 e ?1
x

斜角,则 ? 的取值范围是 ( (A)[0,

) (C) (

2 4 1 2 x 3、设函数 f ( x ) ? x e .函数 f ( x ) 的单调增区间是___________; 2
1 1 4、若函数 y= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为 2 3 增函数,则实数 a 的范围是________.
(*)5、若函数 f ( x) ? x ? 6bx ? 3b 在 (0 , 1) 内有极小值,则实数 b 的取值范围是 (
3

? ) 4

(B) [

? ? , ) 4 2

? 3?
,

]

(D) [

3? ,? ) 4



A. (0 , 1)

B. ( ?? , 1)
3 2

C. (0 , ? ?)

D. ( 0 ,

1 ) 2
.

(*)6、若 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1 没有极值,则 a 的取值范围为

四、课后作业
1. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有

f ( x ) ≥ 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f ?(0)
5 2
3



B.

C. 2

D.

3 2

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的范围 3 ? ? 3.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为 . 4 4 1 a f x) ? x 3 ? x 2 ? bx ? c ,其中 a >0,曲线 y ? ( f x) f 0) 4、设函数 ( 在点 P(0, ( )处 3 2
2. 点 P 在曲线 y ? x ? x ? 的切线方程为 y=1

f x) (1)确定 b、c 的值;并求 ( 的单调区间 f x) (2)若 y ? ( 在[2,4]上单调,求 a 的取值范围;

? (*)5、设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ( 1 ) 的大小关系; x
(3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) <

1 对任意 x >0 成立. a

五、 反思感悟


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