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第九章 第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式


第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式

考纲要求 1.了解用通项公式表示数列的方

考纲研读 1.掌握等差数列、等比数列的

法.
项公式. 本思想求其他数列的通项公式.

通项公式是基础.
项公式. 典的递推关系式的通项公式.

2.掌握等差数列、等比数

列的通 2.能用累差、累商的方法求通 3.能用等差数列、等比数列的基 3.能利用待定系数法求几类经

数列通项的常用方法

(1)利用观察法求数列的通项.
(2)利用公式法求数列的通项:①等差、等比数列{an}的通项
?S1 ? 公式;②an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1?, ?n≥2?.

(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①an+1=an+f(n); ②an+1=anf(n).

(4)构造等差、等比数列求通项: ①an+1=pan+q;②an+1=pan+qn;③an+1=pan+f(n); ④an+2=p·n+1+q·n. a a

1. 数列{an}中, 1=1, a 对所有的 n≥2 都有 a1·2·3· an=n2, a a ?· 则 a3 等于( A ) 9 A.4 3 B.2 25 C. 9 25 D.16

an 2.在数列{an}中,若 an+1= ,a =1,则 a6=( D ) 2an+1 1
A.13 1 B. 13 C.11 1 D. 11

2an+1 1 1 an 解析:由 an+1= 得, = a =a +2, 2an+1 an+1 n n 1 1 1 即a =1+2(n-1).即 an= .a = . 2n-1 6 11 n

3.已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数,且a1 =b1,a2n+1=b2n+1,那么一定有( B )

A.an+1≤bn+1
C.an+1<bn+1

B.an+1≥bn+1
D.an+1>bn+1

4.已知等差数列{an}的前三项分别为 a-1,2a+1,a+7,则 an=4n-3 这个数列的通项公式为____________.
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=S3=12,则 an=

2n ____.

考点1

递推关系形如“ an+1=pan+q

”的数列求通项

例1:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求数列{an} 的通项公式. 解题思路:递推关系形如“an+1=pan+q”是一种常见题

型,适当变形转化为等比数列.
解析:∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3). ∴{an+3}是以2为公比的等比数列,其首项为a1+3=4.

∴an+3=4×2n-1?an=2n+1-3.

【互动探究】
2 1.已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an-2,则数列{an}的通
?2?n-1 7×?3? -6 ? ? 项公式为____________.

?2?n-1 2 2 解析:an+1=3an-2?an+1+6=3(an+6),∴an=7×?3? -6. ? ?

考点2

递推关系形如“an+1=pan+f(n)”的数列求通项

1 1 1 例 2:已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n(n∈N*).求数列 {an}的通项公式.
解析:令 an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B), 即 an+1=pan+pAn-A(n+1)+pB-B. 比较系数,得 A=-1,B=2. 1 3 ∴an+1-(n+1)+2=2(an-n+2),且 a1-1+2=2≠0. 1 3 ∴数列 an-n+2 是等比数列,其公比为2,首项为2. 3 1 n-1 3 ∴an-n+2=2×(2) ,an=2n+n-2.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

递推关系形如“an+1=p·n+An+B”等价转化为 a 1 an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B),利用待定系数法求出 A,B 后, 进而转化为等比数列.

【互动探究】

2.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(1)证明数列 an-n 是等比数列; (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn,求 Sn+1-4Sn 的最大值.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(1)证明:令an+1+A(n+1)+B=4(an+An+B),
即an+1=4an+3An+3B-A.比较系数,得A=-1,B=0. ∴an+1-(n+1)=4(an-n),且a1-1=1≠0.

∴数列{an-n}是等比数列,其公比为4,首项为1.

(2)解:由(1)得 an-n=1×4n-1,an=4n-1+n, 4n-1 n?n+1? ∴数列{an}的前 n 项和 Sn= 3 + 2 . 4n+1-1 ?n+1??n+2? ?4n-1 n?n+1?? ? ∴Sn+1-4Sn= 3 + -4? + 2 ? ? 3 2 ? ? 1 2 =-2(3n +n-4). 故 n=1 时,Sn+1-4Sn 最大,最大值为 0.

考点3 递推关系形如“an+1=pan+qn”的数列求通项 例3:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求数列 {an}的通项公式. 解题思路:适当变形转化为可求和的数列.

an+1 an ?3?n 解析:方法一:∵an+1=2an+3 ,∴ 2n = n-1+?2? . ? ? 2
n

?3?n an 令 n-1=bn,则 bn+1-bn=?2? . ? ? 2

∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1
?3?n-1 ?3?n-2 ?3?n-3 ?3?2 3 =?2? +?2? +?2? +?+?2? +2+1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?3?n =2×?2? -2. ? ?

∴an=3n-2n. an+1 2 an 方法二:∵an+1=2an+3 ,∴ 3n =3·n-1+1. 3
n

2 an 令 n-1=bn,则 bn+1=3bn+1, 3 转化为“an+1=pan+q”(解法略).

【互动探究】

an=n·n-1 2 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1-2an=2n,则an=__________.

考点4 递推关系形如“an+2=pan+1+qan”的数列求通项 例4:已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=3an+1-2an,
求数列{an}的通项公式. 解题思路:用待定系数法或特征根法求解.

解析:令 an+2+α·n+1=β(an+1+α·n), a a
?β-α=3, ? 由? ?α· ? β=-2 ?α=-1, ? ?? ?β=2, ? ?α=-2, ? 或? ?β=1 ?

(选其中一种即

可). ∴an+2-an+1=2(an+1-an). ∴数列{an+1-an}是等比数列,∴an+1-an=2n-1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+ a1=2n-2+2n-3+2n-4+?+2+1+1=2n-1.

【互动探究】 4.已知数列{an}中,a1 =1,a2 =2,3an -an - 1 -2an - 2 = 0(n≥3),求数列{an}的通项公式. 1 2 解:由已知,得 an=3an-1+3an-2, 2 ∴an-an-1=-3(an-1-an-2)(n≥3).
2 an+1-an 是以 1 为首项, 又 a2-a1=1≠0, ∴数列 公比为-3的
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 2?n-1 等比数列,∴an+1-an=?-3? . ? ?

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+ ? 2?n-2 ? 2?n-3 ? 2? 2 ? 2 ? 8 3? 2?n-1 a1=?-3? +?-3? +?+?-3? +?-3?+1+1=5-5?-3? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点5

应用迭加(迭乘、迭代)法求通项

例5:(1)已知数列{an}中,a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2),
求数列{an}的通项公式;

(2)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,Sn=n2·n,求数列 a
{an}的通项公式. 解题思路:(1)已知关系式an+1=an+f(n),可利用迭加法 或迭代法; (2)已知关系式an+1=an· f(n),可利用迭乘法.

解析:(1)方法一:(迭加法) ∵a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2),∴an-an-1=2n-1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+ n?2n-1+1? 2 a1=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+?+5+3+1= =n . 2 方法二:(迭代法)∵a1=2,an=an-1+2n-1(n≥2), ∴an=an-1+2n-1=an-2+(2n-3)+(2n-1) =an-3+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=?? =1+3+5+?+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)=n2. ∴an=n2.

(2)∵a1=1,Sn=n2·n, a ∴当 n≥2 时,Sn-1=(n-1)2·n-1. a an n-1 ∴an=Sn-Sn-1=n an-(n-1) an-1? = . an-1 n+1
2 2

an an-1 an-2 a3 a2 ∴an= · · · ?· · · a an-1 an-2 an-3 a2 a1 1 n-1 n-2 n-3 2 1 2 = · · · ·· ?· 1= . n+1 n n-1 4 3 n?n+1?

(1)迭加法适用于求递推关系形如“an + 1 =an + f(n)”;迭乘法适用于求递推关系形如“an+1=an· f(n)”. (2)迭加法、迭乘法公式:
①an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+a1;

an an-1 an-2 a3 a2 ②an= · · · a · ·1. ?· a a an-1 an-2 an-3 2 1

【互动探究】

5.已知 a1=1,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式( D ) A.2n-1 C.n2
?n+1? - ?n 1 B.? ? n ?

D.n

an+1 n+1 解析:a1=1,an=n(an+1-an),∴ a = n ,an=n. n

1.求数列通项的常用数学思想有:(1)转化与化归思想;
(2)整体(换元)思想;(3)方程思想. 2.求数列的通项公式常用的递推关系有:

(1)形如 f(Sn,an,n)=0 的递推关系,利用退一相减法,即 an
?S1?n=1?, ? =? ?Sn-Sn-1?n≥2?. ?

(2)形如 Tn=a1a2a3?an 的递推关系,利用退一相除法,即 an Tn = (n≥2). Tn-1

(3)形如 an+1-an=f(n)的递推关系,利用累加法,即 an=a1+ (a2-a1)+?+(an-an-1). an +1 (4) 形 如 a = f(n) 的 递 推 关 系 , 利 用 累 乘 法 , 即 an = n a2 a3 an a1· · ? a1 a2 an-1. (5)形如 an+1=pan+f(n)的递推关系, 利用待定系数法, 需要根 据 f(n)的形式来确定.

注意把握等差数列的概念和方法,如 an+1-an=n 并不是等差 数列(因为 n 不是常数),应该用累加法求通项公式;注意把握等比 an+1 an+1 n n 数列的概念和方法, a = 如 并不是等比数列(因为 a = n+1 n+1 n n 不是常数),应该用累乘法求通项公式,要特别注意分子分母所剩 项的对称性,即分子剩多少项则分母也剩多少项.


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