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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题10


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos

x ? 3 的最小值等于__________ 6 6 2.已知 f ( x) ?

?

?

bx ? 1 1 ,其中 a、b 为常数,且 ab ? 2 ,若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数,则 k 的值_______ 2x ? a x

3.已知方程 32 x ? 3x ?1 ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围是__________ 4.将 25 个数排成五行五列(如右图所示) : 已知第一行成等差数列,而每一列都成等比数列,且五个公比全 相等.若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 ,则 a11 ? a55 的值为_______ 5.设点 P 在曲线 y ?

a11 a21 a31 a41 a51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上, 2

则 PQ 的最小值为__________ 6.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4? 4 方格表的 16 个小方格内,每个小方格内至多填入一个字 母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共有__________ 7.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为 112? ,该梯形 绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为 80? ,该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积 为 156? ,则该梯形的周长为__________ 8.设 x、y 为实数,则
5 x2 ? 4 y 2 ?10 x

max ( x 2 ? y 2 )= ___________

9.不超过 2014 的只有三个正因数的正整数个数为___________ 10.从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde ,满足条件: “ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是___________

1

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二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 , (1)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的最大值与最小值;

(2)若实数 a、 b、 c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

b cos c 的值. a

2

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12.给定两个数列 { xn } , { yn } 满足: x0 ? y0 ? 1 , xn ?

2 xn ?1 yn ?1 ( n ? 1) , yn ? ( n ? 1) ; 2 ? xn ?1 1 ? 2 yn ?1

求证:对于任意的自然数 n ,都存在自然数 j n ,使得 yn ? x jn .

13.如图, ?ABC 的内心为 I , M、N 分别是 AB、AC 的中点, AB ? AC ,内切圆圆 I 分别与边

BC、CA 相切于 D、E ;求证: MN、BI、DE 三线共点.
A

M I E B D C

N

F

3

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14.求出所有的函数 f : N * ? N * 使得对于所有 x、y ? N * , [ f ( x)]2 ? y 都能被 f ( y) ? x 2 整除.

4

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十答案
一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.解:∵ f ( x) ? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? cos x ? 3 ? 3 sin x ? cos x ? 3

? 2sin( x ? ) ? 3 ; 6
∴ f ( x) 的最小值为 1.
1 bx ? 1 b ? x bx 2 ? (b 2 ? 1) x ? b ? ? 2.解:由于 k ? f ( x) ? f ( ) ? 是常数, x 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 2a

?

∴ 2a ? k ? b ,且 (a 2 ? 4)k ? b2 ? 1 ,将 b ? 2 ak 代入 (a 2 ? 4)k ? b2 ? 1 整理得:
(4k 2 ? k )a 2 ? (1 ? 4k ) ? 0 ,分解因式得: (4k ? 1)(ka 2 ? 1) ? 0 ;

若 4k ? 1 ? 0 ,则 ka 2 ? 1 ? 0 ,∴ ab ? 2ka 2 ? 2 ,与条件相矛盾;故 4k ? 1 ? 0 ,即 k ? 3.解:令 t ? 3x ,则原方程化为: t 2 ? 3t ? p ? 0 ; 根据题意,方程 t 2 ? 3t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根;

1 . 4

?? ? (?3) 2 ? 4 p ? 0 ? 9 令 f (t ) ? t 2 ? 3t ? p ,则 ? f (1) ? 12 ? 3 ?1 ? p ? 0 ? ? ? p ? ?2 . 4 ?3 ?1 ?2
4.解:可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数列的公差不一定相等. 由 a41 ? ?2 , a43 ? 10 可知: a42 ?

10 ? (?2) ? 4 且公差为 6,∴ a44 ? 16 , a45 ? 22 ; 2

由 a24 ? 4 , a44 ? 16 ,可知:公比 q ? ?2 ; 若 q ? 2 ,则 a11 ?

?2 1 ? ? , a55 ? 22 ? 2 ? 4 ?11 ,∴ a11 ? a55 ? ?11 ; s3 4
?2 1 ? , a55 ? 22 ? (?2) ? 4 ? (?11) ,∴ a11 ? a55 ? ?11 . s3 4

若 q ? ?2 ,则 a11 ? 5.解:函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称; 2

1 x e ?x 1 1 2 函数 y ? e x 上的点 P( x, e x ) 到直线 y ? x 的距离为: d ? ; 2 2 2

5

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1 1 1 ? ln 2 设函数 g ( x) ? ex ? x ? g '( x) ? e x ?1 ? g ( x)min ? 1 ? ln 2 ? dmin ? ; 2 2 2
∴由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为: dmin ? 2(1 ? ln 2) . 6.解:使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有: C42 A42 ? 72 种, 使得 2 个 b 既不同行也不同列的填法有: C42 A42 ? 72 种, ∴由乘法原理,这样的填法共有 72 2 种; 其中不合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;
1 A92 ? 16 ? 72 种; 2 个 a 所在的方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有: C16

∴符合条件的填法共有: 722 ? 72 ? 16 ? 72 ? 3960 种. 7.解:设梯形的上底长为 a ,下底长为 b ,高为 h ,则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为:

? h2b ? ? h2 (a ? b) ? ? h2 (a ? 2b) ,∴ ? h2 (a ? 2b) ? 112? ,即 h2 (a ? 2b) ? 336 ;
同理有 h2 (2a ? b) ? 240 ,两式相除得

1 3

1 3

1 3

a ? 2b 336 7 ? ? ,去分母化简得 b ? 3a , 2a ? b 240 5

代入 h2 (a ? 2b) ? 336 ,得: ah 2 ? 48 ;注意到:直角腰长等于高 h ,

1 梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,其体积为: h(a 2 ? ab ? b2 ) ? 156 , 3
将 b ? 3a 代入化简得: a 2 h ? 36 ,结合 ah 2 ? 48 ,可解得 a ? 3, h ? 4 ,∴ b ? 9 , ∴由勾股定理知另一条腰的长度为 42 ? (9 ? 3)2 ? 2 13 , ∴梯形的周长为 3 ? 9 ? 4 ? 2 13 ? 16 ? 2 13 . 8.解法一: 5x2 ? 4 y 2 ? 10 x ? 4 y 2 ? 10 x ? 5x2 ? 0 ? 0 ? x ? 2 ;
4( x2 ? y 2 ) ? 10 x ? x2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x2 ? y 2 ? 4 .

解法二: 5 x 2 ? 4 y 2 ? 10 x ? 5( x ? 1) 2 ? 4 y 2 ? 5 ? ( x ? 1) 2 ?

y2
5 4

?1;

令 x ? 1 ? cos? , y ?

5 sin ? , ? ? R , 2

5 1 9 1 25 则 x2 ? y 2 ? 1 ? 2cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? cos2 ? ? 2cos? ? = ? (cos ? ? 4)2 ? ; 4 4 4 4 4
∵ cos ? ? [?1, 1] ,∴当 cos? ? 1 时, ( x2 ? y 2 )max ? 4 . 9.解:不超过 2014 的只有三个正因数的正整数,就是质数的平方 ,而 2014 ? (44, 45) ; ..... ∴此类数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43 的平方,共 14 个.

6

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?b ? 3 ?b ? 5 ?b ? 4 ?b ? 5 , ? , ? , ? 10.解:由题只有: ? ,这四种情况; ?d ? 5 ?d ? 3 ?d ? 5 ?d ? 4
?b ? 3 ?a ? 1 ?a ? 2 , ? ①当 ? 时,只能 e ? 4 ,∴有两种情况: ? ; ?d ? 5 ?b ? 2 ?b ? 1

?c ? 1 ?e ? 2 ?b ? 5 , ? ②当 ? 时,只能 a ? 4 ,∴有两种情况: ? ; d ? 3 ? ?e ? 2 ?c ? 1
?b ? 4 3 ③当 ? 时, a、 b、 c 可任取 1、2、3 中的任意排列(不重复) ,∴有 A3 ? 6 种情况; ?d ? 5 ?b ? 5 3 ? 6 种情况; ④当 ? 时, a、 b、 c 可任取 1、2、3 中的任意排列(不重复) ,∴有 A3 d ? 4 ?

∴综合上述,一共有 16 种情况,∴概率为: P ? 二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.

16 2 ? . A55 15

11.解: (1)由条件知: f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 ,????????????????? 5 分 3 由0? x ? ∴当 x ? 当x?

?

?
2

可知:

?
3

? x?

?
3

?

5? 1 ? ,于是 ? sin( x ? ) ? 1 ; 6 2 3

?
2

1 时, f ( x) 有最小值: 2 ? ? 1 ? 2 ; 2

?
6

时, f ( x) 有最大值: 2?1?1 ? 3 .???????????? 10 分

(2)由条件可知: 2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立, 3 3 ∴ 2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? (a ? b ? 1) ? 0 ; 3 3 3 ∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ? ) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 ; 3 3
? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ?b sin c ? 0 ;????????????????????????? 15 分 ?a ? b ? 1 ? 0 ?

?

?

?

?

?

?

?

由 b sin c ? 0 ,可知: b ? 0 或 sin c ? 0 ; 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 ,可知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1(舍去) ,o s c c1 ?? ,

1 b cos c 解得 a ? b ? , c ? (2k ? 1)? ,∴ ? ?1 .?????????????? 20 分 2 a
7

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12.解:由已知, 可得:
1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2; xn xn ?1 xn xn ?1 xn



1 1 ? 1 ? 2n ?1 ? xn ? n ?1 ;?????????????????????? 10 分 xn 2 ?1

又由已知,可得: yn ? 1 ? 由1?

( yn ?1 ? 1) 2 y ?1 y ?1 1 1 2 ? n ? ( n ?1 ) 2 ? 1 ? ? (1 ? ) ; 1 ? 2 y n ?1 yn y n ?1 yn yn ?1

n 1 1 1 ? 2 ? 1? ? 2 2 ? y n ? 2n , y0 yn 2 ?1

∴取 jn ? 2n ? 1 即可.?????????????????????????? 20 分 13.证明:如图,设 MN、BI 交于点 F ,连结 AF、AI、IE、EF , 由于中位线 MN // BC ,以及 BF 平分 ?B , 则 MF ? MB ? MA ,∴ ?AFB ? 90? , ∵ IE ? AE ,得 A 、F、E、I 共圆, ∴ ?AEF ? ?AIF ;???????????? 10 分 又注意 I 是 ?ABC 的内心,
B D C M I E N F A

A B C 则 ?AEF ? ?AIF ? ?IAB ? ?IBA ? ? ? 90? ? ,????????????? 15 分 2 2 2
连结 DE ,在 ?CDE 中,切线长 CD ? CE ,

1 C ∴ ?CED ? ?CDE ? (180? ? C) ? 90? ? ? ?AEF ; 2 2
∴ D、E、F 三点共线,即有 MN、BI、DE 三线共点.???????????? 20 分 14.解:根据题设,令 x ? y ? 1 ,则 [ f (1)]2 ? 1 能被 f (1) ? 1 整除; ∴ [ f (1)]2 ? f (1) 能被 f (1) ? 1 整除,也就是 f (1)[ f (1) ? 1] 能被 f (1) ? 1 整除; ∵ f (1) 与 f (1) ? 1 互素,∴ f (1) ? 1 能被 f (1) ? 1 整除,且 f (1) ? 1 ? f (1) ? 1 , ∴ f (1) ? 1 ? 0 ,即 f (1) ? 1 ;???????????????????????? 10 分 令 y ? 1 ,则 [ f ( x)]2 ? 1 能被 1 ? x 2 整除,∴ [ f ( x)]2 ? x 2 ;从而 f ( x) ? x ,对所有 x ? N * 成立; 令 x ? 1 ,则 1 ? y 能被 f ( y ) ? 1 整除,从而 y ? f ( y ) ,对所有 y ? N * 成立;

8

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综上所述, f ( x) ? x ,对所有 x ? N * 成立.????????????????? 20 分

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