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湖北省武汉市第二中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


武汉二中 2016—2017 学年度上学期期中考试

高二数学(理科)试题
考试时间:2016 年 11 月 10 日上午 8﹕00—10﹕00 试卷满分:150 分 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合 要求的) 1. 已知命题 P : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0 , 则命题

P 的否定是(
2


2

A. ?x ? R,2 x ? 1 ? 0
2

B. ?x0 ? R,2 x0 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R,2 x0 ? 1 ? 0 ) B. 若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则
2

C. ?x ? R,2 x ? 1 ? 0
2

2. 下列命题中真命题是( A.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? ;

? // ? ;
C.若 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线, 那么 n 与 ? 相交; D. 若 ? ? ? ? m, n // m , 则 n // ? 且

n // ?
3 已知双曲线

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y=± 3 x, 若顶点到渐近线的距离 2 a b


为 1, 则双曲线的方程为(

x2 3y2 A. ? ?1 4 4

B.

3x 2 y 2 ? ?1 4 4

x2 y2 C. ? ?1 4 4

x2 4 y2 D. ? ?1 4 3


4.已知直线 l1 : ax ? ? a ?1? y ?1 ? 0, l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则“ a ? ?2 ”是“ l1 ? l2 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球表面积为( A.



x2 y2 6. 方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A, 左、右焦点分别为 F1、F2, D a b 是 它 短 轴 上 的 一 个 端 点 , 若 3DF1 ( 1 A. 2 ) B. 1 3
1

16? 3

B.

8? 3

C. 4 3?

D. 2 3?

? DA ? 2 DF2 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为
1 C. 4 1 D. 5

网 Z*X*X* 7. 已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点, Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( A. 5 B. 8C. 17-1 D. 5+2 )

0 8. 直 三 棱 柱 A B C? 1 的中点, AB 、 A1 C1 1 C 1中 , ?BCA ? 90 , M 、 N 分 别 是 A 1B 1

,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( BC? CA ? C1C A. 1 B. 2

).

10

5

C.

2 2

D.

30 10

9.如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E , F 分别 是棱 BC , CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点, 若 A1 P // 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是( A. [ 2 , 3 ] C. [ 3 2 , 5 ] 4 2 10.椭圆 C : B. [ 5 , 2 ] 2 D. [1,
5] 2



x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范 4 3
) D. [ ,1]

围是 [ ?2, ?1] ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. [ , ]

1 3 2 4

B. [ , ]

3 3 8 4

C. [ ,1]

1 2

3 4

11. 已知 P 是正四面体 S ? ABC 的面 SBC 上一点, P 到面 ABC 的 距离与到点 S 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F 、 F , O 为双曲线的中心, P 是双曲线 2 x2 ? y ?1 1 2 a2 b2 )

右支上的一点, △ PF F 的内切圆的圆心为 I , 且⊙ I 与 x 轴相切于点 A , 过 F 作直线 PI 1 2 2 的垂线, 垂足为 B , 若 e 为双曲线的离心率, 则( A. OB ? e OA B. OA ? e OB )

C. OB ? OA D. OA 与 OB 关系不确定

2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题卡的相应位置) 13.已知 a ? ?4,?2,6?, b ? ?? 1,4,?2?, c ? ?4,5, ? ? ,若 a, b, c 三向量共面,则 ? ? ________

? ??

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4, 2) 平分,则这条弦所在的直线方程是. 36 9 15.已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 , AA 1 ? 1 AB ? 2 AD ? 3 ,
14. 如果椭圆

?A1 AD ? ?A1 AB ? 60, ?BAD ? 900 .则 AC1 的长为______
16. 平面上两点 F1 , F2 满足 F1 F2 ? 10. 设 d 为实数, 令 ? 表示平面上满足 PF1 ? PF2 ? d 的所有 P 点所成的图形.又令圆 C 为平面上以 F1 为圆心,9 为半径的圆.给出下列选项: ①当 d ②当 d ③当 d ④当 d ⑤当 d

? 0 时, ? 为直线; ? 1 时, ? 为双曲线; ? 6 时, ? 与 C 有两个公共点; ? 8 时, ? 与 C 有三个公共点; ? 10 时, ? 与 C 有两个公共点.

其中是真命题的有: _______.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题: (本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆; 已知命题 p :方程 2m m ? 1
命题 q :双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求 5 m

实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)如图,已知圆心坐标为 M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 y ? 3x 均相 切,切点分别为 A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、 x 轴及直线 y ? 3x 均相切,切点分别为 C 、 D 。 (1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过 B 点作 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度;
3

19.(本题满分 12 分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C-PB-A 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的标准方程为错误!未找到引用源。 ,M 为抛物线 C 上 一动点, 错误! 未找到引用源。 为其对称轴上一点, 直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N. 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时, △ MON 的面积为错误! 未找到引用源。 . (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)记错误!未找到引用源。 ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点”,试 求出所有 “稳定点”,若没有,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? BC ? a ,点 P 在边 AB 上,
0

设 AP ? ? PB(? ? 0) ,过点 P 作 PE // BC 交 AC 于 E ,作 PF // AC 交 BC 于 F 。沿 PE 将 ?APE 翻折成 ?A?PE, 使平面 A?PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将 ?BPF 翻折成 ?B?PF , 使平 面 B?PF ? 平面 ABC . (1)求证: B?C // 平面 A?PE ; (2)是否存在正实数 ? ,使得二面角 C ? A?B? ? P 的大小为 90 ?若存在,求出 ? 的值;
0

??? ?

??? ?

若不存在,请说明理由.

4

22. (本小题满分 12 分) 如图, 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c,原点 O 到经 a 2 b2

过两点 (c,0),(0, b) 的直线的距离为 ? c( ? ∈(0,1)),垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C1 及圆 C2:

x2 ? y 2 ? a 2 均有两个交点,这四个交点按其纵坐标从大到小分别为 A,
B,C,D. (1)当 ? ?

| BC | 1 时,求 的值; | AD | 3
1 . 2

(2)设 N(a,0),若存在直线 l 使得 BO//AN,证明: 0 ? ? ?

5

武汉二中 2016—2017 学年度上学期期中考试

高二数学(理科)参考答案
BAAA ADCD CBDC 13. 5 14.

x ? 2y ?8 ? 0

15.

19

16. ①②④

17.解:若 P 为真命题则 1 ? m ? 2m ? 0

1 所以 0 ? m ? ; 3
………………5 分

若 q 为真命题则

5? m ? (1, 2)且m ? 0 所以 0 ? m ? 15 ; 5

(1)若 p 真 q 假 则 无解

1 1 (2)若 p 假 q 真 则 ? m ? 15 故 m 的取值范围为 ? m ? 15 ……………………10 分 3 3

18 解: (1)由于圆 M 与∠BOA 的两边相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆 M 的半径, 则 M 在∠BOA 的角平分线上,同理,N 也在∠BOA 的角平分线上, 即 O、M、N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的角平分线, ∵M 的坐标为 M ( 3,1), ∴M 到 x 轴的距离为 1,即:圆 M 的半径 1, ∴ 圆 M 的 方 程 ……………………3 分 为

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1;

设圆 N 的半径为 r,由 Rt△OAM-Rt△OCN, 得:OM:ON=MA:NC, 即

2 1 ? ? r ? 3, OC ? 3 3, ∴圆 N 的方程为: ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9; …………6 分 3? r r

(2)由对称性可知,所求弦长等于过 A 点的 MN 的平行线被圆 N 截得弦长,此弦所在直线 方 程 为 y?

3 ( x ? 3即 ) , x? 3

y 3?

3 ? 圆0 心 ,

N

到 该 直 线 的 距 离

d?

| 3 3 ? 3? 3? 3 | 3 ? 2 1? 3









? 2 r 2 ? d 2 ? 33

…………………………12 分

19.证明: (1)由 AB 是圆的直径,得 AC ? BC ,
6

由 PA ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,得 PA ? BC . 又 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC, AC ? 平面 PAC, 所以 BC ? 平面 PAC. 因为 BC ? 平面 PBC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC……………………………………………6 分 (2)过 C 作 CM//AP,则 CM⊥平面 ABC. 如图(1) ,以点 C 为坐标原点,分别 以直线 CB,CA,CM 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 在 Rt△ABC 中,因为 AB=2,AC=1, 所以 BC ? 3 . 又因为 PA=1,所以 A(0,1,0) ,B( 3 ,0,0) ,P(0,1,1) . 故 CB ? ( 3 , 0 , 0 ) , CP ? ( 0 ,1,1) . 设平面 BCP 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? 3x1 ? 0, ?CB ?n1 ? 0, ? 则 ? ??? 所以 ? ? ? ? ? y1 ? z1 ? 0. ?CP ?n1 ? 0.
不妨令 y1 ? 1 ,则 n1 ? ( 0 ,1, ? 1) . 因为 AP ? ( 0 , 0 ,1) , AB ? ( 3 , ? 1, 0 ) , 设平面 ABP 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ? AP ?n2 ? 0, ? z2 ? 0, 则 ? ???? 所以 ? ? 3x2 ? y2 ? 0. ? ? ? AB ?n2 ? 0.
不妨令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, 3 , 0 ) . 于是 cos? n1 , n2 ? ?

3 2 2

?

6 . 4

由图(1)知二面角 C-PB-A 为锐角, 故二面角 C-PB-A 的余弦值为

6 …………………………12 分 4

20.解: (1)由题意,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,
7

抛物线 C 的标准方程为错误!未找到引用源。 .

……………4 分

(2)设错误!未找到引用源。 ,设直线 MN 的方程为错误!未找到引用源。 ,联立错误!未 找到引用源。得错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 由对称性,不妨设错误!未找到引用源。 , (ⅰ)错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。同号, 又错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,


不论 a 取何值,t 均与 m 有关,

即错误!未找到引用源。时,A 不是“稳定

点”; ……………8 分 (ⅱ)错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。异号,又 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。仅当错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。时,t 与 m 无 关。


“稳定点”为 A(3,0)……………12 分

21.解: (1)法一:以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为 y 轴,过 C 且垂直 于平面 ABC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图,1 则 C(0,0,0),A(0,a,0),B(a,0,0). 设 P(x,y,0),

??? ? ??? ? ?a a ?a a 由 AP ? ? PB ? ( x, y ? a,0) ? ? (a ? x, ? y,0) ? x ? ,y? , ∴ P( , ,0), ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 a ?a a ?a ?a a 从而 E(0, ,0), F ( ,0,0), 于是A'(0, , ), B '( ,0, ), ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ??? ? a 平面 A' PE 的一个法向量为 CE ? (0, ,0), ? ?1 ???? ? ?a a ???? ??? ∴ 又 CB ' ? ( ,0, ), CB '? CE ? 0, 从而B ' C ∥平面 A ' PE. ……………6 分 ? ?1 ? ?1
(2)

8

???? ? ? a ?a ????? ?a a (1 ? ? )a ???? a a CA ' ? (0, , ), A ' B? ? ( ,? , ), B ' P ? (0, ,? ), ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ?? 1 ∴ 可 以 求 得 平 面 CA?B? 的 一 个 法 向 量 m ? ( , ?, ?1) , 平 面 P A? B? 的 一 个 法 向 量

? ?? ? ? 1 n ? (1,1,1) ,由 m ? n ? 0 即 ? ? ? 1 ? 0 又 ? ? 0, ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,由于=-3<0,所以不存在正 ?
0

实数 ? ,使得二面角 C ? A?B? ? P 的大小为 90 . 22. 解(1)过两点 (c,0) ,(0,b)的直线方程为

……………12 分

x y ? ? 1, 即 bx ? cy ? bc ? 0, c b

由 原 点 O 到 直 线 bx ? cy ? bc ? 0 的 距 离 为 ? c(? ? (0,1)) , 得

bc b ? c2
2

? ? c,即b ? ? a,

1 1 当 ? ? 时,b ? a, 3 3
此时椭圆 C1 的方程为

x2 9 y2 ? ?1. a2 a2

设直线 l 的方程为 x ? m(?a ? m ? a),

?x ? m 1 2 1 2 ? , 解得B(m, a ? m 2 ), C (m, ? a ? m 2 ), 联立 ? x 2 9 y 2 3 3 ? ? 1 ? 2 a2 ?a

?x ? m 联立 ? 2 , 解得A(m, a 2 ? m2 ), D(m, ? a 2 ? m2 ), 2 2 x ? y ? a ?
2 2 a ? m2 | BC | 3 1 ∴ ? ? . 2 2 || AD 2 a ? m 3
(2)由(1)得, A(m, a2 ? m2 ),

…………………………6 分

?x ? m ? , 得B (m, ? a 2 ? m 2 ), 联立 ? x 2 y2 ? 2 ? 2 2 ?1 ? a ?a
又 N ( a,0), ∴ k AN ?

a 2 ? m2 , m?a a 2 ? m2 ? a 2 ? m2 ? , m?a m

由 BO ? AN , 得

9

∴ m ? ? ? m ? a ? ,即m ? ∵ ? a ? m ? 0, ∴

? a. ? ?1

? ? ?1

a ? ?a,即

? ? ?1

? 1 ? 0,

1 解得 ? ? 1(舍去)或? ? , 2
又 ? ? (0,1)

1 ∴0?? ? . 2

………………………………………………12 分

10


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