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浅谈化归思想在高中数学中的应用


浅谈化归思想在高中数学中的应用

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1 引言
解决数学问题的过程就是将问题不断转化的过程, 将复杂的问题转化为简单的问题, 将较难的问题 转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题。数学教学中加强思想方法的教学,已成 为数学教学中的重要内容,现代教学论认为,教学的任务绝不仅是传授知识,更重要的是培养能力和发 展学生的思维。 化归思想是数学的灵魂, 它在培养学生的数学素质和解题能力方面起到了很重要的作用。 而化归思想是高中数学中重要的、常用的数学思想方法。每年的高考和竞赛中都有许多别具创意、新颖 独特的数学问题,旨在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用,学生总觉得难以入手。本 文着重介绍化归思想在高中数学中的应用以及如何用化归思想来研究和解决数学问题, 培养学生思维的 灵活性、敏捷性,提高学生的思维能力和解题速度,从而提高学生的数学素质。

2 化归思想的含义、模式及基本特征
化归思想简称“化归”,所谓化归,就是转化和归结的意思,具体的说,就是把复杂、陌生的问题, 通过转化、归结的数学手段和一定的数学过程转化到相对简易、熟悉的问题上来,从而使原问题得以解 决。从哲学的高度看,化归思想着眼于揭示联系实现转化,在迁移转化中达到问题的规范化,因此化归 方法是转化矛盾的方法,属于哲学思维方法的范畴,它的“运动——转化——解决矛盾”的思想方法具 有深刻的辩证性质。 1944 年 G·波利亚发表的《怎样解题表》,这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品,这 部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。 作者认为解决数学问题的具体思维过程分为 四个阶段: 弄清问题,拟定计划,实现计划和回顾。这四个阶段的思想实质是: 理解、转换、实施、反 思。 他在表中引出一系列的问题, 通过对问题的分析和解决过程, 启发寻找解决问题的途径。 弄清问题, 拟定计划,实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断的变换问题,连续的简化问题,把解决数学问 题看成是对问题化归的过程,最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上来,从而使问题得以解决,其模 式为图 2.1:

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问题
检验

化归 翻译 演绎 解释 翻译回去

问题

推理

解答

解答

图 2.1 化归思想具有层次性、 重复性和多向性的特征。 为了能够有效地实施化归, 既可以变换问题的条件, 也可以变换问题的结论,既可以改变问题的内部结构,又可以改变问题的外部形式,这就是化归的多向 性;化归既能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,又可应用于沟通数学各分支学科的联 系,从宏观上实现学科间的转化,这是化归的层次性;在解决具体问题时,可以多次使用化归,从而达 到解决问题的效果,这是化归思想的重复性。

3 在高中数学中,主要的化归形式和方法
3.1 高中数学中主要的化归形式
近年来高考数学试题和全国数学竞赛试题, 更加注重数学思想方法的运用, 加大了数学能力考查的 力度,这就要求教师在平时数学教学中加强对基础知识、基本技能的教学,注意各种思想方法的渗透。 而化归思想, 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段, 将问题通过变换使之转化归结为在已有 知识范围内可以解决的一种方法, 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题, 将较难的问题通 过交换转化为容易求解的问题, 将未解决的问题变换转化为已解决的问题, 可以说数学解题就是转化问 题,掌握好化归与转化思想方法,学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息,利用动态思维,去寻 求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法, 对学好数学是很有帮助的。 高中数学常见的化归基本形 式主要有以下几种: 数与数之间的转化。例如计算某个算式得出数值;化简某个解析式得出结果;变形所给出的方程求 解;变形所给的不等式求出解集以及函数、方程、不等式之间的互相转化等等。 数与形之间的转化。对于某些涉及数量关系的问题,如果能通过化归将其转化为几何问题,即赋予 其几何意义,通常会变得易于观察,使得问题更直观更形象,从而使问题更容易得到解决;相反地,对 于某些与图形相关的问题,如果将其划归为数量问题,便能够更简捷的使问的得到解决。 形与形之间的转化。比如:利用图象变换的知识作出函数图象;利用分割、补形、折叠、展开,作 辅助线,辅助面处理空间图形或平面图形,等等。包括把立体问题化归为平面问题。
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正与反的相互转化。对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题,可先攻其反面,运用补 集思想从而使正面得以解决。 常量与变量的转化。在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数) ,将其看做 是“主元” ,而把其它变元看做是常量,从而达到减少变元简化运算的目的。 特殊与一般的转化。一般成立,特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数 学中普遍存在,经常运用,这也是化归思想的体现。 相等与不等的转化。 等与不等的转化是高中数学中相对较难的一种转化思想, 在具体题目中它们是 矛盾的两个方面,但是在一定条件下,它们可以互相转化,比如一些题目从表面看只能得到一些相等的 数量关系,如果要利用这些相等关系去解决问题又比较困难,但若能找出题目中的不等关系,建立不等 式去转化,往往能获得简捷求解的效果。 陌生与熟悉的转化。 数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程, 注意类比以前解决 过的问题,找出其共性和差异性,应用解题中,通常表现为构造熟悉的事例模型,在待解决问题和已解 决问题之间进行转化。

3.2 高中常用的化归思想方法
化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。一个数学问题,组成主要元素之间的相互依存 和相互联系的形式是可变的,其形式并非唯一,而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数 学问题时,就没有一个统一的模式可以遵循。因此,我们必须根据问题本身提供的信息,利用动态的思 维,具体问题具体分析,去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)特殊化方法:特殊化也称极端化,即将待解决的问题化归为一个特殊的形式,然后证明特殊 形式的结论符合原问题; (3)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (4)等价问题法:把难以解决的问题化归为一个较为容易解决的等价命题; (5)一般化方法:待解决问题是某个一般形式问题的一种特殊形式,如果难以解决可将问题转化 为一般形式再进行探求; (6)参数法:在问题中引入参数,使原问题的转换具有灵活性,从而易于解决问题; (7)补集法:补集法又称正难则反的方法,即正面去解决问题比较繁琐,则将问题的结果看作集 合 A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集,从而获得原问题的解 决途径。 (8)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;
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(9)坐标法:利用坐标系为中介,把几何问题转化为代数方法从而得到解决; (10)类比法:对于某些待解决的问题,通过与已解决的问题进行类比推理,猜测问题的结论, 从而能够比较容易找到解决问题的思路和方法; 当然,除了上述常用方法外,数学解题中还存在其它的转化方法,如:在求函数的最值或值域时, 可以根据反函数的性质,通过求该函数的反函数的定义域来得到;解决空间距离问题时,可利用等积法 将它转化为解三角形的问题,空间问题常用的化归是方法还有平移变换、作辅助线等方法;

4 在教学中渗透化归思想
数学教学中加强思想方法的教学,已成为数学教学中的重要内容,现代教学论认为,教学的任务绝 不仅是传授知识,更重要的是培养能力和发展学生的思维。而化归思想是高中数学中重要的、常用的数 学思想方法。化归思想的教学有利于学生理解和掌握其他数学思想方法;有利于提高学生的解题能力; 有利于新知识的学习和数学认知结构的形成;有利于发展思维,提高迁移力。 整个高中数学内容,数学知识和数学方法这两条线始终贯穿其中,所以在高中数学教学过程中,教 师应该注重数学思想的渗透,挖掘和提炼高中数学内容中的化归思想,有意识的强化化归思想的教学, 以培养学生的数学能力, 提高学生的数学素质, 对于改革目前重知识轻方法、 重结论轻思想的教学现状, 对于提高学生综合素质都具有深远的意义。

4.1 在概念、定理的教学过程中渗透化归思想
在高中数学, 很多数学概念都是定义在原有概念基础之上的。 例如指数函数和对数函数之间的联系、 反函数的定义等,实际上都是通过转化来得到或者解决的,是化归思想的充分体现。实际上,很多数学 概念本身就包含着化归的思想, 复数相等的概念就是一个典型的例子, 许多复数范围内的问题可以利用 复数相等的定义,将复数的实部和虚部分别分离的情况下转化为实数范围的问题处理。相反的,也可以 将实数范围的问题通过构造复数在复数范围内解决。 此外, 高三所学的数学归纳法也蕴含了化归的数学 思想,即把一般证明问题化归为三步来解决。 在教学过程中必须重视概念教学过程, 在讲授数学的基本概念和基础知识时, 不是单纯的给学生灌 输概念和知识,而应该充分的调动他们的思维积极性。许多定理、公式、法则的证明过程本身就蕴含着 化归的思想方法,所以要注意引导他们认识实质、总结规律、培养他们的化归意识和化归能力。从而提 高他们的数学能力。

4.2 抓住问题解决,渗透化归思想
运用化归思想数方法去灵活地解决有关数学问题, 是提高思维能力的有效保证。 我们应该在平时解 题过程中注意培养化归与转化意识。 在解决问题时, 引导学生向基本模式、 向特殊形式、 向低层次转化,
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渗透各种化归技能、技巧,以进一步提高解题能力,下面结合例题谈一谈如何实化归思想的渗透。

4.2.1 正反转化
解答某些问题,如果按习惯从正面无法解决或者非常复杂时,可以考虑从相反的方面去探究,反面 得到解决则正面亦能得到解决。 例 1、已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? ax ? 1 在(0,1)内至少有一个零点,试求实数 a 的取值范围。 分析:此题从正面入手,比较繁琐,若从反面去考虑,至少有一个零点的反面为没有零点,这种情 况比较容易处理。 解:当函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 1在(0,1)内没有零点时,
2

4 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在(0,1)内没有实数根,
即在(0,1)内, a ? 4 x ? 而当 x ?(0,1)时, 4 x ? 要使 a ? 4 x ?

1 . x

1 1 1 ? 2 4 x ? ? 4 ,得 4 x ? ? ?4, ? ? ? 。 x x x

1 ,必有 a ? 4 故满足题设的实数的取值范围是 ?4,??? 。 x

点评:对于此类从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题,可先攻其反面,运用补集思想从而 使正面得以解决, “正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。

4.2.2 等与不等的转化
有一些问题,表面上看起来好像只具有相等的数量关系,利用这些相等关系又不能解决问题,如果 能找出其中的不等关系,建立不等式去转化,往往能获得简捷求解的效果。 例 2、已知 a, b 都是实数,且 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 求证: a ? b ? 1 。
2 2

分析:此题要利用已知的等式条件,很难得出结论,若利用均值不等式找出一个不等关系,再结合 已知中的相等关系,可能容易寻得 a 与 b 之间的关系。

b 2 ? (1 ? a 2 ) a 2 ? (1 ? b 2 ) 2 , 解:由均值不等式有: b 1 ? a ? , a 1? b ? 2 2
2

则: a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 。 由已知: a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 要使等号成立,必有: a ? 1 ? b 2 且 b ? 1 ? a 2
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即: a ? b ? 1 。
2 2

点评:以上解答中,利用了等与不等的相互转化,从而使问题得到了有效的解决。

4.2.3 一般与特殊的转化
相对于一般,特殊问题往往比较简单、直观和具体。而特殊又可以得到一般性的规律。这种思想在 高中数学中普遍存在,这也是化归思想的体现。 例 3、已知向量 OA ? (cos?1 ,2 sin ?1 ),OB ? (cos? 2 ,2 sin ? 2 ) , 若 OA ? (cos?1 , sin ?1 ), OB ? (cos? 2 , sin ? 2 ) , 满 足 OA ? OB ? 0 , 则 ?O A B 的 面 积 S ?O A B等 于 。 分析:此题若要直接解决比较繁琐,考虑用 ?1 , ? 2 的一些特殊只代人进行求解。 解:由已知 OA ? OB ? 0 有 cos(?1 ? ? 2 ) ? 0 。 不放设 ? 1 ?

?
2

, ? 2 ? 0 ,代入解得 A(0,2), B(1,0) ,故面积为 1。

点评:一般与特殊之间的转化,往往可以把看似复杂的问题轻易解决。

4.2.4 常量与变量的转化
某些数学问题中有多个元时,常把其中的常数看作主元,把其它变元看做是常数,以致达到减少变 元、简化运算的目的。

x2 y2 ? ? 1 ,试证明:坐标平面内任一点( a, b)(a, b ? 0) ,在 C k 例 4、已知曲线 C k 的方程为 9?k 4?k
中总存在一椭圆和一双曲线过该点. 分析: 观察曲线方程, 一般认为 x,y 是主元,难以找到解决问题的思路。 换个角度考虑 k,容易得到, 当 k ? 4或4 ? k ? 9时,C k 表示的曲线为椭圆和双曲线,则问题化归为证明在区间 (??,4) 和(4,9)内 分别存在 k 值,使曲线 C k 过点(a,b).

x2 y2 ? ?1 解:设点( a, b)(a, b ? 0) )在曲线 C k 上,则有 9?k 4?k
化简得: k ? (a ? b ? 13)k ? (36 ? 4a ? 9b ) ? 0
2 2 2 2 2



令f (k ) ? k 2 ? (a 2 ? b 2 ? 13)k ? (36 ? 4a 2 ? 9b 2 ), ? f (4) ? ?5b 2 ? 0, f (9) ? 5a 2 ? 0.
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可得 f(k)=0,根据函数图象开口向上,方程①在 (??,4) 和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b), 在曲线系 C k 中总存在一椭圆和一双曲线通过该点. 点评:本题有一个巧妙之处:将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题, 这样一来在很大程度上降低了难度,常量与变量的转换方法在解析几何中很普遍。

4.2.5 数与形的转化
在解决一些问题时,如果对数量关系赋予几何意义,则问题变得直观形象;如果把一些涉及图形的 问题转化为数量关系的研究,解决起来非常简洁。这就是数形结合的相互转化。 例 5、求函数 f ( x) ? 2 ? 4a sin x ? cos2 x 的最大值和最小值。 分析:直接对函数表达式进行处理,要得出结果比较困难,若考虑将之转化为函数的最值问题,结 合函数图像分析可能比较容易。 解: y ? f ( x) ? 2 ? 4a sin x ? (1 ? 2 sin x) ? 2 sin x ? 4a sin x ? 1 ? 2(sin x ? a) ? 1 ? 2a .
2 2 2 2 2 2 设 sin x ? t , 则 ? 1 ? t ? 1 ,并且 y ? g (t ) ? 2(t ? a) ? 1 ? 2a 。

当 a ? ?1 时如图。 有 y最大 ? g( ) 3 - 4a, y最小 ? g(? 1 ? 3 ? 4a, 1 ? ) 当 ? 1 ? a ? 1 时, y最大 为 g (?1) 和 g (1) 中的较大者,
y

y最大 ? 3 - 4a(?1 ? a ? 0) 或 y最大 ? 3 ? 4a(0 ? a ? 1) .
当 a ? 1 时,有

o
-1 1

x

y最大 ? g(? 1 ? 3 ? 4a, y最小 ? g( ) 3 ? 4a 。 ) 1 ?
点评:通过数形转化把三角函数问题转化为较为熟悉 的二次函数问题,利用二次函数图像结合分类讨论,使问题得到解决。 以上例题的形式和求解的具体过程并不相同,但其思考方式都有着共同的特点,即都通过转化,将 待解决的问题归结为一个已经解决的问题, 或者归结为一个较易解决的问题, 甚至为人们所熟知的常识 问题。在教学过程中,要抓住问题的解决过程,引导学生进行分析,从而达到渗透化归思想的目的。

4.3 引导学生观察和联想,培养化归思维的灵活性
要想掌握并能够熟练运用化归思想去解决实际数学问题, 就要求学生的思维具有灵活性, 所谓思维 的灵活性,即指思维活动的灵活程度,指善于根据事物的发展变化,及时地用新的观点看待已经变化了
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的事物,并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。在学习新知识时表现为能迅速地与原 有的认知结构建立联系, 或将新知识纳入原有的认知结构中。 在解决数学问题时表现为能有的放矢地转 化解题方法, 不断调整解题策略使得问题得以解决。 而具有思维灵活性能力的初级阶段就是联想和观察, 所以在实际的教学过程中,首先要鼓励学生进行观察,在具体的数学问题中,往往包含着特定的关系和 条件,此时教师应该注重引导学生对问题进行细致的、透彻的观察,然后再深入的思考,通过对问题表 现现象充分的分析,进而发现其本质,这样才能找到解题思路,从而使问题得到解决;其实要注重引导 学生对问题的联想,所谓联想就是由事物 A 想到与其相关的事物 B 的思维过程。数学知识实际上是一 个内部联系的体系,在讲授新知和解题时,要鼓励学生展开联想,多方位、多角度的去思考问题,探求 问题的答案, 这样不仅达到了锻炼学生思维灵活性的目的, 也有利于学生吸收新知识和快速转换解题的 思路,所以在教学过程中注意引导学生对问题进行观察和联想对于培养学生的化归思想有很大的帮助。

4.4 在知识的归纳过程中概括化归思想方法
高中数学知识体系之中蕴含着化归思想, 因此, 在教学过程中十分有必要对化归思想作出概括和归 纳,有步骤、有目的的引导学生参与概括化归思想的过程,尤其是在章末复习时对知识的概括和归纳, 将具体知识蕴含的化归思想提炼出来, 有助于学生加深对化归思想的运用意识, 同时也使学生对运用化 归思想解决问题时的具体操作有更深刻的认识,有利于学生灵活运用所学知识,形成独立分析、解决问 题的能力。 通常概括和归纳化归思想分为两步进行: 首先是揭示化归思想的内容和规律, 把新知识化归为已学 知识,把待解决问题化归为已解决问题;其次是寻找化归思想与具体的知识之间的联系,即把化归思想 与对应的数学知识相结合,从而达到由个别认识上升到一般认识的目的。

5 化归与转化应遵循的基本原则
为了让能更好地应用化归思想方法,我们在应用时还应遵循以下五条原则:

5.1 简单化原则
简单化原则通常是指把比较繁琐的、高纬的问题化归为比较容易的、低纬的、易于找到解决问题的 方向的程序,达到使原问题更容易得到解决的目的。简单化原则实施的方法有特殊值法、降纬法、换元 法等。

5.2 直观化原则
直观化原则是指把比较抽象的问题化归为比较具体、 直观的问题, 从而形象地把握问题中各个对象 之间的关系,进而使待解决问题更易得到解决。直观化实施的常用方法有数形结合、构造法等。

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5.3 熟悉化原则
熟悉化原就是指把比较“陌生”的问题化归为我们比较 “熟悉”的问题,从而利用我们已掌握的 知识和经验,使原问题得到解决。实施熟悉化原则常用的方法有调整法、扩充法、分解法等。

5.4 极端化原则
极端化原则即是通过对问题的某种极端特性的考察, 找到解决问题的捷径, 从而找出一般情况下的 性质,进而找到解决问题的思路和方法。在解决具体问题时,实施极端化原则的常用手段有逼近法、极 限法、调整法等。

5.5 和谐化原则
和谐化即是指数学对象之间的配合匀称和恰当, 和谐是数学内在美的主要内容之一, 在对问题进行 化归时,和谐化原则要求注意对条件和结论的表现形式进行转化,使之更具有和谐统一的特点,从而使 得我们更容易的去找到解决问题的思路和方法。实施和谐化原则的方法有对称法、换元法、构造法等。

6 应用化归思想方法解题时的注意事项
化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。 一个数学问题, 组成主要元素之间的相互依存和 相互联系的形式是可变的,其形式并非唯一,而是多种多样。所以应用数学变换的方法去解决有关数学 问题时, 就没有一个统一的模式可以遵循。 因此, 我们必须根据问题本身提供的信息, 利用动态的思维, 具体问题具体分析,去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。

6.1 注意转化的等价性,保证逻辑上的正确
化归通常分为价化归和非等价化归,在高中数学中,化归一般为为等价化归。在具体问题的转化过 程中,等价化归要求转化前和转化后既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果。

6.2 注意转化的多样性,设计合理的转化方案
化归思想在高中数学中具有重要地位, 在利用化归思想解决具体问解题时, 转化的方法和途径不一 定相同,但有一个共同的规律,那就是在已解决问题和待解决的问题之间构成某种联系,这就是知识之 间的“关系键” 。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的,因此,我们不能只停留在化归的分 析上,还必须有创新的精神,不断的进行新的探究,在研究中获得新方法、新理论。

6.3 注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性
化归思想包括了化归的目标、化归的对象、化归的途径和方法三个要素。在具体实施化归思想方法 时应有明确的对象,要设计好目标、选择好方法,其中问题的关键是设计目标。设计化归目标时,通常 以教材中的基础知识、 基本方法在应用上已形成固定的问题为依据, 而把要解决的问题化归为规律问题。
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化归方法的选择是否准确到位, 关系着化归是否能如期完成, 在具体操作中还要考虑化归目标的设计与 化归方法的可行性和有效性。

7 总结
化归思想方法是高中数学的一种重要思想方法,在运用化归思想方法解决问题并非一层不变的模 式,它具有灵活性和多样性的特点,需要结合问题本身的已知,充分发散思维,去探求能够有效解决问 题的途径和方法,所以学习并能熟练运用划归思想,有意识的对问题进行数学变换,从而灵活的去解决 相关问题,有助于学生提高对待变化问题的应变能力,从而解决问题的能力,最终达到提高数学能力的 目的。需要说明的是,化归思想是高中数学中常用的、重要的思想方法,但它并不是万能的,不是所有 问题都可以用化归思想方法而得到解决, “数学发现”是化归思想得以成功应用的前提。因此,我们不 能循规蹈矩的运用已有方法,必要要有创新精神,在学习过程中不断的进行新的探索,在探索中获得新 方法、新理论。

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参考文献

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