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3.2 第1课时 三角恒等变换


3.2 【知识导航】

第 1 课时

三角恒等变换

1.了解半角公式(不要求记忆)的推导过程及其应用. 2.能利用两角和与差公式、二倍角公式进行简单的三角函数式的求值、化简与证明. 【知识梳理】 1.半角公式(不要求记忆) sin 2 = ±
1-cos , cos 2 2



1+cos , tan 2 2

= ± 1+cos = sin =

1-cos

1-cos

sin . 符号由 2 所在的象限决定. 1+cos

知识拓展 1.积化和差公式(不要求记忆和应用) sinαcosβ= [sin( + ) + sin( ? )], cosαsinβ= 2 [sin( + ) ? sin( ? )], cosαcosβ= [cos( + ) + cos( ? )], sinαsinβ=? [cos( + ) ? cos( ? )]. 2.和差化积公式(不要求记忆和应用) sinx+siny=2sin 2 cos 2 , sinx-siny=2cos
+ - sin , 2 2 + - + - 1 2 1 2 1 1 2

cosx+cosy=2cos 2 cos 2 , cosx-cosy=-2sin 2 sin 2 . 【做一做 1-1】已知 cos α= 3 , 且∈(0,π),则 cos 2 的值为( A. 3 B. ? 3 C. ± 3 D. ± 3
6 6 6 3 π 1 + -

)

解析:∵α∈(0,π),∴ 2 ∈ 0, 2 ,

∴cos 2 =
答案:A



1+cos 2

=

2 3

=

6 . 3

【做一做 1-2】已知 sin α= 5 , cos = 5 , 则 tan 2 等于( A.2? 5B. 2 + 5 C. 5 ? 2D. ±( 5 ? 2)

5

2 5



)

解析:tan = 答案:C

2

1-cos sin

=

1- 5
5 5

2 5

= 5 ? 2.

【做一做 1-3】已知 cos α= , ∈ A.?
10 10 3 3 3 B. C. D. ? 10 10 10 5 3π 3π ,π 4

4 5

3π ,2π 2

, 则 sin 等于(

2

)

解析:∵α∈ 2 ,2π , ∴ 2 ∈

,

∴sin 2 =
答案:B



1-cos 2

= 10 .

10

2.常见的三角恒等变换 (1)asin x+bcos x= 2 + 2 sin( + )(≠0),其中 tan φ= , 所在象限由和的符号确定. 仅仅讨论 = ±1, ± 3, ± (2)sin2x=
1-cos2 , cos2 2 3 的情况. 3

=

1+cos2 , sin cos 2

= sin 2.

1 2

【做一做 2-1】3sin x? 3cos = ( A.sin - 6 B. 3sin - 6 C. 3sin +
π 6 π π π 6

)

D. 2 3sin -

解析:3sinx? 3cosx =2 3
3 1 sin- cos 2 2 π π

=2 3 sincos 6 -cossin 6 =2 3sin - 6 . 答案:D
π

【做一做 2-2】sin2x-sin xcos x+2cos2x=( A. 2 sin 2 + 4 + 2 B. 2 sin 2 + 4 C.sin 2 + 4 D. 2sin 2- 4 + 2 解析:原式 =
1 1 1-cos2 1 ? 2 sin2x+(1+cos2x) 2 3 2 2 2 3π π 3 2 3π 3 2 3π

)

= 2 cos2x? 2 sin2x+ 2 = 2 - 2 sin2 + 2 cos2 + 2
=

3

2 3π 3 sin 2 + + . 2 4 2

答案:A 求半角的正切值常用的方法 剖析:根据经验,处理半角的正切问题有三种途径:第一种方法是用 tan 2 = ± 1+cos 来处理;第二种方法是用 tan 2 = sin 来处理;第三种方法是用 tan 2 =
sin 来处理. 1+cos 1-cos 1-cos

例如,已知 cosα= 3 , 为第四象限角,求 tan 2 的值. 解法一: 用 tan = ±
2 1-cos 来处理 1+cos

3



∵α 为第四象限角,
∴ 2 是第二或第四象限角.∴tan 2 < 0.


∴tan 2 = ?
=?
1 2



1-cos 1+cos 1 2

=?

1- 3

3 3

1+ 3

= ? 2- 3
2- 6 . 2

8-4 3 = ?


( 6- 2)2 =
1-cos

解法二: 用 tan 2 = sin 来处理

∵α 为第四象限角,∴sinα<0. ∴sinα=? 1-cos 2 = ? 1- 3 = ? ∴tan 2 =
1-cos sin 1 6 . 3

=


1- 3
6 -3

3

=

2- 6 . 2

解法三: 用 tan 2 = 1+cos 来处理

sin

∵α 为第四象限角, ∴sinα<0. ∴sinα=? 1-cos 2 = ? 1- 3 = ? ∴tan 2 = 1+cos =
sin -3
6 3

1

6 . 3

1+ 3

=

- 6 3+ 3

=

2- 6 2 2 2 1-cos 来处理,要先由 1+cos

比较上述三种解法,可知在求半角的正切 tan 时,用 tan = ±


α

所在的象限确定 2 所在的象限,再用三角函数值的符号确定根号前的符号;而用 tan 2 =
1-cos 或tan 2 sin

= 1+cos 来处理,可以避免这些问题.尤其是 tan 2 = sin , 分母是单项式,容易
1-cos

sin



1-cos

计算.因此常用 tan 2 = sin 求半角的正切值.

【典例分析】
题型一 已知 θ 的三角函数值求 的三角函数值
2 θ

【例 1】已知 sin θ= 5 , 2 < < π, 求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值. 分析:利用 sin2θ+cos2θ=1 求得 cosθ,代入半角公式求解. 解:∵sinθ= 5 , 2 < < π,
3 π

3 π







∴cosθ=? 1-sin2 = ? 5 , 4 < 2 < 2. ∴sin 2 =
2 1-cos 2

4 π



π

=

1+5 2

4

=

3 10 , 10

cos =
2

1+cos 2 1-cos sin

=
1+5
3 5 4

1-5 2

4

=

10 , 10

tan =

=

= 3.


反思已知 θ 的某个三角函数值,求 2 的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式 求得 θ 的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可 【变式训练 1】求下列各式的值: (1)sin ; (2)tan
π 8 5π . 12
π

解:(1)sin 8 = (2)tan 12 =


π

1-cos4 2

=
1+ 2
1 2

1- 2

2

= 2

2- 2 4

=

2- 2 2

;

1-cos 6 sin 6




3

=

= 2 + 3.
化简三角函数解析式

题型二

【例 2】将下列三角函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式: (1)y=cos4x-2sin xcos x-sin4x; (2)y=sin x(cos x-sin x)+ . 解:(1)y=cos4x-2sinxcosx-sin4x =(cos4x-sin4x)-2sinxcosx =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-2sinxcosx =cos2x-sin2x= 2 - 2 sin2 + 2 cos2
= 2 sin2cos
2 2 1 2

3π 3π 3π + cos2sin = 2sin 2 + . 4 4 4

(2)y=sinx(cosx-sinx)+ 2 =sinxcosx-sin2x+ = 2 sin2x?
1 2 1 1 2

1

1-cos2 1 +2 2 1 2 1 2 1 2

= sin2x+ cos2x? +
=

2 2 2 2 π sin2 + cos2 = sin 2 + . 2 2 2 2 4

反思对三角函数式的化简一般有如下要求: (1)能求值的求值; (2)不能求值的要保证三角函数名种类最少、项数最少、次数最低; (3)分式分母中尽量不含根号. 【变式训练 2】已知 π<α< 2 , 化简: 1 + sin 1 + cos- 1-cos
3π π 3π 3π

+

1-sin 1 + cos + 1-cos


.

解:∵π<α< 2 , ∴ 2 < 2 < 4 ,∴cos 2 < 0, sin 2 > 0.

∴原式 =

sin2 2+cos2 2+2sin2cos2 2cos2 2- 2sin2 2
2













+

sin2 2+cos2 2-2sin2cos2 2cos2 2+ 2sin2 2










=

- 2cos - 2sin 2 2
sin2+cos2 - 2


sin + cos 2 2

+

=

+

sin2-cos2 2



- 2cos + 2sin 2 2


sin -cos 2 2

2

=? 2cos .
题型三 三角恒等式的证明
cos


2

【例 3】求证: 1+sin+cos = 1+sin ? 1+cos. 证明:右边 =
cos2 2-sin2 2 sin2+cos2
2
=

2(cos-sin)

sin

?

2sin2cos2
2cos2 2



sin 2= ? sin 2 + cos 2 cos 2

cos -sin 2 2

cos2 -sin2 -2sin cos 2 2 2 2 cos sin + cos 2 2 2

=

2(cos-sin) 2sin2cos2+2cos2 2

= 1+sin+cos = 左边.


2(cos-sin)

【变式训练 3】求证:2(1+cos α)-sin2α=4cos4 2 . 证明:左边=2×2cos2 2 ? 2sin 2 cos 2 =4cos2 2 ? 4sin2 2 cos2 2
2

=4cos2

2

1-sin2

2

= 4cos4 = 右边.

2


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