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吉林省长春实验中学2015届高考数学三模试卷(理科)


吉林省长春实验中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)复数 A.1+i (i 为虚数单位)的共轭复数为() B.1﹣i
2

C.﹣1+i

D.﹣1﹣i

2. (5 分)命

题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <0 B. 不存在 x∈R,都有 x <0 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 ≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0 3. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B. 0 C. 1 ,则 f(﹣1)=() D.2

4. (5 分)设等比数列{an}中,前 n 项之和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9=() A. B. C. D.

5. (5 分)已知向量 的值为() A.1 B. 2 C.

,且

,则 sin2θ+cos θ

2

D.3

6. (5 分)如图,设区域 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},向区域 D 内随机投一点,且投入到 3 区域内任一点都是等可能的,则点落入到阴影区域 M={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x }的概率为 ()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)设 α、β、γ 为平面,m、n、l 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是() A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α

8. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PQ 中点 的横坐标为 3,|PQ|=10,则抛物线方程是() A.y =4x
2

2

B.y =2x

2

C.y =8x
a b

2

D.y =6x

2

9. (5 分)已知两个实数 a,b(a≠b) ,满足 ae =be .命题 p:lna+a=lnb+b;命题 q: (a+1) (b+1)>0,则下列命题正确的是() A.p 真 q 假 B. p 假 q 真 C. p 真 q 真 D.p 假 q 假 10. (5 分)已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 与 AD 的中点,且 BC=2AB=2,现沿 EF 将平面 ABEF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC,则三棱锥 A﹣FEC 外接球的体积为() A. π B. π C. π D.2 π

11. (5 分)若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间(



)是减函数,则 a 的取值范围是()

A. (2,4) B. (﹣∞,2] C. (﹣∞,4] D. (Ⅰ)6 人站成一排,甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数; (Ⅱ)6 人站成一排,甲、乙相邻,且丙与乙不相邻的不同站法种数; (Ⅲ)把这 6 名学生全部分到 4 个不同的班级,每个班级至少 1 人的不同分配方法种数; (Ⅳ)6 人站成一排,求在甲、乙相邻条件下,丙、丁不相邻的概率. 20. (12 分)抛物线 C1:x =4y 在点 A,B 处的切线垂直相交于点 P,直线 AB 与椭圆 C2: + =1 相交于 C,D 两点.
2

(1)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (2)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,试问:是否存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数 列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x+1)﹣x. (Ⅰ)求 f(x)的最大值; 2 (Ⅱ)设 g(x)=f(x)﹣ax (a≥0) ,l 是曲线 y=g(x)的一条切线,证明:曲线 y=g(x) 上的任意一点都不可能在直线 l 的上方; (Ⅲ)求证: (1+ ) (1+ ) (1+ )…<e(其中 e 为自然对数的底数,n∈N ) .
*

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)选修 4﹣1 几何证明选讲 已知△ ABC 中 AB=AC,D 为△ ABC 外接圆劣弧, BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F. (I)求证.∠CDF=∠EDF (II)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB. 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数,0≤α<π) .以原
2

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=4sinθ. (1)求直线 l 与曲线 C 的平面直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B,若|AB|=8,求 α 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R) (1)当 a=4 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)若 f(x)≥4 对 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围.

吉林省长春实验中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)复数 A.1+i (i 为虚数单位)的共轭复数为() B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 复数分母实数化,然后求出复数的共轭复数即可.

解答: 解:

=

=1+i.

∴所求复数的共轭复数为:1﹣i. 故选:B. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力. 2. (5 分)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <0 B. 不存在 x∈R,都有 x <0 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 ≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0 考点: 命题的否定;全称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题, 2 2 所以命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为.存在 x0∈R,使得 x0 <0. 故选 D. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.
2

3. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B. 0 C. 1

,则 f(﹣1)=() D.2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1) ,即可求得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)=x + , ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 故选 A. 点评: 本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题. 4. (5 分)设等比数列{an}中,前 n 项之和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9=() A. B. C. D.
2

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由 S6 减 S3 得到 a4+a5+a6 的值,然后利用等差比数列的性质找出 a4+a5+a6 的和与 a1+a2+a3 的和即与 S3 的关系,由 S3 的值即可求出公比 q 的值,然后再利用等比数列的性质 求出 a7+a8+a9 的值. 解答: 解:a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1, 3 3 3 3 a4+a5+a6=a1q +a2q +a3q =(a1+a2+a3)q , 所以 q =
3



则 a7+a8+a9=a4q +a5q +a6q = . 故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道中档题
2

3

3

3

5. (5 分)已知向量 的值为() A.1 B. 2 C.

,且

,则 sin2θ+cos θ

D.3

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 sin2θ+cos θ=
2

=0,即解得 tanθ=2,再由 = ,运算求得结果.

解答: 解:由题意可得 ∴sin2θ+cos θ=
2

=sinθ﹣2cosθ=0,即 tanθ=2. = =1,

故选 A. 点评: 本题主要考查两个向量数量积公式的应用, 两个向量垂直的性质; 同角三角函数的 基本关系的应用,属于中档题. 6. (5 分)如图,设区域 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},向区域 D 内随机投一点,且投入到 3 区域内任一点都是等可能的,则点落入到阴影区域 M={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x }的概率为 ()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据积分的几何意义求出区域 M 的面积,然后根据几何概型的概率公式即可得到 结论.

解答: 解:根据积分的几何意义可知区域 M 的面积为 区域 D 的面积为 1×1=1,

=

|

= ,

则由几何概型的概率公式可得点(x,y)恰好落在区域 M 内的概率等于 , 故选:A 点评: 本题主要考查几何概型的概率的计算,利用积分的几何意义求出区域 M 的面积是 解决本题的关键. 7. (5 分)设 α、β、γ 为平面,m、n、l 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是() A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α 考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题;转化思想. 分析: 根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确,根据平面 α 与平面 β 的位置关系 进行判定可知选项 B 和 C 是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平 面中一个垂直则垂直于另一个平面,可知选项 D 正确. 解答: 解:α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m?α,故不 正确; α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确; α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确; n⊥α,n⊥β,?α∥β,而 m⊥α,则 m⊥β,故正确 故选 D 点评: 本小题主要考查空间线面关系、 面面关系以及充分条件的判定等知识, 考查化归与 转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题. 8. (5 分)过抛物线 y =2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PQ 中点 的横坐标为 3,|PQ|=10,则抛物线方程是() 2 2 2 2 A.y =4x B.y =2x C.y =8x D.y =6x 考点: 抛物线的简单性质;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+ +x2 + ,把线段 PQ 中点的横坐标为 3,|PQ|=10 代入可得 P 值,然后求解抛物线方程. 2 解答: 解:设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F, 由抛物线的定义可知, |PQ|=|PF|+|QF|=x1+ +x2 + =(x1+x2)+p, 线段 PQ 中点的横坐标为 3, 又|PQ|=10,∴10=6+p,可得 p=4 2 ∴抛物线方程为 y =8x. 故选:C.
2

点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解 题的关键. 9. (5 分)已知两个实数 a,b(a≠b) ,满足 ae =be .命题 p:lna+a=lnb+b;命题 q: (a+1) (b+1)>0,则下列 命题正确的是() A.p 真 q 假 B. p 假 q 真 C. p 真 q 真 D.p 假 q 假 考点: 复合命题的真假. 专题: 导数的综合应用;简易逻辑. x 分析: 考察函数 f(x)=xe ,在 x∈R 上的单调性即可判断出 p,q 的真假. x x 解答: 解:考察函数 f(x)=xe ,x∈R,f′(x)=(x+1)e , 令 f′(x)>0,解得 x>﹣1,此时函数 f(x)单调递增;令 f′(x)<0,解得 x<﹣1,此 时函数 f(x)单调递减. ∴当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极小值即最小值,∴f(x)≥f(﹣1)=﹣ . 对于命题 p:由于 a<0,b<0,lna+a=lnb+b 不可能成立,因此是假命题; 对于命题 q:a<﹣1,0>b>﹣1,则(a+1) (b+1)<0,因此 q 也是假命题. 综上可得:p,q 都是假命题. 故选:D.
a b

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、 简易逻辑的判定, 考查了推理能力与计算 能力,属于难题. 10. (5 分)已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 与 AD 的中点,且 BC=2AB=2,现沿 EF 将平面 ABEF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC,则三棱锥 A﹣FEC 外接球的体积为() A. π B. π C. π D.2 π

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意, 三棱锥 A﹣FEC 外接球是正方体 AC 的外接球, 由此三棱锥 A﹣FEC 外接 球的半径是 ,由求的体积公式可得.

解答: 解:由题意,三棱锥 A﹣FEC 外接球是正方体 AC 的外接球,由此三棱锥 A﹣FEC 外接球的半径是 ,

所以三棱锥 A﹣FEC 外接球的体积为



故选 B. 点评: 本题考查了三棱锥外接球的体积求法; 关键是明确外接球的半径, 再由球的体积公 式解答.

11. (5 分)若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间( A. (2,4) B. (﹣∞,2] 令 t=sinx, 2 则原函数化为 y=﹣2t +at+1. ∵x∈(
2



)是减函数,则 a 的取值范围是() D.

C. (﹣∞,4]



)时 f(x)为减函数,

则 y=﹣2t +at+1 在 t∈( ,1)上为减函数, ∵y=﹣2t +at+1 的图象开口向下,且对称轴方程为 t= . ∴ ≤ ,解得:a≤2. ∴a 的取值范围是(﹣∞,2]. 故选:B. 点评: 本题考查复合函数的单调性, 考查了换元法, 关键是由换元后函数为减函数求得二 次函数的对称轴的位置,是中档题.
2

12. (5 分)设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线

l 交两渐近线于 A、 B 两点, 与双曲线的其中一个交点为 P, 设 O 为坐标原点, 若 (m,n∈R) ,且 mn= ,则该双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题. 分析: 求出 A、C 坐标,然后求出 P 的坐标,代入双曲线方程,利用 曲线的离心率. 解答: 解:由题意可知 代入 = , , ,即可求出双



,代入双曲线方程





,所以 4e mn=1,因为

2



即可得



故选 C. 点评: 本题考查双曲线的基本性质,考查双曲线离心率的求法,考查计算能力. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个, 则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示) .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 利用组合知识求出从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个球中,任意取出两个球的取 法种数, 再求出从 5 个奇数中任意取出 2 个奇数的取法种数, 求出取出的两个球的编号之积 为奇数的概率,利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率. 解答: 解:从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个球中,任意取出两个球的取法种数为 种. 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是 故答案为 点评: 本题考查了古典概型及其概率计算公式, 考查了简单的排列组合知识, 考查了对立 事件的概率,解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数,是基础题. 14. (5 分)在 x(1+ ) 的展开式中,含 x 项系数是 15. (用数字作答)
6 3

种. . .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 3 分析: 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项, 令 x 的指数为 2, 即可求解含 x 的项的 系数 解答: 解: (1+ ) 展开式的通项为 Tr+1=C6 (
6 r

) =C6

r

r



令 r=4 得含 x 的项的系数是 C6 =15, 6 3 ∴在 x(1+ ) 的展开式中,含 x 项系数是:15. 故答案为:15 点评: 本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 15. (5 分)已知函数 f (x)=|x﹣3|+1,g (x)=ax.若方程 f (x)=g (x)有两个不相 等的实根,则实数 a 的取值范围是( ,1) .

2

4

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将函数表示成分段函数为 f(x)= 以了. 解答: 解:函数 f (x)=|x﹣3|+1= ,函数的图象如图: ,作出函数的图象,看图说话就可

, 当 k= 时,有一个交点; <k<1 时,有两个交点. 故答案为( ,1) 点评: 本题考察了分段函数及其应用,以及函数交点问题,属于基础题.

16. (5 分)设 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S17>0,S18<0 ,则



,…,

(n∈N ,n≤18) )中最大的项是

*



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a9>0,a10<0,由此可知 >0, >0,…, <0, <0,…,

<0,由此可得答案. 解答: 解:∵等差数列{an}中,S17>0,且 S18<0 即 S17=17a9>0,S18=9(a10+a9)<0 ∴a10+a9<0,a9>0,∴a10<0, ∴等差数列{an}为递减数列, 故可知 a1,a2,…,a9 为正,a10,a11…为负; ∴S1,S2,…,S17 为正,S18,S19,…为负, ∴知 >0, >0, >0…, <0, <0,…, <0,

又∵S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9, ∴ , ,…, (n∈N ,n≤18)中最大的项为
*

故答案为:



点评: 本题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值,掌握等差数列的性 质,属中档题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知 f(x)= ? ,其中 =(2cosx,﹣ (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)=﹣1,a= (3,sinB)与 =(2,sinC)共线,求边长 b 和 c 的值. ,且向量 = sin2x) , =(cosx,1) ,x∈R.

考点: 平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的数量积公式得到 f(x)的解析式,然后化简求单调区间; (2)利用向量共线,得到 b,c 的方程解之. 解答: 解: (1)由题意知 .3 分

∵y =cosx 在 a2 上单调递减,∴令 ∴f(x)的单调递减区间 (2)∵ ,∴ ∵
2 2 2

,得 ,6 分 ,∴ ,即 ,8 分
2

,又

,由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣3bc=7.10 分 与 共线,所以 2sinB=3sinC,由正弦定理得

因为向量

2b=3c. ∴b=3,c=2.12 分. 点评: 本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用. 18. (12 分) 如图: 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD, PA=AB=1, AD= ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)证明:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF; (2)当 BE 等于何值时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间角. 分析: (1)建立如图所示空间坐标系,得出 P、B、F、D 的坐标.设 BE=x 得 E(x,1, 0) , 算出 的坐标, 得出 , 由此可得无论点 E 在 BC 边的何处, 都有 PE⊥AF; 是平面 PDE 的一个

(2)利用垂直向量数量积为零的方法,算出 法向量,结合

=(0,0,1)与题中 PA 与平面 PDE 所成角,利用空间向量夹角公式建立

关于 x 的方程,解出 x 的值即可得到 PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°时,BE 的长. 解答: 解: (1)分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴,建立如图所示空间坐标系 则可得 P(0,0,1) ,B(0,1,0) ,F(0, , ) ,D( 设 BE=x,则 E(x,1,0) ∴ =(x,1,﹣1) ,0,0)

得 可得

=x?0+1× +(﹣1)× =0 ,即 AF⊥PE 成立; =( ,0,﹣1) ,设平面 PDE 的一个法向量为

(2)求出



,得

∵PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°, ∴sin45°= = ,得

=(0,0,1) =

解之得 x= ∵BE=x ∴BE=

或 x= , ,即当 BE 等于

时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

点评: 本题利用空间坐标系研究了线线垂直和直线与平面所成角大小. 着重考查了空间垂 直位置关系的判定与证明、直线与平面所成角和向量的夹角公式等知识,属于中档题. 19. (12 分)现有 6 名学生,按下列要求回答问题(列出算式,并计算出结果) : (Ⅰ)6 人站成一排,甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻) 的不同站法种数; (Ⅱ)6 人站成一排,甲、乙相邻,且丙与乙不相邻的不同站法种数; (Ⅲ)把这 6 名学生全部分到 4 个不同的班级,每个班级至少 1 人的不同分配方法种数; (Ⅳ)6 人站成一排,求在甲、乙相邻条件下,丙、丁不相邻的概率. 考点: 专题: 分析: 解答: 为: 古典概型及其概率计算公式;计数原理的应用. 概率与统计. 利用排列、组合知识和等可能事件的概率计算公式求解. 解: (Ⅰ)6 人站成一排,甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数

=360. (Ⅱ)6 人站成一排,甲、乙相邻,且丙与乙不相邻的不同站法种数为: =192.

(Ⅲ)把这 6 名学生全部分到 4 个不同的班级,每个班级至少 1 人的不同分配方法种数为: + =1560.

(Ⅳ)6 人站成一排,求在甲、乙相邻条件下,丙、丁不相邻的概率为: P= = .

点评: 本题考查计数原理的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要注意排列、组合 知识和等可能事件的概率计算公式的合理运用. 20. (12 分)抛物线 C1:x =4y 在点 A,B 处的切线垂直相交于点 P,直线 AB 与椭圆 C2: + =1 相交于 C,D 两点.
2

(1)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (2)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,试问:是否存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数 列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)确定求抛物线 C1 的焦点 F、椭圆 C2 的左焦点 F1 的坐标,即可求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F1 的距离; (Ⅱ)设直线 AB:y=kx+m,与抛物线方程联立,说明直线 AB 过抛物线 C1 的焦点 F,再 求出 P 的坐标,可得点 P(2k,﹣1)到直线 AB:kx﹣y+1=0 的距离,从而求出|CD|,再求 出|AB|,利用|AB|,d,|CD|成等比数列,即可得出结论. 解答: 解: (I)抛物线 C1 的焦点 F(0,1) ,…(1 分) 椭圆 C2 的左焦点 则 . ,…(2 分) …(3 分)

(II)设直线 AB:y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 由 ,得 x ﹣4kx﹣4m=0,…(4 分)
2

故 x1+x2=4k,x1x2=﹣4m.

由 x =4y,得

2

, , , , …(7 分)

故切线 PA,PB 的斜率分别为 再由 PA⊥PB,得 kPAkPB=﹣1,即

故 m=1,这说明直线 AB 过抛物线 C1 的焦点 F.



,得



, 即 P(2k,﹣1) . …(8 分) 于是点 P(2k,﹣1)到直线 AB:kx﹣y+1=0 的距离 .…(9 分)



,得(1+2k )x +4kx﹣2=0,…(10 分)

2

2

从而 分) 同理,|AB|=4(1+k ) . 2 若|AB|,d,|CD|成等比数列,则 d =|AB|?|CD|,…(13 分) 即
4 2 2

,…(11

…(12 分)



化简整理,得 28k +36k +7=0,此方程无实根, 所以不存在直线 AB,使得|AB|,d,|CD|成等比数列. …(15 分) 点评: 本题考查椭圆、抛物线的性质,考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查等比数 列的性质,考查韦达定理的运用,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x+1)﹣x. (Ⅰ)求 f(x)的最大值; 2 (Ⅱ)设 g(x)=f(x)﹣ax (a≥0) ,l 是曲线 y=g(x)的一条切线,证明:曲线 y=g(x) 上的任意一点都不可能在直线 l 的上方; (Ⅲ)求证: (1+ ) (1+ ) (1+ )…<e(其中 e 为自然对数的底数,n∈N ) .
*

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)确定函数的定义域,求出函数的单调性,即可求 f(x)的最大值; (Ⅱ)设 M(x 0,y0)是曲线 y=g(x)上的任意一点,则函数在 M 处的切线方程为 y﹣g (x0)=g′(x0) (x﹣x0) ,构造 h(x)=g(x)﹣,求出 h(x)在 x=x0 处取得最大值 h(x0) , 即 h(x)≤0 恒成立,从而得出结论; (Ⅲ) 先证明当 x>﹣1 且 x≠0 时, 有 ln (x+1) <x, 取对数, 利用 ( ﹣ ) ,结合裂项求和,即可得出结论. =2

解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , ∵f(x)=ln(x+1)﹣x, ∴f′(x)=﹣ ,

∴﹣1<x<0,f′(x)>0,函数单调递增,x>0,f′(x)<0,函数单调递减, ∴x=0 时,f(x)取得最大值 f(0)=0; (Ⅱ)证明:由(Ⅰ) ,g(x)=ln(x+1)﹣ax ﹣x, 设 M(x0,y0)是曲线 y=g(x)上的任意一点,则函数在 M 处的切线方程为 y﹣g(x0)=g′ (x0) (x﹣x0) , 即 y=( ﹣2ax0﹣1) (x﹣x0)+g(x0)
2

令 h(x)=g(x)﹣,则 h′(x)= ﹣2ax﹣1﹣( ﹣2ax0﹣1) ,

∵h′(x0)=0, ∴h′(x)在(﹣1,+∞)上是减函数, ∴h(x)在(﹣1,x0)上是增函数,在(x0,+∞)上是减函数, ∴h(x)在 x=x0 处取得最大值 h(x0) ,即 h(x)≤0 恒成立, ∴曲线 y=g(x)上的任意一点都不可能在直线 l 的上方; (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知 ln(x+1)≤x 在(﹣1,+∞)是恒成立,当且仅当 x=0 时,等号成 立, 故当 x>﹣1 且 x≠0 时,有 ln(x+1)<x, ∵ =2( ﹣ ) ,

∴ln{(1+ =ln(1+

) (1+ )+ln(1+

) (1+

)…} )+…+ln

)+ln(1+



+

+…+

=2=2( ﹣ ∴(1+

)=1﹣ ) (1+ ) (1+

<1, )…<e.

点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的最值,考查函数的单调性,考查学生分 析解决问题的能力,难度大. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)选修 4﹣1 几何证明选讲 已知△ ABC 中 AB=AC,D 为△ ABC 外接圆劣弧, BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F. (I)求证.∠CDF=∠EDF (II)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB. 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长

考点: 与圆有关的比例线段;圆周角定理. 专题: 综合题. 分析: (I) 根据 A, B, C, D 四点共圆, 可得∠ABC=∠CDF, AB=AC 可得∠ABC=∠ACB, 从而得解. (II)证明△ BAD∽△FAB,可得 AB =AD?AF,因为 AB=AC,所以 AB?AC=AD?AF,再 根据割线定理即可得到结论. 解答: 证明: (I)∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF 又 AB=AC∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,7 分 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF; (II)由(I)得∠ADB=∠ABF ∵∠BAD=∠FAB ∴△BAD∽△FAB ∴ ∴AB =AD?AF ∵AB=AC ∴AB?AC=AD?AF ∴AB?AC?DF=AD?AF?DF 根据割线定理 DF?AF=FC?FB ∴AB?AC?DF=AD?FC?FB 点评: 本题以圆为载体,考查圆的内接四边形的性质,考查等腰三角形的性质,考查三角 形的相似,属于基础题.
2 2

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数,0≤α<π) .以原
2

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=4sinθ. (1)求直线 l 与曲线 C 的平面直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B,若|AB|=8,求 α 的值. 考点: 直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)先利用消去参数 t 得到曲线 C 的直角坐标方程.再将原极坐标方程 ρcos θ=4sinθ 两边同时乘以 ρ, 利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程; (2)将 代入曲线 C 的标准方程:x =4y 得:t cos α﹣4tsinα﹣4=0,利用直线
2 2 2 2

的参数方程中 t 的几何意义结合根与系数的关系建立关于 α 的方程即可求出求出 α 的值. 解答: 解: (1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为:sinαx﹣cosαy+cosα=0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=4sinθ,即 ρ cos θ=4ρsinθ, 2 曲线 C 的标准方程:x =4y. (2)将 t cos α﹣4tsinα﹣4=0, ∴|AB|=|t1﹣t2|= =8,
2 2 2 2 2

代入曲线 C 的标准方程:x =4y 得:

2

∴cosα= ∴ 或

. .

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 以及利用平面几何知识解决最值问题. 利 2 2 2 用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R) (1)当 a=4 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)若 f(x)≥4 对 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 带绝对值的函数;绝对值不等式. 专题: 计算题;压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于 ,或 ,或

,分别求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.

(Ⅱ)因为 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|,由题意可得|a﹣1|≥4,与偶此解得 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=4 时,不等式 f(x)≥5,即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于 , ,或 ,或 .

解得:x≤0 或 x≥5. 故不等式 f(x)≥5 的解集为 {x|x≤0,或 x≥5 }. …(5 分) (Ⅱ)因为 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|(x﹣1)﹣(x﹣a)|=|a﹣1|. (当 x=1 时等号成立) 所以:f(x)min=|a﹣1|.…(8 分) 由题意得:|a﹣1|≥4,解得 a≤﹣3,或 a≥5. …( 10 分) 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档题.


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