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2016年江西省百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)


2016 年江西省百校联盟高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|x﹣x2>0},则 A∩B=( ) A. C. D. (﹣1,+∞) B. (﹣1,1) (﹣1,0) (0,1) 2.若复数 z 的共轭复数

为 ,且满足: =1﹣2i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为

( ) A.1 B.3 C. D.4 3.下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( A.f(x)=﹣xe B.f(x)=x+sinx C.f(x)= D.f(x)=x2|x|
|x|



4.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S3+S6=18,则 S5=( ) A.14 B.10 C.9 D.5 5.从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,则十位数字 比个位数字和百位数字都大的概率为( A. B. C. D. )

6.已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,直线 l:y=m(x﹣1)与抛物线交于 A, B 两点,点 A 在第一象限,若|FA|=3|FB|.则 m 的值为( ) A.3 B. C. D. )

7.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 a=(

A.2

B.

C.﹣1 D.以上都不正确

8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为线段 B1C 的中点,若三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的 体积为 36π,则正方体的棱长为( ) A.2 B.2 C.3 D.4 9.已知 f(x)=2 sinxcosx﹣sin2x+ cos2x+ ,则下列结论错误的是( )上单调递增 )

A.f(x)在区间(0,

B.f(x)的一个对称中心为(﹣ C.当 x∈[0,

,0) ] 个单

]时,fx)的值域为[1,

D.先将函数 f(x)的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,再向左平移 位后得到函数 y=2cos(4x+ )的图象 )

10.如图所示为某几何体的三视图,其体积为 48π,则该几何体的表面积为(

A.24π B.36π C.60π D.78π 11.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原

= ,直线 PF2 交双曲线 C 于另一点 N,若 点,P 是双曲线在第一象限上的点, |PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 的最小值为( )

12.已知不等式 ln(x+1)﹣(a+2)x≤b﹣2 恒成立,则 A . ﹣2 B.1﹣2e C.1﹣e D.2﹣

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分 13.向量| |=1,| |= , ( + ) (2 ﹣ )=﹣1,则向量 与 的夹角为______. 14.已知(x﹣y) (x+y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 m,则 (xm+ )dx=______.

15.若点 Q(2a+b,a﹣2b)在不等式组

表示的平面区域内,则 z=a2+b2 的最

大值为______. 16.已知△ABC 中,AB+ 面积为______.

AC=6,BC=4,D 为 BC 的中点,则当 AD 最小时,△ABC 的

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,公比为 q>0,S1+a1,S3+ a3,S2+a2 成等 差数列. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设 bn= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

18.随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的 态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表: 年龄(单 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 位:岁) 5 10 15 10 5 5 频数 10 12 7 2 1 赞成人数 3 (Ⅰ)若以“年龄 45 岁为分界点”.由以上统计数据完成下面的 2×2 列联表,并判断是否有 99%的把握认为 “使用微信交流”的态度与人的年龄有关: 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若从年龄在[55,65) ,[65,75)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查.记选 中的 4 人中赞成“使用微信交流”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 参考数据如下: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参考公式:K2= , (n=a+b+c+d) .

19.如图所示的几何体中,ABCD 为菱形,ACEF 为平行四边形,△BDF 为等边三角形,O 为 AC 与 BD 的交点. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ACEF; (Ⅱ)若∠DAB=60°,AF=FC,求二面角 B﹣EC﹣D 的正弦值.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率 e=

,椭圆的右焦点 F(c,0) ,椭圆

的右顶点为 A,上顶点为 B,原点到直线 AB 的距离为



(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)判断在 x 轴上是否存在异于 F 的一点 G,满足过点 G 且斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 椭圆 C 交于 M、N 两点,P 是点 M 关于 x 轴的对称点,N、F、P 三点共线,若存在,求出 点 G 坐标;若不存在,说明理由. 21.已知函数 f(x)=blnx. (1)当 b=1 时,求 G(x)=x2﹣x﹣f(x)在区间[ ,e]上的最值; (2)若存在一点 x0∈[1,e],使得 x0﹣f(x0)<﹣ 成立,求实数 b 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,等边三角形 ABC 内接于圆 O,以 B、C 为切点的圆 O 的两条切线交于点 D,AD 交圆 O 于点 E. (Ⅰ)证明:四边形 ABDC 为菱形; (Ⅱ)若 DE=2,求等边三角形 ABC 的面积.

[选修 4-4:坐标系与参数方程].

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. (I)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 θ= 与曲线 C 交于点 A(不同于原点) ,与直线 l 交于点 B,求|AB|的值.

[选修 4-5:不等式选讲]. 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根,求 a 的取值范围.

2016 年江西省百校联盟高考数学模拟试卷(理科) (4 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|x﹣x2>0},则 A∩B=( ) A. C. D. (﹣1,+∞) B. (﹣1,1) (﹣1,0) (0,1) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中 y 的范围确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出两集合的交集即 可. 【解答】解:由 A 中 y=2x﹣1>﹣1,得到 A=(﹣1,+∞) , 2 由 B 中不等式变形得:x ﹣x<0,即 x(x﹣1)<0, 解得:0<x<1,即 B=(0,1) , 则 A∩B=(0,1) , 故选:D.

2.若复数 z 的共轭复数为 ,且满足:

=1﹣2i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为

( ) A.1 B.3 C. D.4 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解: ∴z=3+i. 则|z|= 故选:C. 3.下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( A.f(x)=﹣xe|x| B.f(x)=x+sinx C.f(x)= D.f(x)=x2|x| ) = . =1﹣2i,∴ =(1+i) (1﹣2i)=3﹣i,

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为 减函数,进而得到答案. 【解答】解:满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为减函数, A 中函数 f(x)=﹣xe|x|,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数为奇函数,

且 f′(x)=

≤0 恒成立,故在 R 上为减函数,

B 中函数 f(x)=x+sinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数为奇函数,但 f′(x)=1+cosx≥0, 在 R 上是增函数,

C 中函数 f(x)=

,满足 f(﹣x)=f(x) ,故函数为偶函数;

D 中函数 f(x)=x2|x|,满足 f(﹣x)=f(x) ,故函数为偶函数, 故选:A. 4.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S3+S6=18,则 S5=( A.14 B.10 C.9 D.5 【考点】等差数列的前 n 项和. )

【分析】化简 S3+S6=9a1+18d=9(a1+2d)=18,从而可得 a3=a1+2d=2,从而求得. 【解答】解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, ∴S3+S6=3a1+ d+6a1+ d

=9a1+18d=9(a1+2d)=18, ∴a3=a1+2d=2, ∴S5=5a3=10, 故选 B. 5.从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,则十位数字 比个位数字和百位数字都大的概率为( A. B. C. D. )

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 选求出基本事件总数, 再求出十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件 个数,由此能求出十位数字比个位数字和百位数字都大的概率. 【解答】解:从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数, 基本事件总数 n= =120, =40,

十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数 m= ∴十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为 p= 故选:C. = .

6.已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,直线 l:y=m(x﹣1)与抛物线交于 A, B 两点,点 A 在第一象限,若|FA|=3|FB|.则 m 的值为( ) A.3 B. C. D.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线的焦点,设直线 l 为 x=ky+1,代入抛物线方程,运用韦达定理和 |AF|=3|BF|,解得 k,即可得到 m 的值. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0) , 设直线 l 为 x=ky+1(k>0) ,代入抛物线方程可得 y2﹣4ky﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 y1+y2=4k,y1y2=﹣4, 由|AF|=3|BF|,可得 y1=﹣3y2, 由代入法,可得 k2= , ∴k= ∴m= , .

故选:B. 7.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 a=( )

A.2

B.

C.﹣1 D.以上都不正确

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟执行程序,可得 a=2,n=1 执行循环体,a= ,n=3 满足条件 n≤2016,执行循环体,a=﹣1,n=5 满足条件 n≤2016,执行循环体,a=2,n=7 满足条件 n≤2016,执行循环体,a= ,n=9 … 由于 2015=3×671+2,可得: n=2015,满足条件 n≤2016,执行循环体,a= ,n=2017 不满足条件 n≤2016,退出循环,输出 a 的值为 .

故选:B. 8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为线段 B1C 的中点,若三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的 体积为 36π,则正方体的棱长为( ) A.2 B.2 C.3 D.4 【考点】棱柱的结构特征. 【分析】如图所示,设三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的半径为 r 由 =36π,解得 r.取

AD1 的中点 F,连接 EF.则三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的球心一定在 EF 上,设为点 O.设 正方体的棱长为 x,在 Rt△OFD1 中,利用勾股定理解出即可得出. 【解答】解:如图所示,设三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的半径为 r, ∵三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的体积为 36π,则 =36π,

解得 r=3. 取 AD1 的中点 F,连接 EF.则三棱锥 E﹣ADD1 的外接球的球心一定在 EF 上,设为点 O. 设正方体的棱长为 x,在 Rt△OFD1 中,由勾股定理可得: 化为:x=4. ∴正方体的棱长为 4. 故选:D. +(x﹣3)2=32,x>0.

9.已知 f(x)=2

sinxcosx﹣sin2x+ cos2x+ ,则下列结论错误的是( )上单调递增 ,0) ]



A.f(x)在区间(0,

B.f(x)的一个对称中心为(﹣ C.当 x∈[0,

]时,fx)的值域为[1,

D.先将函数 f(x)的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,再向左平移 位后得到函数 y=2cos(4x+ )的图象

个单

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】利用倍角公式降幂,再由两角和的正弦化简,然后逐一核对四个命题得答案.

【解答】解:f(x)=2 = 当 x∈(0, 正确; ∵f( 正确; 当 x∈[0, ]时, )= = )时,

sinxcosx﹣sin2x+ cos2x+ = , ∈( ) ,则 f(x)在区间(0, )上单调递增,A

,∴f(x)的一个对称中心为(﹣

,0) ,B

∈[

],f(x)的值域为[1,2],∴C 错误; )的

先将函数 f(x)的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,得到 y=2sin(4x+ 图象, 再向左平移 个单位后得到函数 y=2sin[4 (x+ ) + ]=2sin ( =2cos ) (4x+



的图象,D 正确. ∴错误的命题是 C. 故选:C. 10.如图所示为某几何体的三视图,其体积为 48π,则该几何体的表面积为( )

A.24π B.36π C.60π D.78π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由三视图知该几何体是一个圆柱挖掉两个顶点相同的圆锥所得的组合体, 由三视图 求出几何元素的长度,设圆锥的底面半径是 r,由柱体、锥体的体积公式和几何体的体积是 求出列出方程求出 r,由圆柱、圆锥的侧面积该几何体的表面积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是:一个圆柱挖掉两个顶点相同的圆锥所得的组合体, 且底面分别是圆柱的上下底面所得的组合体,圆柱的高是 8、圆锥的高是 4, 设圆柱、圆锥的底面半径是 r, ∵体积为 48π,∴ 则圆锥的母线长是 =5, =48π,解得 r=3,

∴该几何体的表面积 S=2π×3×8+2×π×3×5=78π,

故选:D.

11.已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原

= ,直线 PF2 交双曲线 C 于另一点 N,若 点,P 是双曲线在第一象限上的点, |PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线 C 的离心率为( ) A. B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意,|PF1|=2|PF2|,|PF1|﹣|PF2|=2a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,由∠ MF2N=120°,可得∠F1PF2=120°,由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°,即可求 出双曲线 C 的离心率. 【解答】解:由题意,|PF1|=2|PF2|, 由双曲线的定义可得,|PF1|﹣|PF2|=2a, 可得|PF1|=4a,|PF2|=2a, 由四边形 PF1MF2 为平行四边形, 又∠MF2N=120°,可得∠F1PF2=120°, 在三角形 PF1F2 中,由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°, 即有 4c2=20a2+8a2,即 c2=7a2, 可得 c= a, 即 e= = 故选:B. .

12.已知不等式 ln(x+1)﹣(a+2)x≤b﹣2 恒成立,则 A . ﹣2 B.1﹣2e C.1﹣e D.2﹣

的最小值为(



【考点】利用导数研究函数的极值.

【分析】令 y=ln(x+1)﹣(a+2)x﹣b+2,求出导数,分类讨论,进而得到 b﹣3≥﹣ln(a+2) +a,可得 到 ≥ ,再换元,通过导数求出单调区间和极值、最值,进而得

的最小值. ﹣(a+2) ,

【解答】解:令 y=ln(x+1)﹣(a+2)x﹣b+2,则 y′= a+2<0,y′>0,函数递增,无最值. 当 a+2>0 时,﹣1<x< 减. 则 x=

时,y′>0,函数递增;当 x>

时,y′<0,函数递

处取得极大值,也为最大值,且为﹣ln(a+2)+a﹣b+3,

∴﹣ln(a+2)+a﹣b+3≤0, ∴b﹣3≥﹣ln(a+2)+a, ∴ ≥ , ,

令 t=a+2(t>0) ,则 y= ∴y′= ,

∴(0, )上,y′<0, ( ,+∞)上,y′>0, ∴t= ,ymin=1﹣e. ∴ 的最小值为 1﹣e.

故选:C. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分 13.向量| |=1,| |= , ( + ) (2 ﹣ )=﹣1,则向量 与 的夹角为 135° . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知| |=1,| |= , ( + ) (2 ﹣ )=﹣1,求出 , 的数量积,利用数 量积公式,求出它们的夹角. 【解答】解:因为| |=1,| |= , ( + ) (2 ﹣ )=﹣1, 所以 ,所以 =﹣1,

所以向量 与 的夹角的余弦值为 所以向量 与 的夹角为 135°; 故答案为:135°.

=



14.已知(x﹣y) (x+y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 m,则

(xm+ )dx=

ln2+



【考点】二项式系数的性质;定积分. 【分析】利用二项式定理的通项公式、微积分基本定理即可得出. 【解答】解: (x+y)5 的通项公式:Tr+1= 令 5﹣r=1,r=4,解得 r=4; 令 5﹣r=2,r=3,解得 r=3. (x﹣y) (x+y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 m= 则 (xm+ )dx= . dx= ×1﹣ =﹣5, =ln2+ . ,

故答案为:ln2+

15.若点 Q(2a+b,a﹣2b)在不等式组

表示的平面区域内,则 z=a2+b2 的最

大值为



【考点】简单线性规划. 【分析】根据点与不等式组的关系代入建立关于 a,b 的不等式组,作出不等式组对应的平 面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.

【解答】解:∵Q(2a+b,a﹣2b)在不等式组

表示的平面区域内,



,即



作出不等式组对应的平面区域如图: z=a2+b2 的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方, 由图象知 A 到原点的距离最大,





,即 A( , ) ,

则 z 的最大值为 z=( )2+( )2=



故答案为:

16.已知△ABC 中,AB+ AC=6,BC=4,D 为 BC 的中点,则当 AD 最小时,△ABC 的 面积为 . 【考点】余弦定理的应用;三角形的面积公式. 【分析】根据余弦定理可得:AC2=AD2+22﹣4AD?cos∠ADC,且 ,进而 ,结合二次

函数的图象和性质,可得 AC=2 时,AD 取最小值 ,由余弦定理求出 cos∠ACB,进而 求出 sin∠ACB,代入三角形面积公式,可得答案. 【解答】解:∵AB+ AC=6,BC=4,D 为 BC 的中点, AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC, 根据余弦定理可得: 且 AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos ∠ADB, 即 AC2=AD2+22﹣4AD?cos∠ADC,且 ∵∠ADB=π﹣∠ADC, ∴ , ,

∴ 当 AC=2 时,AD 取最小值 = ,

, , ,

此时 cos∠ACB= ∴sin∠ACB=

∴△ABC 的面积 S= AC?BC?sin∠ACB= 故答案为: .



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,公比为 q>0,S1+a1,S3+ a3,S2+a2 成等 差数列. (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设 bn= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)由 S1+a1,S3+ a3,S2+a2 成等差数列,可得 2(S3+ a3)=S1+a1+S2+a2,化简 整理可得:9a3=a1,再利用等比数列的通项公式即可得出. (II)bn= ,cn= 可得出. 【解答】解: (I)∵S1+a1,S3+ a3,S2+a2 成等差数列, ∴2(S3+ a3)=S1+a1+S2+a2,∴ ∴q2= ,q>0,解得 q= . ∴an= (II)bn= , ∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= + =1﹣ = ﹣ ﹣ . +…+ ﹣ . =3a1+2a2,化为 9a3=a1, = ﹣ ,利用“裂项求和”方法即

= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2)=

=



18.随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的 态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表: 年龄(单 位:岁) 频数 赞成人数 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 5 3 10 10 15 12 10 7 5 2 5 1

(Ⅰ)若以“年龄 45 岁为分界点”.由以上统计数据完成下面的 2×2 列联表,并判断是否有 99%的把握认为 “使用微信交流”的态度与人的年龄有关: 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若从年龄在[55,65) ,[65,75)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查.记选 中的 4 人中赞成“使用微信交流”的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 参考数据如下: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参考公式:K2= , (n=a+b+c+d) .

【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据统计数据,可得 2×2 列联表,根据列联表中的数据,计算 K2 的值,即 可得到结论; (Ⅱ)ξ 的可能取值有 0,1,2,3,求出相应的概率,可得 ξ 的分布列及数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)2×2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计 3 32 35 赞成 7 8 15 不赞成 10 40 50 合 计 K2= ≈9.524>6.635

所以有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; (Ⅱ)ξ 所有可能取值有 0,1,2,3, P = (ξ=0) = P = , (ξ=1) + = P = , (ξ=2) +

=

,P(ξ=3)=

=



所以 ξ 的分布列是 ξ 0 P

1

2

3

所以 ξ 的期望值是 Eξ=0×

+1×

+2×

+3×

=



19.如图所示的几何体中,ABCD 为菱形,ACEF 为平行四边形,△BDF 为等边三角形,O 为 AC 与 BD 的交点.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 ACEF; (Ⅱ)若∠DAB=60°,AF=FC,求二面角 B﹣EC﹣D 的正弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)由已知得 BD⊥AC,BD⊥OF,由此能证明 BD⊥平面 ACEF. (Ⅱ)由已知得 AC⊥OF,OF⊥平面 ABCD,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,利用向量法能 求出二面角 B﹣EC﹣D 的正弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)∵ABCD 为菱形,∴BD⊥AC, ∵O 为 AC 与 BD 的交点,∴O 为 BD 的中点, 又△BDF 为等边三角形,∴BD⊥OF, ∵AC? 平面 ACEF,OF? 平面 ACEF,AC∩OF=O, ∴BD⊥平面 ACEF. (Ⅱ)∵AF=FC,O 为 AC 中点,∴AC⊥OF, ∵BD⊥OF,∴OF⊥平面 ABCD, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz,不妨设 AB=2, ∵∠DAB=60°,∴B(0,1,0) ,C(﹣ ,0,0) , D(0,﹣1,0) ,A( ,0,0) ,F(0,0, ) , ∵ = ,∴E(﹣2 ,0, ) , =(﹣ ,﹣1,0) , =(﹣2 ,﹣1, ) , 设 =(x,y,z)为平面 BEC 的法向量, 则 ,

取 x=1,得 =(1,﹣ ,1) , 则理求得平面 ECD 的法向量 =(1, 设二面角 B﹣EC﹣D 的平面角为 θ, 则 cosθ= = ,

,1) ,

∴sinθ=

=

, .

∴二面角 B﹣EC﹣D 的正弦值为

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率 e=

,椭圆的右焦点 F(c,0) ,椭圆

的右顶点为 A,上顶点为 B,原点到直线 AB 的距离为



(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)判断在 x 轴上是否存在异于 F 的一点 G,满足过点 G 且斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 椭圆 C 交于 M、N 两点,P 是点 M 关于 x 轴的对称点,N、F、P 三点共线,若存在,求出 点 G 坐标;若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (I)运用离心率公式和点到直线的距离公式,解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)在 x 轴上假设存在异于 F 的一点 G,设为(n,0) ,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣n) , 2 2 代入椭圆方程 x +2y =2,运用韦达定理,以及三点共线的条件:斜率相等,化简整理,可 得 n=2,进而判断存在 G(2,0) . 【解答】解: (I)由题意可得 e= = 直线 AB 的方程为 bx+ay=ab, 由题意可得 = , +y2=1; ,

又 a2﹣b2=c2,解得 a=

,b=c=1,即有椭圆的方程为

(Ⅱ)在 x 轴上假设存在异于 F 的一点 G,设为(n,0) , 2 2 设直线 l 的方程为 y=k(x﹣n) ,代入椭圆方程 x +2y =2, 2 2 2 2 2 可得(1+2k )x ﹣4nk x+2k n ﹣2=0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 可得 x1+x2= ,x1x2= ,

由假设可得 P(x1,﹣y1) ,F(1,0) ,N(x2,y2)三点共线,可得 kPN=kNF,即 = ,

由 y1=k(x1﹣n) ,y2=k(x2﹣n) ,可得

(x1+x2﹣2n) (x2﹣1)=(x2﹣x1) (x2﹣n) , 化简为(n+1) (x1+x2)﹣2x1x2﹣2n=0, 即有(n+1)? 化简可得 n=2, 代入判别式可得 2k2<1,故存在异于 F 的一点 G,且为(2,0) , 使 N、F、P 三点共线. 21.已知函数 f(x)=blnx. (1)当 b=1 时,求 G(x)=x2﹣x﹣f(x)在区间[ ,e]上的最值; (2)若存在一点 x0∈[1,e],使得 x0﹣f(x0)<﹣ 成立,求实数 b 的取值范围. ﹣2? ﹣2n=0,

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)把 b=1 代入函数解析式,求出函数 G(x)的导函数,由导函数的零点对定义 域分段,根据导函数的符号得到原函数在各区间段内的单调性,从而求得函数在区间[ , e]上的最值; (2)构造函数 ,求导后对 1+b≤0 和 b+1>0 分段讨论,然后进一步

对 b 分段分析得答案. 【解答】解: (1)当 b=1 时,G(x)=x2﹣x﹣f(x)=x2﹣x﹣lnx(x>0) , ,令 G'(x)=0,得 x=1, 列表如下: x (0,1) G'(x) ﹣ G(x) ↓ ∵ ∴G(x)在区间 上 ; 成立, 成立,

1 0 极小值

(1,+∞) + ↑ ,

(2)若在[1,e]上存在一点 x0,使得 即在[1,e]上存在一点 x0,使得 设 ,





①当 1+b≤0,即 b≤﹣1 时,在 x∈(0,+∞)上 h'(x)>0,∴函数 h(x)在(0,+∞) 上单调递增;

②当 b+1>0,即 b>﹣1 时,在 x∈(0,1+b)上 h'(x)<0,在 x∈(1+b,+∞)上,h' (x)>0, ∴h(x)在(0,1+b)上单调递减,在(1+b,+∞)上单调递增; 综上所述:当 b>﹣1 时,h(x)的递减区间为(0,1+b) ;递增区间为(1+b,+∞) ; 当 b≤﹣1 时,h(x)只有递增区间为(0,+∞) . ∴要使得在[1,e]上存在一点 x0,使得 则只需要函数 成立,

在[1,e]上的最小值小于零.

①当 1+b≥e,即 b≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, 故 h(x)在[1,e]上的最小值为 h(e) ,由 ,可得 ,



,∴



②当 1+b≤1,即 b≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, 故 h(x)在[1,e]上最小值为 h(1) ,由 h(1)=1+1+b<0, 可得 b<﹣2(满足 b≤0) ; ③当 1<1+b<e,即 0<b<e﹣1 时,h(x)在[1,1+b]上单调递减,在(1+b,e]上单调递 增, ∴h(x)在[1,e]上最小值为 h(1+b)=2+b﹣bln(1+b) , ∵0<ln(1+b)<1,∴0<bln(1+b)<b, ∴2+b﹣bln(1+b)>2,即 h(1+b)>2,不满足题意,舍去. 综上 b<﹣2 或 b> ,

∴实数 b 的取值范围为



请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,等边三角形 ABC 内接于圆 O,以 B、C 为切点的圆 O 的两条切线交于点 D,AD 交圆 O 于点 E. (Ⅰ)证明:四边形 ABDC 为菱形; (Ⅱ)若 DE=2,求等边三角形 ABC 的面积.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】 (Ⅰ)由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°,△DBC 是等边三角形,即可 证明四边形 ABDC 为菱形; (Ⅱ)由切割线定理求出 AB,即可求等边三角形 ABC 的面积. 【解答】 (Ⅰ)证明:由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°, ∴△DBC 是等边三角形 ∴四边形 ABDC 为菱形; (Ⅱ)解:设 AB=2x,则 AE= 由切割线定理可得 DB2=DE?DA, ∴4x2=2(2+ ∴x= , ∴AB=2 , ∴等边三角形 ABC 的面积 S= =3 . x) , x,

[选修 4-4:坐标系与参数方程].

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. (I)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 θ= 与曲线 C 交于点 A(不同于原点) ,与直线 l 交于点 B,求|AB|的值.

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (I)先将直线参数方程化为普通方程,再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极 坐标方程; (II)将 分别代入直线 l 和曲线 C 的极坐标方程求出 A,B 到原点的距离,取差得出

|AB|. 【解答】解: (I)∵ρ=2cosθ.∴ρ2=2ρcosθ,∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣2x=0.

∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,∴

﹣y=4



∴直线 l 的极坐标方程为 (II) 将 将 θ= ) . ∴|AB|=4 ﹣ =3 .

ρcosθ﹣ρsinθ=4

. , ∴A 点的极坐标为 ( , ) . ,

代入曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ 得 ρ= 代入直线 l 的极坐标方程得 ﹣ ρ=4

, 解得 ρ=4

. ∴B 点的极坐标为 (4

[选修 4-5:不等式选讲]. 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (Ⅰ)根据绝对值的意义,求得不等式 f(x)≤6 的解集. (Ⅱ)函数 f(x)的图象(图中红色部分)与直线 y=a|x﹣1|有 2 个不同的交点,数形结 合可得 a 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和, 而 3 和﹣3 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和正好等于 6, 故不等式 f(x)≤6 的解集为{x|x≤﹣2,或 x≥2}.

(Ⅱ)∵f(x)=|x+2|+|x﹣2|=



∴f(x)≥4, 若关于 x 的方程 f(x)=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根, 则函数 f(x)的图象与直线 y=a|x﹣1|(图中红色部分) 有 2 个不同的交点,如图所示: 由于 A(﹣2,4) 、B(2,4) 、C(1,0) , ∴﹣2<﹣a<KCA,或 a>KCB,即﹣2<﹣a<﹣ ,或 a>4, 求得 <a<2,或 a>4.

2016 年 9 月 10 日


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