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直线与平面垂直的判定


2.3.1

直线与平面垂直的判定

1.线面垂直定义
(1)创设情境—感知概念

思考:如何定义一条直线 与一个平面垂直?

(2)观察归纳—形成概念
A
B α

讨论:能否用一条直线垂直于一个平面内 直线,来定义这条直线与这个平面垂直呢?

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直线与平面垂直的定义 如果直线 a 与平面 α 内的任意一条直 任意 线都垂直,我们就说直线 a 与平面 α 互 相垂直,记作: a⊥α. 直线 a 叫做平面 α的垂线,平面α叫做直线a的垂 面.直线与平面垂直时,它们惟一的公 a 共点P 叫做垂足.
m是平面?内任一条直线 ? ?? a ?? a?m ?

α

P

.

练习
判断正误:

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条
直线,那么,这条直线就与这个平面垂直。 ②若a⊥α,b ?α,则a⊥b。
a
α

b

2.线面垂直判定定理的探究
问题①在长方体ABCD-
A1 B1 D1

A1B1C1D1中,棱BB1与底面 ABCD 垂直。观察BB1与AB、 BC 的位置关系,由此你认 A 为保证BB1⊥底面ABCD的条
件是什么?

C1

D D
B C

猜想:一条直线与一个平面内的两条相交 问题② 如何将一张长方形贺卡直立于 直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 桌面?由此,你能猜想出判断一条直线与 一个平面垂直的方法吗?

实验:过△ABC 的顶点A 翻折纸片,得
到折痕AD ,将翻折后的纸片竖起放置在

桌面上,(BD、DC 与桌面接触).
A

B

D

C

问题③折痕AD 与桌面垂直吗?如何翻折 才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直?

问题④由折痕AD⊥BC ,翻折之后垂直关系, 即AD⊥CD ,AD⊥BD 发生变化吗?由此你能得 到什么结论?

直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直

线都垂直,则该直线与此平面垂直。

l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? ? l ? m, l ? n ?
线不在多,重在相交

m P

n

例1.如图,已知△ABC 在平面α内,直 线a与平面α相交,且a⊥AC,a⊥BC. 求证:a⊥AB
a
C A

?

B

例2.如图(3),已知a∥b,a⊥α, 求证:b⊥α
a
m

b
n

?

如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于同一个平面 。

( 3)

练习.如图,已知:α ∩β =l ,PA⊥α 于 Α ,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q,
求证:BQ⊥l . 提示: 欲证BQ⊥l ?l⊥平面BPQ ? l⊥PQ ?l⊥平面PAQ
?
A

P

l

Q

B

?

3.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2.斜足 斜线和平面相交的交点 3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平
面引垂线,过垂足和斜足的直线

P

平面的斜线和它在平面 内的射影所成的锐角,叫 ? 做直线和平面所成的角

A

O

说明:
1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90° 2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平 面所成的角为0 °

直线和平面所成角的取值范围为

[0°,90°]

例3在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
(1)直线A’B和平面ABCD所成的角 (2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
D’ A’ B’ O

C’

D A B

C

练习:P74

4.总结反思—提高认识
(1)通过本节课的学习,你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法?

(2)在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题?

(3)本节课你还有哪些问题?

直线与平面垂直的判定方法 1. 定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线,那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那 么另一条也垂直于同一个平面。

4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和 平面垂直

“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。

作业: P73 探究


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